被動雷達導(dǎo)引頭抗干擾性能評估指標(biāo)權(quán)重算法＊

張平峰 孟 蕾 肖 韓

（1.海軍駐上海某軍事代表室 上海 200000）（2.海軍航空工程學(xué)院 煙臺 264001）（3.91867部隊41分隊 義烏 322000）

1 引言

被動雷達導(dǎo)引頭具有探測距離遠、隱蔽性好、耗能少等優(yōu)點，已經(jīng)被廣泛用于反輻射導(dǎo)彈［1］和防空導(dǎo)彈［2］?，F(xiàn)代海上復(fù)雜戰(zhàn)場干擾環(huán)境下，其抗干擾性能評估顯得越來越重要［3～5］?？垢蓴_指標(biāo)不是都可以量化，有一部分指標(biāo)只能進行定性分析，所以必須通過定量和定性相結(jié)合的方法來綜合評價導(dǎo)引頭的抗干擾能力，考慮到抗干擾指標(biāo)的多層次性和評估的模糊性，本文選用模糊層次分析法建立被動雷達導(dǎo)引頭抗干擾能力指標(biāo)體系［6～8］。

2 基于自信度的專家打分法

傳統(tǒng)的專家打分法只要求專家對各因素之間的相對重要性打分。由于評估問題量化的復(fù)雜性，專家的打分往往存在一些不確定的主觀因素。為了描述這種不確定性，可以請專家給相對重要性打分的同時，也對自己打分時的自信度做合理的估計，同樣也以打分的形式給出，這個自信度可以用重要性比值的均方差來具體量化，這種打分法是把相對重要性比值看作是有一定波動范圍的隨機變量。專家對每一對指標(biāo)評估時要給出兩個分值，一個代表重要性比值的大小，另一個代表自信度的大小，打分的分值在1～9之間。

提出層次分析法的美國運籌學(xué)家T.L.Saaty最早采用的1～9標(biāo)度法對打分進行賦值，后人對標(biāo)度法進行了改進，根據(jù)韋伯—費希納準(zhǔn)則，人的主觀感覺等差遞增時，刺激感覺的客觀物理量是等比遞增的，所以指數(shù)標(biāo)度法更符合人們的認(rèn)知規(guī)律，專家對重要性程度和自信度的打分含義如表1所示，表中同時給出了打分分值相對應(yīng)的指數(shù)標(biāo)度值。

表1 專家打分的含義

假設(shè)相對重要性比值X近似服從正態(tài)分布，即X～N（β，δ2），X的概率密度函數(shù)可以表示為

由于正態(tài)分布的隨機變量基本分布在均值β的3δ范圍內(nèi)，根據(jù)以上分析可知，專家對指標(biāo)的相對重要性進行評估時給出的不再是單一數(shù)值，而是根據(jù)自己的經(jīng)驗給出的一個數(shù)集（β－3δ，β＋3δ），在這個集合內(nèi)fX（x）的積分幾乎等于1，重要性比值不會接近0，而δ一般很小，所以在β－3δ＞0時，有

假設(shè)專家對重要性比值X的打分分值為k，對自信度δ0的打分分值為t，標(biāo)度計算公式為

式中，β為X的均值，δ為X 的均方差。自信度δ0可以認(rèn)為是X的均方差δ與均值β的比值，也就是X的相對誤差，δ0越大表示X的波動范圍越大，此時專家對自己的判斷自信性也越小，相反，δ0越小表示X的波動范圍越小，專家對自己的判斷自信性也越大。γ為對自信度打1分時δ0的大小，專家自信性最差時打9分，δ0＝9γ，此時X大部分分布在β（1±27γ）范圍內(nèi)，考慮到專家自信性最差時允許X的波動范圍在30%以內(nèi)，γ可取值1%。

被動雷達導(dǎo)引頭的抗干擾指標(biāo)主要有抗有源噪聲干擾和欺騙干擾指標(biāo)，無源干擾對被動雷達作用不大?？褂性丛肼暩蓴_指標(biāo)主要有測角精度、跟蹤精度、壓制系數(shù)和相對燒穿距離?？蛊垓_干擾指標(biāo)主要有抗欺騙干擾概率和抗誘偏瞄準(zhǔn)誤差。針對被動雷達導(dǎo)引頭識別目標(biāo)所采取的若干抗干擾措施，識別能力指標(biāo)有識別概率，載頻、重頻和脈寬可識別范圍，抗頻率捷變范圍等。被動雷達導(dǎo)引頭抗干擾指標(biāo)體系如圖1所示。

