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    概率的五個常識

    2014-12-05 11:30萬維鋼
    商界評論 2014年11期
    關(guān)鍵詞:彩票定律規(guī)律

    萬維鋼

    很久以前,美國一家媒體提出了一個有趣的問題,主持人指著三扇關(guān)著的房門對觀眾說:“每一扇房門后面都有一件東西,其中一扇門后面是汽車,另外兩扇門后面各有一只山羊。你可以隨意打開一扇,后面的東西就歸你了(當(dāng)然你最想得到的是汽車)?!碑?dāng)你選定一扇門,如1號門(但未打開),這時主持人讓人打開了有山羊的另一扇門,假定是3號門,然后再給你一次機(jī)會,允許你改變原來的選擇。這時,你為了得到汽車是堅持1號門還是改選2號門?

    當(dāng)問題及答案公諸于眾后引發(fā)了出乎意料的轟動,大家給出了不盡相同的答案(當(dāng)然正確的答案是唯一的)。此時,無論是1號門還是2號門,后面都有可能是汽車,看上去好像每一個都是一半的幾率,但從主持人的角度看,他不會讓你輕易就得到汽車,于是打開3號門來迷惑你,讓你放棄1號門。由此看出,1號門后是汽車的幾率會大一點。

    如果能從主持人的話語中判斷出他沒有這種想法,則我們可以這樣思考。將1號門看成一部分,里面有汽車的概率為0.33,將2號門和3號門看成另一部分,里面有汽車的概率為0.67。當(dāng)發(fā)現(xiàn)3號門里沒有汽車時,則1號門和2號門有汽車的概率分別為0.33和0.67。因此,選擇2號門比較理智。

    稍加留意你就會發(fā)現(xiàn),如果利用概率統(tǒng)計提供的科學(xué)思維方法就可能大大提高獲勝的幾率。然而對日常生活來說,即使我們掌握了概率計算方法,也并不等于能真正理解概率。

    隨機(jī):偶然錯誤不值得深究

    概率論最基礎(chǔ)的思想是,有些事情無緣無故就發(fā)生了。這個思想對我們的世界觀具有顛覆性的意義。古人沒有這個思想,認(rèn)為發(fā)生的一切事情都是有原因的,甚至都是有目的的,但實際上真實世界充滿了不可控的偶然。

    如果一個人考上了好大學(xué),人們會說這是他努力學(xué)習(xí)的結(jié)果;如果一個人事業(yè)成功,人們會說這是他努力工作的結(jié)果??墒侨绻粋€人中了彩票大獎,這又是為什么呢?答案就是沒有任何原因,這完全是一個隨機(jī)事件。

    如果一個人總買彩票,他中獎的概率可能會比別人大。但是當(dāng)他跟數(shù)千萬人一起面對這特定的一次開獎的時候,他不具有任何優(yōu)勢。中獎,既不是他自己有什么努力,也不是“上天”對他有所“垂青”。這是“隨機(jī)”發(fā)生的,你沒有任何辦法左右結(jié)果。

    大多數(shù)事情并不是完全的隨機(jī)事件,卻都有一定的隨機(jī)因素。偶然和必然如果結(jié)合在一起,就沒那么容易理解了。

    體育比賽是最典型的例子。球隊贏了球,人人有功;球隊輸了球,人人有責(zé),里里外外都要進(jìn)行反思。但比賽其實是充滿偶然的事件,你所能做的只是盡可能地爭取勝利。哪怕你準(zhǔn)備得再好,總有一些因素是不確定的,也就是我們通常說的運氣。

    理解隨機(jī)性,我們就知道有些事情發(fā)生就發(fā)生了,沒有什么可供解讀的意義。比如現(xiàn)代民航客機(jī)已經(jīng)做得非常安全了,但再完美的交通工具也不可能百分百安全。那你會因為這極小的事故概率而不坐飛機(jī)嗎?我們只要確定事故概率比其他旅行方式更低就可以了。

    一般管理者有個常見的思維模式,一旦出了事就必須全體反思,制定相關(guān)政策以避免類似事故再次發(fā)生。但極小概率的事故其實是不值得過度反應(yīng)的,哪怕是因為員工犯了錯而引起的也沒必要如此。37signals公司的兩位創(chuàng)始人強(qiáng)調(diào),不要一看到有人犯錯就大張旗鼓地制定政策來糾正錯誤。那樣只會把錯誤變成永久的傷疤,而且讓公司越來越官僚主義。正確的辦法是告訴犯錯的員工這是一個錯誤,然后就完了。

    誤差:測量結(jié)果并不是真實答案

    既然絕大多數(shù)事情都同時包含偶然因素和必然因素,我們自然就想排除偶然去發(fā)現(xiàn)背后的必然。偶然的失敗和成就不值得大驚小怪,我根據(jù)必然因素去做判斷,這總可以吧?

