樸實(shí)中孕育基礎(chǔ) 常規(guī)中彰顯能力

劉勝林

2014年高考雖已悄然離去，但留給我們無(wú)盡的思索.相比前幾屆的高考試題，2014年高考數(shù)學(xué)試題整體難度略有所降低.筆者特別關(guān)注了一下今年的高考解析幾何試題，其試題設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境熟悉，問(wèn)題設(shè)置常規(guī)，給人一種“似曾相識(shí)燕歸來(lái)”的感覺(jué)，但若真正動(dòng)筆具體操作起來(lái)時(shí)不時(shí)有些“咔”，一不留神，還會(huì)陷入泥潭，不能自拔.下面邀大家一起從試題設(shè)計(jì)的背景、試題考查的基本數(shù)學(xué)思想、基本技能等角度來(lái)對(duì)2014年高考解析幾何試題進(jìn)行剖析，期望對(duì)2015年高考解析幾何的備考復(fù)習(xí)工作帶來(lái)些啟發(fā)與幫助.1 試題設(shè)計(jì)的背景深刻、內(nèi)涵豐富

高考試題是高考命題專(zhuān)家、一線優(yōu)秀教師團(tuán)隊(duì)經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的精心準(zhǔn)備、苦心鉆研命制而成，其試題設(shè)計(jì)的背景常通過(guò)不同的載體來(lái)實(shí)現(xiàn)和依托不同的方式來(lái)呈現(xiàn)，常見(jiàn)的有：以課標(biāo)為背景，以往年高考試題為背景，以國(guó)外高考試題為背景，以經(jīng)典的數(shù)學(xué)名題為背景，以重要的數(shù)學(xué)結(jié)論為背景等.許多試題是可進(jìn)行橫、縱向的拓展與延伸，其內(nèi)涵頗為豐富.圖1如（2014年福建高考數(shù)學(xué)理科卷第19題）已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1（a>；0，b>；0）的兩條漸近線分別為l1：y=2x，l2：y=-2x.（1）求雙曲線E的離心率；（2）如圖1示，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(diǎn)（A，B分別在第一、四象限），且△OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？如存在，求出雙曲線E的方程；如不存在，說(shuō)明理由.

本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與雙曲線位置關(guān)系，其第二問(wèn)是一道開(kāi)放型試題，自主探究是否存在雙曲線E，使得總有動(dòng)直線l與E有且只有一個(gè)交點(diǎn)，且S△OAB恒為8.通過(guò)探究最終求得雙曲線E：x24-y216=1，深入挖掘可以發(fā)現(xiàn)，該問(wèn)的設(shè)置是在雙曲線如下一個(gè)重要幾何性質(zhì)下孕育而生的.性質(zhì)：過(guò)雙曲線x2a2-y2b2=1（a>；0，b>；0）上任意一點(diǎn)作其切線，則切線與雙曲線兩漸近線所圍成的三角形的面積恒為ab.利用上述性質(zhì)易知ab=8，又ba=2，從而得a2=4，b2=16，即得雙曲線E的方程為x24-y216=1.至此可以發(fā)現(xiàn)，在該問(wèn)題的求解過(guò)程中，若能理解并掌握雙曲線的這一重要結(jié)論，進(jìn)而就可洞察出試題的設(shè)計(jì)背景，站在一個(gè)高觀點(diǎn)下審視此題，繼而問(wèn)題求解起來(lái)就會(huì)游刃有余.2 試題考查的數(shù)學(xué)思想鮮明

所謂解析幾何即是通過(guò)將平面中的點(diǎn)坐標(biāo)化，繼而利用數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫(huà)平面中的直線、曲線及其幾何關(guān)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題，并最終通過(guò)純粹的代數(shù)運(yùn)算來(lái)解決平面幾何問(wèn)題.因此解析幾何問(wèn)題的求解常常會(huì)滲透函數(shù)與方程、不等式等重要的數(shù)學(xué)思想.圖2如（2014年遼寧高考數(shù)學(xué)理科卷第20題）：圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖2）.雙曲線C1：x2a2-y2b2=1過(guò)點(diǎn)P且離心率為3.（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）橢圓C2過(guò)點(diǎn)P且與C1有相同的焦點(diǎn)，直線l過(guò)C2的右焦點(diǎn)且與C2交于A，B兩點(diǎn).若以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P，求l的方程.

