數(shù)值保角變換的新算法

姚國梅YAO Guo-mei；呂毅斌LV Yi-bin；王櫻子WANG Ying-zi

（①昆明理工大學(xué)理學(xué)院，昆明 650500；②昆明理工大學(xué)計算中心，昆明 650500）

（①Faculty of Science，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China；②Computing Center，Kunming University of Science and Technology，Kunming 650500，China）

0 引言

數(shù)值保角變換是復(fù)變函數(shù)的一個基本問題，它廣泛應(yīng)用于物理學(xué)和工學(xué)等領(lǐng)域。在大多數(shù)情況下，需要通過數(shù)值計算求解滿足被給定條件的變化函數(shù)。保角變換的變換函數(shù)求解方法一般可以分為解析法和數(shù)值方法。對于解析法，只有在極少數(shù)的情況下能用初等函數(shù)表示保角變換函數(shù)，因此很多情況下，僅僅指出了變換函數(shù)的存在，而不能求出變換函數(shù)?；趯嶋H工程問題的復(fù)雜性，在大多數(shù)情況下必須利用數(shù)值方法求解滿足被給定條件下的保角變換問題。很多學(xué)者對此做了大量研究[5-9]。

本論文研究在模擬電荷法下基于改進高斯消去法的數(shù)值計算法來求解保角變換問題，文中首先用模擬電荷法原理通過電荷點和約束點構(gòu)造約束方程，再利用改進高斯消去法的高精度求解該約束方程，得到模擬電荷和近似保角變換半徑，進而構(gòu)造出近似保角變換函數(shù)，并在文章結(jié)尾通過數(shù)值實驗驗證算法的有效性。

1 模擬電荷點的計算

本節(jié)主要講述利用模擬電荷法對區(qū)域外部計算保角變換的數(shù)值方法（如圖1）[11]。在圖1 中，C 是z 平面上任意的Jordan 曲線，曲線C 的區(qū)域外部作為D，ζj（j=1，2，…，N）是在區(qū)域內(nèi)部配置的電荷點，zi（i=1，2，…，N）是邊界C上的約束點，w=f（z）是從（這里=D∪C）到w 平面上的單位圓外部（包括單位圓邊界）的保角映射。在不失一般性的情況下，假定z=0 在C 的內(nèi)部且f（0）=0，保角變換函數(shù)w=f（z）滿足正規(guī)化條件f（∞）=∞，f′（∞）＞0 時表示如下：

其中，γ 是外部變換半徑，g（z）是Dirichlet 型場勢問題：

的解。h（z）是g（z）的共軛調(diào)和函數(shù)，且h（∞）=0。以下文中均以G，H，Γ 表示g，h，γ 的近似值。

圖1 基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換

根據(jù)模擬電荷法（圖1），可以用圍繞C 的區(qū)域內(nèi)部配置的電荷點ζj（j=1，2，…，N）作為極的對數(shù)勢場的1 維結(jié)合

來高度近似g（z）[11]，這時g（z）的共軛調(diào)和函數(shù)h（z）可以被如下函數(shù)近似：

未知電荷qj可以通過邊界上選擇N 個約束點zi在滿足外部Dirichlet 問題的邊界條件進行求解，即滿足：

又根據(jù)條件g（∞）=0，h（∞）=0，由式（1），（2）可得：

由式（3）和（4）可知qj（j=1，2，…，N）和logΓ 滿足下列線性方程組：

2 數(shù)值保角變換的新算法

通過上節(jié)討論，根據(jù)模擬電荷法的原理，在求解模擬電荷點以及近似變換半徑過程中，首先，要用圍繞C 的區(qū)域內(nèi)部配置N 個電荷點作為極的對數(shù)勢場的1 次結(jié)合的G（z）來高度近似g（z），而它的共軛調(diào)和函數(shù)h（z）則用H（z）來近似，再通過邊界條件以及電荷點和約束點的配置構(gòu)造出約束方程（5）。因此，數(shù)值保角變換的算法過程整理如下。

數(shù)值保角變換的算法：①給出模擬電荷法的模擬電荷和約束點數(shù)量N；②根據(jù)模擬電荷法的原理[11]，給出電荷點ζ1，…，ζN，約束點z1，…，zN；③由模擬電荷點和約束點以及變換半徑構(gòu)造約束方程組（5）；④計算模擬電荷q1，…，qN和變換半徑Γ；⑤根據(jù)（1）式和（2）式構(gòu)造G（z），H（z）；⑥構(gòu)造近似保角變換函數(shù)。

在上述算法過程中，第4 步模擬電荷q1，…，qN和變換半徑Γ 的計算結(jié)果對保角變換的精度影響很大。因此，為了高精度地求解模擬電荷和近似變換半徑，采用輾轉(zhuǎn)相除法的高斯消去法[1-4]求解約束方程（5），進而得到高精度的模擬電荷和變換半徑。