    可以,但是你必須理解誤差。歷史上最早的科學(xué)家曾經(jīng)不承認(rèn)實驗可以有誤差,認(rèn)為所有測量都必須是精確的,把任何誤差都?xì)w結(jié)于錯誤。后來人們才慢慢意識到偶然因素永遠(yuǎn)存在,實驗條件再精確也無法完全避免隨機(jī)干擾的影響。所以做科學(xué)實驗往往要測量多次,用取平均值之類的統(tǒng)計手段來得出結(jié)果。

    國際足聯(lián)的世界排名就是根據(jù)各國球隊多次比賽的成績,然后采用加權(quán)平均的辦法統(tǒng)計出來的。所以這個排名就比一兩次比賽的勝負(fù),甚至世界杯賽事的名次更能說明球隊的實力。但即便如此,我們也不能說國際足聯(lián)排名就是各個球隊的“真實實力”。因為各隊畢竟只進(jìn)行了有限的多次比賽,再好的統(tǒng)計手段,也不可能把所有的偶然因素全部排除。

    科學(xué)實驗亦是如此??茖W(xué)家哪怕是測量一個定義明確的物理參數(shù),也不可能給出最后的“真實答案”——他們總是會在測量結(jié)果上加一個誤差范圍。真實的答案當(dāng)然只有一個,它可以是這個誤差范圍內(nèi)的任何一個數(shù)字,甚至可以是誤差范圍外的一個數(shù)字。

    所以“真實值”非常不易得,而且科學(xué)實驗是非常理想化的事件。世界上大多數(shù)事情根本沒機(jī)會進(jìn)行多次測量。如果只能測一次,那我們該怎么解讀這一次測量的結(jié)果呢?根據(jù)以往的經(jīng)驗,我們可以估計一個大致的誤差范圍。

    有了誤差的概念,我就要學(xué)會忽略誤差范圍內(nèi)的任何波動。2014年1月,國家統(tǒng)計局公布了2013年全國居民收入基尼系數(shù)為0.473,新聞報道說,該數(shù)據(jù)雖較2012年0.474的水平略有回落,但仍顯示居民收入差距較大。這個“回落”有多大?0.001。從統(tǒng)計角度來說,這其實沒什么意義??赡苣愕臏y量誤差就大大超過0.001。

    考試成績也是如此,假設(shè)一個同學(xué)一門學(xué)科考了兩次才過,第一次57分,第二次63分。他說這是略有進(jìn)步,事實上這不叫進(jìn)步,叫在測量誤差范圍之內(nèi) 。

    賭徒謬誤:多次出現(xiàn)的號碼不會再出現(xiàn)

    假設(shè)你一個人在賭場賭錢,比如玩老虎機(jī)。你一上來運氣就不太好,一連輸了很多把。這時候你是否會有一種強(qiáng)烈的感覺,你很快就該贏了呢?

    其實這是一種錯覺。賭博開獎是完全獨立的隨機(jī)事件,這意味著下一把的結(jié)果跟以前所有的結(jié)果沒有任何聯(lián)系,已經(jīng)發(fā)生了的事情不會影響未來。舉一個簡單的例子,假設(shè)瓶子里裝著六個球,我們把它們分別編為1~6號,每次抽取一個作為中獎號碼。每次抽獎的時候,這六個球被你抽到的機(jī)會是相等的,都是1/6?,F(xiàn)在假設(shè)前面幾期抽中6號的次數(shù)比2號多,那么這一次抽獎的時候,你是否就認(rèn)為2號被抽到的機(jī)會更大呢?不會。這些球根本不記得誰曾經(jīng)被抽到過,2號球也不會主動跑過來讓你抽。它們被抽到的概率仍然都是1/6。

    概率論中有一個“大數(shù)定律”說,如果進(jìn)行足夠多次的抽獎,那么各種不同結(jié)果出現(xiàn)的頻率就會等于它們的概率——對上面這個例子來說就是,如果你抽取足夠多次,你得到2號的結(jié)果數(shù)應(yīng)該和得到6號的結(jié)果數(shù)大致相等。

    但人們常常錯誤理解隨機(jī)性和大數(shù)定律,以為隨機(jī)就是均勻。如果過去一段時間內(nèi)發(fā)生的事情不那么均勻,人們就錯誤地以為未來的事情會盡量往“抹平”的方向走。但大數(shù)定律的工作機(jī)制不是跟過去平衡,而是說如果未來你再進(jìn)行多次抽獎,你會得到非常多的“2”和“6”,以至于它們此前的一點點差異變得微不足道。