本題第一問(wèn)要求雙曲線C1的方程，需先求出切點(diǎn)P的坐標(biāo).利用圓的切線及直角三角形的性質(zhì)，借助重要均值不等式OP2=PD·PE≤PD+PE22（當(dāng)且僅當(dāng)PD=PE時(shí)取“=”號(hào)），可得當(dāng)點(diǎn)P為DE中點(diǎn)，即Rt△DOE為等腰Rt△時(shí)，S△DOE最小，從而可得P（2，2），于是利用P在雙曲線C1上及e=3來(lái)建立關(guān)于參數(shù)a，b的方程組進(jìn)行求解即可得到雙曲線C1的方程.而本題第二問(wèn)是解析幾何中一道很典型的求某一參數(shù)取值的問(wèn)題，待定系數(shù)法，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），A（x1，y1），B（x2，y2），而后利用題目條件所給等量關(guān)系（或利用平面幾何圖形的幾何性質(zhì)去分析挖掘題設(shè)條件背后所隱含的等量關(guān)系）來(lái)建立關(guān)于參數(shù)k的方程，最后通過(guò)解方程組來(lái)求其參數(shù)k.在這里主要是利用以線段AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P的幾何性質(zhì)得∠APB=90°，從而PA·PB=0，即（2-x1）（2-x2）+（2-y1）（2-y2）=0.又點(diǎn)A，B均在直線l上，從而利用直線l的方程，可將參數(shù)x1，x2，y1，y2統(tǒng)一為僅含參數(shù)x1，x2的等式，即4+26k+3k2-（2+2k+3k2）（x1+x2）+（1+k2）x1x2=0①，最后利用直線與橢圓相交的代數(shù)形式，即將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理利用根與系數(shù)的關(guān)系即可將x1+x2，x1x2用參數(shù)k來(lái)表示，進(jìn)而代入①式得到關(guān)于參數(shù)k的方程，求出k來(lái).

本題的求解，解題思路自然、明確，思維量不大，主要考查了函數(shù)與方程、不等式等重要的代數(shù)思想，對(duì)運(yùn)算求解的能力提出了一定的要求.正因如此，使得絕大部分考生拿到考題都倍感“親切”，但真正做起來(lái)又跌跌撞撞，這正體現(xiàn)了高考的人文關(guān)懷及以“能力為宗旨”的命題理念，突出了高考試題的選拔功能.

解析幾何作為幾何學(xué)的一個(gè)重要組成部分，數(shù)形結(jié)合思想也是高考試題的一個(gè)重要考查.借助圖形的直觀、形象來(lái)分析、挖掘潛藏在題設(shè)條件背后的有用信息，可有效地避開(kāi)思維的盲點(diǎn)、漏洞，快速找準(zhǔn)問(wèn)題的著眼點(diǎn)，形成解題思路.當(dāng)然“形”的直觀還需“數(shù)”的輔助，這樣“形”才能更入微.正如著名的數(shù)學(xué)家華羅庚所言“數(shù)缺形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”.如（2014年湖北高考理科卷第21題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.（Ⅰ）求軌跡C的方程；（Ⅱ）設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P（-2，1），求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍.