圖1 被動雷達導(dǎo)引頭抗干擾指標(biāo)體系

以被動雷達導(dǎo)引頭抗有源噪聲干擾指標(biāo)下層的四個指標(biāo)為例，專家打分表如表2所示，相對重要性只需要兩兩進行比較，所以四個指標(biāo)的相對重要性比值有C24個，n個指標(biāo)的重要性比值有C2n個，兩兩比較時順序不同的相對重要性比值互為倒數(shù)，所以只需要知道其中一個就行，為了方便標(biāo)度，專家只需要給出大于1的比值，同時在表中注明比較的順序。

表2 專家對W6～W9指標(biāo)的打分表

表3 X的均值和均方差計算表

表中，專家對W7／W6的重要性打分k＝3.32，對自信度打分t＝2.51，表明這位專家認(rèn)為W7指標(biāo)比W6指標(biāo)稍微重要，并且對自己判斷非常有自信。k＝3.32對應(yīng)的重要性比值的均值β＝1.89，t＝2.5對應(yīng)的自信度是δ0＝1.51%，重要性比值的均方差δ＝βδ0＝0.029。同樣方法可以得到其它重要性比值的均值β、自信度δ0和均方差δ，專家打分表經(jīng)過指數(shù)標(biāo)度法處理后得到表3。

重要性比值X＝W7／W6的概率密度函數(shù)為f76（y），類似的有f86（y），f96（y），f87（y），f97（y），f98（y），它們的圖像如圖2所示。

圖2 X概率密度函數(shù)

為了更加客觀地評價，專家往往不止一個，若總共有m個專家參加打分，他們對某一對指標(biāo)的打分處理結(jié)果為（β1，δ1），（β2，δ2），…，（βm，δm），按照正態(tài)分布隨機變量疊加理論，m個專家的評價綜合結(jié)果為（β，δ）

3 構(gòu)造判斷矩陣

對專家打分的指數(shù)標(biāo)度實際上只是給出了判斷矩陣中非對角線元素中的一半，即兩兩比較時，只給出了其中大于1的比值，而且這個比值是個隨機變量X，當(dāng)這兩個元素位置顛倒過來時，重要性比值是小于1的，這時重要性比值也是個隨機變量Y［9］。構(gòu)造判斷矩陣時，需要由X計算相應(yīng)的Y，設(shè)X的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為FX（x）和fX（x），Y的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)分別為FY（y）和f′Y（y），并且有Y＝1／X。在 X 近似服從正態(tài)分布的假設(shè)下，X和Y的散布范圍都很小，為負數(shù)的可能性極小，即可以認(rèn)為FX（0）＝FY（0）＝0，x，y＞0，計算Y的概率密度函數(shù)

下面驗證f′Y（y）的積分是否為1：

做變量代換，x＝1／y，由式（2）知

明顯隨機變量Y的分布不屬于正態(tài)分布，f′Y（y）的形式和逆高斯分布類似

在λ趨于無窮大時，逆高斯分布逐漸趨近于高斯分布，可以設(shè)想一定條件下Y也是近似服從正態(tài)分布的。為了統(tǒng)一判斷矩陣中各個元素的分布情況，可以假設(shè)小于1的重要性比值Y也是符合正態(tài)分布的，并且Y的相對誤差σ0和對應(yīng)的大于1的重要性比值X的相對誤差δ0是相同的，即σ0＝δ0，這樣就避免了通過隨機變量X的分布求隨機變量Y的分布，結(jié)果不為正態(tài)分布的困難局面。根據(jù)假設(shè)Y～N（α，σ2），則有

下面證明，y在1／β附近，即當(dāng)y－1／β≈0時，有f′Y（y）≈fY（y），將式（6）和式（10）中的指數(shù)部分分別展開成泰勒級數(shù)：

當(dāng)δ0≤0.1的時候，由y≈1／β知1／β－y2β≈0，式（11）分子減去分母得

所以，可得出結(jié)論：在δ0≤0.1的情況下，當(dāng)X服從正態(tài)分布時，Y也是近似服從正態(tài)分布的。β＝2，自信度δ0取不同值時，概率密度函數(shù)f′Y（y）和fY（y）的圖像如圖3所示。