    曾經(jīng)有自以為懂概率的人指出,“如果2號已經(jīng)連續(xù)出現(xiàn)了3期,而6號也已經(jīng)連續(xù)出現(xiàn)了5期,則下一次中2號的概率明顯大于6號”。這其實是完全錯誤的,這就是著名的“賭徒謬誤”,全世界的賭場里每天都有人在不停地犯這個錯誤。

    在沒有規(guī)律的地方發(fā)現(xiàn)規(guī)律

    理解了隨機(jī)性和獨立隨機(jī)事件,我們自然就可以得到一個結(jié)論,那就是獨立隨機(jī)事件的發(fā)生是沒有規(guī)律和不可預(yù)測的。

    “彩票分析學(xué)”是深受彩民喜愛的一門顯學(xué)。這門學(xué)問完全合法地出現(xiàn)在各種報刊媒體上,認(rèn)為彩票的中獎號碼跟股票一樣,存在“走勢”。它使用“雙色歷史號碼”、“余數(shù)走勢”、“五行碼”等五花八門的數(shù)字曲線,以及“奇偶分析”、“跨度分析”、“大中小分析”等方法,幫助彩民預(yù)測下一期中獎號碼。

    這些分析跟賭徒謬誤不同。賭徒謬誤是認(rèn)為前面多次出現(xiàn)的號碼不會繼續(xù)出現(xiàn),而彩票分析學(xué)是認(rèn)為中獎號碼存在“走勢”,也就是多次出現(xiàn)的組合可能會繼續(xù)出現(xiàn),或者按照這個趨勢可以預(yù)測出下一個號碼。

    但是我們知道中獎號碼是純粹的隨機(jī)現(xiàn)象,根本沒有規(guī)律。然而明明沒規(guī)律,這些彩票分析師到底是怎么看出規(guī)律的呢?

    我上小學(xué)的時候,有一次數(shù)學(xué)課上講到“素數(shù)”這個概念。老師列舉素數(shù)時,班上一個同學(xué)突然非常興奮地舉手說:“我發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律?!彼f,“你看素數(shù)3、5、7、13、17、19……它們的結(jié)尾都是這幾個數(shù)字?!彼l(fā)現(xiàn)的這個“規(guī)律”其實是“除了2以外的素數(shù)都是奇數(shù)”。這的確是一個“性質(zhì)”,但并不是真正的“規(guī)律”,因為你無法用它去預(yù)測下一個素數(shù),比如9和15都是奇數(shù),又符合這個“規(guī)律”,卻都不是素數(shù)。

    人腦很擅長理解規(guī)律,但是很不擅長理解隨機(jī)性。發(fā)現(xiàn)規(guī)律任何時候都可以幫助我們更好地生存下去,而理解隨機(jī)性卻是只在現(xiàn)代社會才有意義的一個技能。

    如果數(shù)據(jù)足夠多,我們可以找到任何想要的規(guī)律,比如說圣經(jīng)密碼。有人拿圣經(jīng)做字符串游戲,在特定的位置中尋找能對應(yīng)世界大事的字母組合,并聲稱這是圣經(jīng)對后世的預(yù)言。問題是,這些“預(yù)言”可以完美地解釋已經(jīng)發(fā)生的事情,等到預(yù)測尚未發(fā)生的事情時就沒有那么好的成績了。

    彩票無規(guī)律,圣經(jīng)密碼是無稽之談,那么地震發(fā)生的年份有規(guī)律嗎?

    地震不是彩票,并不是完全的隨機(jī)事件。有些地區(qū)地震會比較頻繁,我們大概可以知道平均每隔多少年就會發(fā)生一次。但是這樣的“規(guī)律”是非常模糊的,就算是地震高發(fā)區(qū)也有可能連續(xù)好幾年都不地震,不常地震的地區(qū)也可能一年發(fā)生好幾次地震。

    可是有一門學(xué)問卻認(rèn)為地震和各種自然災(zāi)害會嚴(yán)格按照某種數(shù)學(xué)規(guī)律發(fā)生,甚至還用研究數(shù)學(xué)——確切地說是用做數(shù)字游戲的辦法去預(yù)測地震。這個方法叫做“可公度性理論”。其實這個理論跟地震沒有任何關(guān)系,只是簡單地把一些年份數(shù)字進(jìn)行加減組合。

    事實上,就算我們相信冥冥之中有一種神秘機(jī)制在左右地震,這個機(jī)制可以純粹由數(shù)學(xué)決定而跟地質(zhì)學(xué)無關(guān),“可公度性理論”也是站不住腳的。這個理論根本就沒有一個自洽的操作規(guī)則,對一次具體的預(yù)測到底應(yīng)該采用什么數(shù)字組合,非常隨意。

    小數(shù)定律:小樣本中的結(jié)果

    我們知道,在數(shù)據(jù)足夠多的情況下人們可以找到任何想要的規(guī)律,只要你不在乎這些規(guī)律的嚴(yán)格性和自洽性。那么在數(shù)據(jù)足夠少的情況下又會如何呢?