本題第一問(wèn)求得軌跡C的方程為y2=4x，x≥0，

0，x<；0，在第二問(wèn)的求解過(guò)程中，若僅從方程組解的個(gè)數(shù)角度去代數(shù)分析求解，一不留神就會(huì)陷入“山窮水盡疑無(wú)路”的局面，但若依題意作其示意圖，以形助數(shù)，借助圖形的直觀性來(lái)分析求解，將會(huì)“豁然開(kāi)朗”，“柳暗花明”.如圖3示，圖3當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的直線l位于直線l1，l4及直線l2～l3之間（不包括直線l3）時(shí)，直線l與軌跡C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線l位于直線l3及l(fā)4～l1之間（直線l4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到l1，且不包括直線l1、l4）時(shí)，直線l與軌跡C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)直線l位于直線l1～l2之間（不包括直線l1、l2）及直線l3～l4之間（不包括直線l3、l4）時(shí)，直線l與軌跡C恰有三個(gè)公共點(diǎn)，其中直線l1、l4過(guò)點(diǎn)P且與曲線y2=4x相切.設(shè)直線l的方程為y-1=k（x+2）（k≠0），聯(lián)立直線與拋物線方程y-1=k（x+2），

y2=4x，消去x得ky2-4y+4（1+2k）=0，從而Δ=0，得k=12或-1，從而由圖可知kl1=-1，kl4=12.又kl2=-12，kl3=0，所以當(dāng)k∈（-∞，-1）∪12，+∞∪{0}時(shí)，直線l與軌跡C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k∈-12，0∪-1，12時(shí)，直線l與軌跡C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k∈（-1，-12）∪（0，12）時(shí)，直線l與軌跡C恰有三個(gè)公共點(diǎn).

利用圖形的直觀性，數(shù)形結(jié)合分析求解，整個(gè)過(guò)程行云流水，簡(jiǎn)捷而又實(shí)效，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在試題求解中的作用.3 運(yùn)算中突出技巧，樸實(shí)中彰顯能力

解析幾何的顯著特征就是幾何問(wèn)題代數(shù)化，因此代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性，過(guò)大的運(yùn)算量就成了解析幾何問(wèn)題求解的攔路虎，時(shí)常困擾著廣大考生.如何去突破解析幾何試題運(yùn)算求解中的繁瑣性，克服冗長(zhǎng)的運(yùn)算而帶來(lái)的心理壓力？除了要求考生其有過(guò)硬的運(yùn)算求解能力外，必要的運(yùn)算化簡(jiǎn)技巧、合理的引進(jìn)設(shè)置參數(shù)、適當(dāng)?shù)乇硎镜攘筷P(guān)系、合理的消參可使運(yùn)算求解更加簡(jiǎn)約，解題過(guò)程更優(yōu)化，進(jìn)而大大提高解題的效率.如（2014年北京高考數(shù)學(xué)理科卷第19題）已知橢圓C：x2+2y2=4. （Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

本題第一問(wèn)得e=22；第二問(wèn)要判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，由圓的性質(zhì)知，只需比較圓心O到直線AB的距離d與半徑r=2間的大小關(guān)系，為此需先求其直線AB的方程.基于OA⊥OB，因此可設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0），從而直線OB的方程為y=-1kx，于是聯(lián)立直線OA與橢圓方程即可求其A點(diǎn)坐標(biāo)（顯然點(diǎn)A坐標(biāo)可用參數(shù)k來(lái)表示），同理聯(lián)立直線OB與方程y=2可求其B點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可將直線AB的方程用參數(shù)k來(lái)表示，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式求其d，并比較d與r=2的大小.該做法理論上是很合情合理的，但真正具體運(yùn)算起來(lái)其過(guò)程極其繁瑣，原因在于聯(lián)立直線OA與橢圓方程求其A點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，雖點(diǎn)A坐標(biāo)可以用參數(shù)k來(lái)表示，但含有根式，這將為下面直線AB方程的表示及點(diǎn)到直線的距離d的求解帶來(lái)極大的麻煩，以致整個(gè)問(wèn)題的求解陷入僵局.然而倘若此處利用“設(shè)而不求”的解幾思想，設(shè)A（x0，y0），B（t，2），利用OA⊥OB及點(diǎn)A在橢圓上來(lái)建立關(guān)于參數(shù)x0，y0，t的等量關(guān)系式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)參數(shù)間的統(tǒng)一，即用參數(shù)x0來(lái)表示參數(shù)y0，t，而后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d（用參數(shù)x0來(lái)表示），最后比較d與半徑r=2的大小，整個(gè)問(wèn)題的求解雖有復(fù)雜性，但相對(duì)于上述解法可操作性會(huì)更強(qiáng)，運(yùn)算更簡(jiǎn)捷，解題過(guò)程更優(yōu)化.具體步驟如下：設(shè)A（x0，y0），B（t，2），因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A·OB=0，即tx0+2y0=0.又kAB=2-y0t-x0，從而直線的方程為y-2=2-y0t-x0（x-t），即（2-y0）x-（t-x0）y-2x0+ty0=0，從而點(diǎn)O到直線AB的距離d=ty0-2x0（2-y0）2+（t-x0）2.由tx0+2y0=0知t=-2y0x0，所以d=2x20+y20x20+4.又點(diǎn)A在橢圓C上，所以x20+2y20=4，得y20=2-x202，從而d=2=r，故直線AB與圓x2+y2=2相切.