從圖2中可以看f′Y（y）和fY（y）的圖像非常相似，尤其是當(dāng)相對誤差δ0≤0.1時，這說明通過Y＝1／X由X 求得Y的分布情況和通過X、Y有相同相對誤差σ0＝δ0求得的結(jié)果幾乎是相同的，這兩種方法并不沖突。

圖3 兩種概率密度函數(shù)

考慮到后期對判斷矩陣進行數(shù)據(jù)處理的方便性，選用第二種方法，經(jīng)計算可以得到小于1的重要性比值的均值α、自信度σ0和均方差σ，如表4所示。

表4 Y的均值和均方差計算表

重要性比值Y＝W6／W7的概率密度函數(shù)為f67（y），類似的有f68（y），f69（y），f78（y），f79（y），f89（y），它們的圖像如圖4所示。

圖4 Y的概率密度函數(shù)

這樣可以認(rèn)為判斷矩陣中所有的元素都屬于變化范圍較小的正態(tài)隨機變量，所以每個元素需要有兩個參數(shù)才能完整描述，即均值和均方差。W6～W9指標(biāo)的判斷矩陣如表5所示。

表5 W6～W9指標(biāo)的判斷矩陣

4 計算指標(biāo)權(quán)重

n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根λmax＝n，且當(dāng)正互反矩陣A非一致時，必有λmax＞n。可以由λmax是否等于n來檢驗判斷矩陣A是否為一致矩陣。當(dāng)λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越嚴(yán)重，λmax對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實地反映各指標(biāo)所占的比重。因此，對判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗，以決定是否能接受它。對判斷矩陣的一致性檢驗的步驟如下：

第一步，計算一致性指標(biāo)CI

第二步，查找相應(yīng)的平均隨機一致性指標(biāo)RI。對n＝1，…，9，指數(shù)標(biāo)度法RI的值如表6所示。

表6 指數(shù)標(biāo)度法RI的值

指數(shù)標(biāo)度法的平均隨機一致性指標(biāo)RI是這樣得到的，用隨機方法構(gòu)造500個樣本矩陣：隨機地從9－8／8，…，9－1／8，1，91／8，…，98／8共17個數(shù)中抽取數(shù)字構(gòu)造正互反矩陣，求得最大特征根的平均值λ′max，并定義

第三步，計算一致性比例CR

當(dāng)CR＜0.10時，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)修正。若有判斷矩陣A＝（aij）n×n，定義矩陣C＝（cij）n×n滿足

則稱C為判斷矩陣A的導(dǎo)出矩陣。

找出導(dǎo)出矩陣C中最大項cij后，說明判斷矩陣A中對應(yīng)的元素aij是造成不一致性最嚴(yán)重的元素，修改元素aij使得

重新進行一致性判斷，若還不滿足一致性要求，繼續(xù)根據(jù)導(dǎo)出矩陣尋找不一致元素aij并修改，直至滿足一致性為止。求出判斷矩陣A的最大特征值λmax對應(yīng)的歸一化特征向量Q＝（q1，…，qn），qi（i＝1，…，n）就是第i個指標(biāo)的權(quán)重，Q就是這n個指標(biāo)的權(quán)重向量。

按照表5判斷矩陣中各元素的均值和方差，隨機生成一個判斷矩陣表7。

表7 隨機生成判斷矩陣

利用Matlab的EIG函數(shù)求得上述矩陣的特征值和特征向量，最大特征值λmax＝4.0998，根據(jù)式（12）得CI＝0.0333，RI＝0.546，對應(yīng)的CR＝0.061＜0.1，判斷矩陣滿足一致性，對應(yīng)的歸一化特征向量為Q＝（0.0906 0.1919 0.3190 0.3985），權(quán)重向量Q的元素即為W6～W7對應(yīng)的指標(biāo)權(quán)重。

5 結(jié)語

考慮了自信度的專家打分法更能反映評估中的不確定性因素，利用合理的指數(shù)標(biāo)度法對打分進行數(shù)量化，雖然基于自信度的判斷矩陣計算相對復(fù)雜一些，但是也能更好地反映評估指標(biāo)間相對重要性關(guān)系的細微不確定性，本文通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)得出指標(biāo)權(quán)重的算法，通過對被動雷達導(dǎo)引頭抗有源干擾指標(biāo)的子指標(biāo)間相對權(quán)重的計算，結(jié)果驗證了算法的有效性和準(zhǔn)確性。

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