    人們抱著游戲或者認(rèn)真的態(tài)度總結(jié)了關(guān)于世界杯足球賽的各種“定律”。比如“巴西隊的禮物”——只要巴西奪冠,下一屆的冠軍就將是主辦大賽的東道主,除非巴西隊自己將禮物收回,這一定律在2006年被破解。另一個著名定律“1982軸心定律”——世界杯奪冠球隊以1982年世界杯為中心呈對稱分布,這個定律也在2006年被破解?!巴踔污ざ伞薄灰踔污⒓蛹竞筚?,八一隊就必然獲得總冠軍,這也已被破解。還有一些沒有被破解的定律,比如“凡是獲得了聯(lián)合會杯或者美洲杯,就別想在下一屆世界杯奪冠”,以及“0∶2落后無人翻盤定律”。

    如果你仔細(xì)研究這些定律,你就會發(fā)現(xiàn)不容易破解的定律其實都有一定的道理,王治郅和八一隊都很強(qiáng),0∶2落后的確很難翻盤,而獲得世界杯冠軍是件非常不容易的事情,更別說同時獲得聯(lián)合會杯、美洲杯和世界杯。但不容易發(fā)生不等于不會發(fā)生,它們終究將被破解。那些看似沒有道理的神奇定律,則大多已經(jīng)被破解了,之所以“神奇”,是因為純屬巧合。世界杯總共才進(jìn)行了二十多屆。只要數(shù)據(jù)足夠少,我們總能發(fā)現(xiàn)一些沒有被破解的“規(guī)律”。

    如果數(shù)據(jù)少,隨機(jī)現(xiàn)象可以看上去“很不隨機(jī)”,甚至非常整齊,感覺就好像真的有規(guī)律一樣。

    1940年倫敦大轟炸,當(dāng)時倫敦在德軍V2導(dǎo)彈的攻擊下?lián)p失慘重,報紙公布出標(biāo)記了所有受到轟炸地點的倫敦地圖之后,人們發(fā)現(xiàn)轟炸點的分布很不均勻。有些地區(qū)反復(fù)受到轟炸,而有些地區(qū)卻毫發(fā)無損。

    難道德軍在轟炸倫敦時故意放過了某些地區(qū)嗎?

    對英國軍方來說,這是一件非常恐怖的事情,因為這意味著V2導(dǎo)彈的精度比預(yù)想的要高得多,以至于德軍可以精確選擇轟炸目標(biāo)。然而事后證明V2是一個精確度相當(dāng)差的實驗性武器,德軍只能大概把它打向倫敦,而根本無法精確控制落點。也就是說倫敦各地區(qū)受到的轟炸完全是隨機(jī)的。一直到1946年,有人從數(shù)學(xué)角度分析了轟炸數(shù)據(jù),把整個可能受到轟炸的地區(qū)分為576個小塊,發(fā)現(xiàn)其中229塊沒有受到任何轟炸,而有8個小塊受到了4 次以上的轟炸。這些數(shù)據(jù)雖然不均勻,但完全符合隨機(jī)分布。實際上科學(xué)家可以用計算機(jī)模擬的辦法得到更多“看上去很不隨機(jī)”的隨機(jī)結(jié)果。

    然而問題的關(guān)鍵是,隨機(jī)分布不等于均勻分布。人們往往認(rèn)為如果是隨機(jī)的,那就應(yīng)該是均勻的,殊不知這一點僅在樣本總數(shù)非常大的時候才有效。如果統(tǒng)計數(shù)字很少,其中就很容易出現(xiàn)特別不均勻的情況。這個現(xiàn)象被諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎得主丹尼爾·卡尼曼戲稱為“小數(shù)定律”。

    大數(shù)定律是我們從統(tǒng)計數(shù)字中推測真相的理論基礎(chǔ),是說如果統(tǒng)計樣本足夠大,那么事物出現(xiàn)的頻率就能無限接近它的理論概率,也就是它的“本性”。所以如果抽樣調(diào)查發(fā)現(xiàn)一個地區(qū)某種疾病的發(fā)病率較高,我們就可以大致認(rèn)為這個地區(qū)的這種疾病發(fā)病率真的很高。

    而小數(shù)定律說如果樣本不夠大,那么它就會表現(xiàn)為各種極端情況,而這些情況可能與本性一點關(guān)系都沒有。

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