該做法除參數(shù)的合理設(shè)置外，適時(shí)的消參是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，樸實(shí)之處充分考查了考生的數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)也折射出了高考命題者的智慧.

通過(guò)上述對(duì)2014年高考解析幾何試題的透析，不難發(fā)現(xiàn)，試題的設(shè)置樸實(shí)之中孕育著基礎(chǔ)，常規(guī)之中彰顯能力.作為全國(guó)范圍內(nèi)的選拔性考試——高考，其題目的設(shè)計(jì)是在立足課本的基礎(chǔ)上，依照考綱由課本例習(xí)題經(jīng)過(guò)改編、引申、嫁接、創(chuàng)新而來(lái)，是在立足雙基的基礎(chǔ)上強(qiáng)化能力的考查，具有較強(qiáng)的甄別功能.而作為高考試題的改革，其力度是穩(wěn)中求進(jìn)、難度適宜，逐步深入的.現(xiàn)結(jié)合2014年高考解析幾何試題的整體特征，對(duì)2015年高考復(fù)習(xí)備考提出以下幾點(diǎn)建議，僅作參考.

1.夯實(shí)雙基，強(qiáng)化能力

高考試題的設(shè)計(jì)宗旨是著重于基礎(chǔ)知識(shí)、基本數(shù)學(xué)思想方法、技能的考查，進(jìn)而深化對(duì)考生自身數(shù)學(xué)能力及素養(yǎng)的考查.因此在高考解析幾何的復(fù)習(xí)中，一定要依綱靠本，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法、基本技能的學(xué)習(xí)與鞏固（如各類(lèi)不同圓錐曲線的幾何性質(zhì)、曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的合理設(shè)置、待定系數(shù)法的合理使用，定值、定點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)處理策略等），與之同時(shí)，廣大教師還應(yīng)有意識(shí)地不斷去鍛煉與提高學(xué)生的各項(xiàng)數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)（如運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力、分析處理問(wèn)題的能力等）.

2.注重?cái)?shù)學(xué)思想在解析幾何學(xué)習(xí)中的滲透

解析幾何的顯著特征是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題來(lái)運(yùn)算求解，因此在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要注意一些常見(jiàn)的代數(shù)思想在解析幾何中的滲透（如方程與函數(shù)思想、不等式思想、分類(lèi)討論會(huì)思想等），這樣有助于我們更好地把握幾何問(wèn)題的代數(shù)本質(zhì).當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的滲透也不可小視，它可使抽象的問(wèn)題、隱含的條件更加直觀、顯突，進(jìn)而使得我們更好找準(zhǔn)思維的起點(diǎn)，尋求突破.

3.加強(qiáng)解析幾何中重要結(jié)論、公式的學(xué)習(xí)與提煉

高考試題是命題專(zhuān)家們潛心鉆研、精雕細(xì)琢而成.許多試題可作進(jìn)一步的延伸、拓展與變式，其試題的背后往往蘊(yùn)藏著豐富的內(nèi)涵，試題的設(shè)置常常是在一些重要結(jié)論的背景下來(lái)命制而成.因此在日常的高考復(fù)習(xí)備考中，廣大師生需有意識(shí)地提煉與總結(jié)潛藏在一些試題中的重要結(jié)論與性質(zhì)，這樣可使我們與命題者站在同一思維高度，高觀點(diǎn)下審視高考試題，進(jìn)而更好地把握問(wèn)題的內(nèi)在本質(zhì)，切中問(wèn)題要害，使得問(wèn)題求解起來(lái)快捷而又高效.