本文的做法是：

①整數(shù)處理：如果方程組的系數(shù)不是整數(shù)，則在方程兩邊同時乘以10w（w 為正整數(shù)）使其變?yōu)檎麛?shù)（參見表1）；②非負處理：若所要消元的系數(shù)為負，則通過同乘-1使其變?yōu)檎龜?shù)（參見表2）；③換行：若所要消元的系數(shù)不是非零最小，則交換方程位置變?yōu)樽钚。▍⒁姳?）；④整數(shù)倍消元：若所要消元系數(shù)相除時不能整除，則對系數(shù)相除取整（參見表4）。這樣做可以使原方程組化為等價方程的過程中不出現(xiàn)除法，從而可以絕對消除因除法帶來的累積誤差。（下列表中，[ ]表示取整符號，&表示邏輯語句且，?表示換行，←表示賦值。）

表1 整數(shù)處理

表2 非負處理

表3 換行

表4 整數(shù)倍消元

3 數(shù)值實驗

在模擬電荷法下基于改進高斯消去法的方法對橢圓外部的保角變換進行數(shù)值實驗。程序用MATLAB7.0 編寫，誤差結(jié)果采用倍精度計算。誤差的定義是由邊界C 上的點所對應(yīng)的保角變換點與邊界保角變換所得單位圓盤圓周半徑方向的最大距離。[10]誤差計算公式如下：

電荷點和約束點的配置問題參考文獻[11]。

①當a=3 時，數(shù)值實驗結(jié)果參見圖2 和圖3。

圖3 a=3

圖2 給出了N=200 時模擬電荷的分布位置（“+”表示模擬電荷位置）；而圖3 則給出了在a=3 時近似保角變換的誤差結(jié)果圖，在圖3 中橫坐標表示電荷點的個數(shù)，縱坐標則表示誤差。由圖3 可以看出隨著電荷點數(shù)的增加，誤差結(jié)果將會變小。

②當a=5 時，數(shù)值實驗結(jié)果參見圖4 和圖5。

圖4 a=5，N=200

類似的，圖4 給出了N=200 時模擬電荷的分布位置（“+”表示模擬電荷位置）；圖5 則給出了在a=5 時近似保角變換的誤差結(jié)果圖，由圖5 可以看出隨著模擬電荷數(shù)的增加，誤差結(jié)果越來越小。

上述實驗說明，隨著模擬電荷點數(shù)的取值越多，本算法保角變換的計算精度越高。因此根據(jù)計算精度要求，可以提前確定所需模擬電荷點的數(shù)量。

圖5 a=5

4 結(jié)論

本文在模擬電荷法的原理下，利用改進高斯消去法高精度地計算了模擬電荷點，進而提出了高精度的保角變換的新算法，然后通過典型圖形的數(shù)值實驗驗證了該算法的有效性。今后對本算法進行誤差分析，然后可以將其運用到多連通區(qū)域的數(shù)值保角變換以及流體力學(xué)中的渦流計算問題。

[1]聶學(xué)建.關(guān)于線性代數(shù)中的秩[J].職大學(xué)報，2013（04）：75-77.

[2]文傳軍，許定亮，華婷.高斯消元五步驟法[J].常州工學(xué)院學(xué)報，2012（06）：56-59.

[3]彭朝英.高斯消元法的改進及其在工程上的應(yīng)用[J].邵陽學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2011（02）：31-35.

[4]胡堯，羅文俊.改進Gauss 消去法求解線性方程組[J].貴州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2004（02）:19-23.

[5]Yunus A A M，Murid A H M，Nasser M M S.Numerical conformal mapping and its inverse of unbounded multiply connected regions onto logarithmic spiral slit regions and straight slit regions[J].Proceedings of the Royal Society A:Mathematical，Physical and Engineering Science，2014，470(2162):20130514.

[6]Lu Y，Wu D，Wang Y，et al.The accuracy improvement of numerical conformal mapping using the modified Gram-Schmidt method [C].The 19th International Conference on Industrial Engineering and Engineering Management.Springer Berlin Heidelberg，2013:555-563.

[7]Nasser M.Numerical conformal mapping of multiply connected regions onto the second，third and fourth categories of Koebe's canonical slit domains [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2011，382(1):47-56.

[8]Luo W，Dai J，Gu X，et al.Numerical conformal mapping of multiply connected domains to regions with circular boundaries[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，233(11):2940-2947.

[9]Amano K，Okano D，Ogata H，et al.Numerical conformal mappings onto the linear slit domain [J].Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics，2012，29(2):165-186.

[10]Amano K.Numerical conformal mapping of exterior domains based on the charge simulation method [J].Trans Inform Process Soc Japan，1988，29:62-72.(in Japanese).

[11]Amano K.Numerical conformal mapping based on the charge simulation method [J].Trans Inform Process Soc Japan，1987，28:697-704.(in Japanese).