y2=4x，消去x得ky2-4y+4（1+2k）=0，從而Δ=0，得k=12或-1，從而由圖可知kl1=-1，kl4=12.又kl2=-12，kl3=0，所以當(dāng)k∈（-∞，-1）∪12，+∞∪{0}時(shí)，直線l與軌跡C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k∈-12，0∪-1，12時(shí)，直線l與軌跡C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k∈（-1，-12）∪（0，12）時(shí)，直線l與軌跡C恰有三個(gè)公共點(diǎn).

利用圖形的直觀性，數(shù)形結(jié)合分析求解，整個(gè)過(guò)程行云流水，簡(jiǎn)捷而又實(shí)效，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在試題求解中的作用.3 運(yùn)算中突出技巧，樸實(shí)中彰顯能力

解析幾何的顯著特征就是幾何問(wèn)題代數(shù)化，因此代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性，過(guò)大的運(yùn)算量就成了解析幾何問(wèn)題求解的攔路虎，時(shí)常困擾著廣大考生.如何去突破解析幾何試題運(yùn)算求解中的繁瑣性，克服冗長(zhǎng)的運(yùn)算而帶來(lái)的心理壓力？除了要求考生其有過(guò)硬的運(yùn)算求解能力外，必要的運(yùn)算化簡(jiǎn)技巧、合理的引進(jìn)設(shè)置參數(shù)、適當(dāng)?shù)乇硎镜攘筷P(guān)系、合理的消參可使運(yùn)算求解更加簡(jiǎn)約，解題過(guò)程更優(yōu)化，進(jìn)而大大提高解題的效率.如（2014年北京高考數(shù)學(xué)理科卷第19題）已知橢圓C：x2+2y2=4. （Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

本題第一問(wèn)得e=22；第二問(wèn)要判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，由圓的性質(zhì)知，只需比較圓心O到直線AB的距離d與半徑r=2間的大小關(guān)系，為此需先求其直線AB的方程.基于OA⊥OB，因此可設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0），從而直線OB的方程為y=-1kx，于是聯(lián)立直線OA與橢圓方程即可求其A點(diǎn)坐標(biāo)（顯然點(diǎn)A坐標(biāo)可用參數(shù)k來(lái)表示），同理聯(lián)立直線OB與方程y=2可求其B點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可將直線AB的方程用參數(shù)k來(lái)表示，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式求其d，并比較d與r=2的大小.該做法理論上是很合情合理的，但真正具體運(yùn)算起來(lái)其過(guò)程極其繁瑣，原因在于聯(lián)立直線OA與橢圓方程求其A點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，雖點(diǎn)A坐標(biāo)可以用參數(shù)k來(lái)表示，但含有根式，這將為下面直線AB方程的表示及點(diǎn)到直線的距離d的求解帶來(lái)極大的麻煩，以致整個(gè)問(wèn)題的求解陷入僵局.然而倘若此處利用“設(shè)而不求”的解幾思想，設(shè)A（x0，y0），B（t，2），利用OA⊥OB及點(diǎn)A在橢圓上來(lái)建立關(guān)于參數(shù)x0，y0，t的等量關(guān)系式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)參數(shù)間的統(tǒng)一，即用參數(shù)x0來(lái)表示參數(shù)y0，t，而后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d（用參數(shù)x0來(lái)表示），最后比較d與半徑r=2的大小，整個(gè)問(wèn)題的求解雖有復(fù)雜性，但相對(duì)于上述解法可操作性會(huì)更強(qiáng)，運(yùn)算更簡(jiǎn)捷，解題過(guò)程更優(yōu)化.具體步驟如下：設(shè)A（x0，y0），B（t，2），因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A·OB=0，即tx0+2y0=0.又kAB=2-y0t-x0，從而直線的方程為y-2=2-y0t-x0（x-t），即（2-y0）x-（t-x0）y-2x0+ty0=0，從而點(diǎn)O到直線AB的距離d=ty0-2x0（2-y0）2+（t-x0）2.由tx0+2y0=0知t=-2y0x0，所以d=2x20+y20x20+4.又點(diǎn)A在橢圓C上，所以x20+2y20=4，得y20=2-x202，從而d=2=r，故直線AB與圓x2+y2=2相切.

該做法除參數(shù)的合理設(shè)置外，適時(shí)的消參是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，樸實(shí)之處充分考查了考生的數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)也折射出了高考命題者的智慧.

通過(guò)上述對(duì)2014年高考解析幾何試題的透析，不難發(fā)現(xiàn)，試題的設(shè)置樸實(shí)之中孕育著基礎(chǔ)，常規(guī)之中彰顯能力.作為全國(guó)范圍內(nèi)的選拔性考試——高考，其題目的設(shè)計(jì)是在立足課本的基礎(chǔ)上，依照考綱由課本例習(xí)題經(jīng)過(guò)改編、引申、嫁接、創(chuàng)新而來(lái)，是在立足雙基的基礎(chǔ)上強(qiáng)化能力的考查，具有較強(qiáng)的甄別功能.而作為高考試題的改革，其力度是穩(wěn)中求進(jìn)、難度適宜，逐步深入的.現(xiàn)結(jié)合2014年高考解析幾何試題的整體特征，對(duì)2015年高考復(fù)習(xí)備考提出以下幾點(diǎn)建議，僅作參考.

1.夯實(shí)雙基，強(qiáng)化能力

高考試題的設(shè)計(jì)宗旨是著重于基礎(chǔ)知識(shí)、基本數(shù)學(xué)思想方法、技能的考查，進(jìn)而深化對(duì)考生自身數(shù)學(xué)能力及素養(yǎng)的考查.因此在高考解析幾何的復(fù)習(xí)中，一定要依綱靠本，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法、基本技能的學(xué)習(xí)與鞏固（如各類(lèi)不同圓錐曲線的幾何性質(zhì)、曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的合理設(shè)置、待定系數(shù)法的合理使用，定值、定點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)處理策略等），與之同時(shí)，廣大教師還應(yīng)有意識(shí)地不斷去鍛煉與提高學(xué)生的各項(xiàng)數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)（如運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力、分析處理問(wèn)題的能力等）.

2.注重?cái)?shù)學(xué)思想在解析幾何學(xué)習(xí)中的滲透

解析幾何的顯著特征是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題來(lái)運(yùn)算求解，因此在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要注意一些常見(jiàn)的代數(shù)思想在解析幾何中的滲透（如方程與函數(shù)思想、不等式思想、分類(lèi)討論會(huì)思想等），這樣有助于我們更好地把握幾何問(wèn)題的代數(shù)本質(zhì).當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的滲透也不可小視，它可使抽象的問(wèn)題、隱含的條件更加直觀、顯突，進(jìn)而使得我們更好找準(zhǔn)思維的起點(diǎn)，尋求突破.

3.加強(qiáng)解析幾何中重要結(jié)論、公式的學(xué)習(xí)與提煉

高考試題是命題專(zhuān)家們潛心鉆研、精雕細(xì)琢而成.許多試題可作進(jìn)一步的延伸、拓展與變式，其試題的背后往往蘊(yùn)藏著豐富的內(nèi)涵，試題的設(shè)置常常是在一些重要結(jié)論的背景下來(lái)命制而成.因此在日常的高考復(fù)習(xí)備考中，廣大師生需有意識(shí)地提煉與總結(jié)潛藏在一些試題中的重要結(jié)論與性質(zhì)，這樣可使我們與命題者站在同一思維高度，高觀點(diǎn)下審視高考試題，進(jìn)而更好地把握問(wèn)題的內(nèi)在本質(zhì)，切中問(wèn)題要害，使得問(wèn)題求解起來(lái)快捷而又高效.

y2=4x，消去x得ky2-4y+4（1+2k）=0，從而Δ=0，得k=12或-1，從而由圖可知kl1=-1，kl4=12.又kl2=-12，kl3=0，所以當(dāng)k∈（-∞，-1）∪12，+∞∪{0}時(shí)，直線l與軌跡C恰有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k∈-12，0∪-1，12時(shí)，直線l與軌跡C恰有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k∈（-1，-12）∪（0，12）時(shí)，直線l與軌跡C恰有三個(gè)公共點(diǎn).

利用圖形的直觀性，數(shù)形結(jié)合分析求解，整個(gè)過(guò)程行云流水，簡(jiǎn)捷而又實(shí)效，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在試題求解中的作用.3 運(yùn)算中突出技巧，樸實(shí)中彰顯能力

解析幾何的顯著特征就是幾何問(wèn)題代數(shù)化，因此代數(shù)運(yùn)算的復(fù)雜性，過(guò)大的運(yùn)算量就成了解析幾何問(wèn)題求解的攔路虎，時(shí)常困擾著廣大考生.如何去突破解析幾何試題運(yùn)算求解中的繁瑣性，克服冗長(zhǎng)的運(yùn)算而帶來(lái)的心理壓力？除了要求考生其有過(guò)硬的運(yùn)算求解能力外，必要的運(yùn)算化簡(jiǎn)技巧、合理的引進(jìn)設(shè)置參數(shù)、適當(dāng)?shù)乇硎镜攘筷P(guān)系、合理的消參可使運(yùn)算求解更加簡(jiǎn)約，解題過(guò)程更優(yōu)化，進(jìn)而大大提高解題的效率.如（2014年北京高考數(shù)學(xué)理科卷第19題）已知橢圓C：x2+2y2=4. （Ⅰ）求橢圓C的離心率；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

本題第一問(wèn)得e=22；第二問(wèn)要判斷直線AB與圓x2+y2=2的位置關(guān)系，由圓的性質(zhì)知，只需比較圓心O到直線AB的距離d與半徑r=2間的大小關(guān)系，為此需先求其直線AB的方程.基于OA⊥OB，因此可設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0），從而直線OB的方程為y=-1kx，于是聯(lián)立直線OA與橢圓方程即可求其A點(diǎn)坐標(biāo)（顯然點(diǎn)A坐標(biāo)可用參數(shù)k來(lái)表示），同理聯(lián)立直線OB與方程y=2可求其B點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可將直線AB的方程用參數(shù)k來(lái)表示，最后利用點(diǎn)到直線的距離公式求其d，并比較d與r=2的大小.該做法理論上是很合情合理的，但真正具體運(yùn)算起來(lái)其過(guò)程極其繁瑣，原因在于聯(lián)立直線OA與橢圓方程求其A點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，雖點(diǎn)A坐標(biāo)可以用參數(shù)k來(lái)表示，但含有根式，這將為下面直線AB方程的表示及點(diǎn)到直線的距離d的求解帶來(lái)極大的麻煩，以致整個(gè)問(wèn)題的求解陷入僵局.然而倘若此處利用“設(shè)而不求”的解幾思想，設(shè)A（x0，y0），B（t，2），利用OA⊥OB及點(diǎn)A在橢圓上來(lái)建立關(guān)于參數(shù)x0，y0，t的等量關(guān)系式，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)參數(shù)間的統(tǒng)一，即用參數(shù)x0來(lái)表示參數(shù)y0，t，而后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出d（用參數(shù)x0來(lái)表示），最后比較d與半徑r=2的大小，整個(gè)問(wèn)題的求解雖有復(fù)雜性，但相對(duì)于上述解法可操作性會(huì)更強(qiáng)，運(yùn)算更簡(jiǎn)捷，解題過(guò)程更優(yōu)化.具體步驟如下：設(shè)A（x0，y0），B（t，2），因?yàn)镺A⊥OB，所以O(shè)A·OB=0，即tx0+2y0=0.又kAB=2-y0t-x0，從而直線的方程為y-2=2-y0t-x0（x-t），即（2-y0）x-（t-x0）y-2x0+ty0=0，從而點(diǎn)O到直線AB的距離d=ty0-2x0（2-y0）2+（t-x0）2.由tx0+2y0=0知t=-2y0x0，所以d=2x20+y20x20+4.又點(diǎn)A在橢圓C上，所以x20+2y20=4，得y20=2-x202，從而d=2=r，故直線AB與圓x2+y2=2相切.

該做法除參數(shù)的合理設(shè)置外，適時(shí)的消參是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，樸實(shí)之處充分考查了考生的數(shù)學(xué)能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)也折射出了高考命題者的智慧.

通過(guò)上述對(duì)2014年高考解析幾何試題的透析，不難發(fā)現(xiàn)，試題的設(shè)置樸實(shí)之中孕育著基礎(chǔ)，常規(guī)之中彰顯能力.作為全國(guó)范圍內(nèi)的選拔性考試——高考，其題目的設(shè)計(jì)是在立足課本的基礎(chǔ)上，依照考綱由課本例習(xí)題經(jīng)過(guò)改編、引申、嫁接、創(chuàng)新而來(lái)，是在立足雙基的基礎(chǔ)上強(qiáng)化能力的考查，具有較強(qiáng)的甄別功能.而作為高考試題的改革，其力度是穩(wěn)中求進(jìn)、難度適宜，逐步深入的.現(xiàn)結(jié)合2014年高考解析幾何試題的整體特征，對(duì)2015年高考復(fù)習(xí)備考提出以下幾點(diǎn)建議，僅作參考.

1.夯實(shí)雙基，強(qiáng)化能力

高考試題的設(shè)計(jì)宗旨是著重于基礎(chǔ)知識(shí)、基本數(shù)學(xué)思想方法、技能的考查，進(jìn)而深化對(duì)考生自身數(shù)學(xué)能力及素養(yǎng)的考查.因此在高考解析幾何的復(fù)習(xí)中，一定要依綱靠本，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法、基本技能的學(xué)習(xí)與鞏固（如各類(lèi)不同圓錐曲線的幾何性質(zhì)、曲線上點(diǎn)坐標(biāo)的合理設(shè)置、待定系數(shù)法的合理使用，定值、定點(diǎn)問(wèn)題的常見(jiàn)處理策略等），與之同時(shí)，廣大教師還應(yīng)有意識(shí)地不斷去鍛煉與提高學(xué)生的各項(xiàng)數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)（如運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力、分析處理問(wèn)題的能力等）.

2.注重?cái)?shù)學(xué)思想在解析幾何學(xué)習(xí)中的滲透

解析幾何的顯著特征是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題來(lái)運(yùn)算求解，因此在復(fù)習(xí)過(guò)程中，要注意一些常見(jiàn)的代數(shù)思想在解析幾何中的滲透（如方程與函數(shù)思想、不等式思想、分類(lèi)討論會(huì)思想等），這樣有助于我們更好地把握幾何問(wèn)題的代數(shù)本質(zhì).當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的滲透也不可小視，它可使抽象的問(wèn)題、隱含的條件更加直觀、顯突，進(jìn)而使得我們更好找準(zhǔn)思維的起點(diǎn)，尋求突破.

3.加強(qiáng)解析幾何中重要結(jié)論、公式的學(xué)習(xí)與提煉

高考試題是命題專(zhuān)家們潛心鉆研、精雕細(xì)琢而成.許多試題可作進(jìn)一步的延伸、拓展與變式，其試題的背后往往蘊(yùn)藏著豐富的內(nèi)涵，試題的設(shè)置常常是在一些重要結(jié)論的背景下來(lái)命制而成.因此在日常的高考復(fù)習(xí)備考中，廣大師生需有意識(shí)地提煉與總結(jié)潛藏在一些試題中的重要結(jié)論與性質(zhì)，這樣可使我們與命題者站在同一思維高度，高觀點(diǎn)下審視高考試題，進(jìn)而更好地把握問(wèn)題的內(nèi)在本質(zhì)，切中問(wèn)題要害，使得問(wèn)題求解起來(lái)快捷而又高效.