數(shù)學(xué)建模教學(xué)中存在的若干問(wèn)題及其對(duì)策

鐘一兵

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

1 開(kāi)展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的意義

伴隨科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，人類的認(rèn)知領(lǐng)域也得到延伸拓展.作為基礎(chǔ)科學(xué)的數(shù)學(xué)，其發(fā)展越來(lái)越迅速,它已經(jīng)被當(dāng)作“一種文化”[1]而存在.數(shù)學(xué)理論體系具有很強(qiáng)的邏輯性，但近幾年來(lái)由于主干課程學(xué)時(shí)縮減而教學(xué)內(nèi)容偏多，教師在教學(xué)中除了直接進(jìn)行抽象的推導(dǎo)，就是訓(xùn)練學(xué)生的解題能力與解題技巧，無(wú)暇或很少涉及數(shù)學(xué)方法在生產(chǎn)實(shí)踐及實(shí)際生活中的應(yīng)用.這使得學(xué)生對(duì)很多數(shù)學(xué)知識(shí)只知其然而不知其所以然，感受不到數(shù)學(xué)文化的魅力.同時(shí)，由于欠缺實(shí)際應(yīng)用，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想及方法的理解往往不夠深刻，應(yīng)用能力較差.

為解決上述問(wèn)題，20世紀(jì)80年代初[2]，許多高校開(kāi)始將數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)等數(shù)學(xué)建模課程引入數(shù)學(xué)課堂，這門新數(shù)學(xué)課在90年代得到快速普及，目前全國(guó)已有1 000多所高校開(kāi)設(shè)各種類型的數(shù)學(xué)建模課.

2 數(shù)學(xué)建模教學(xué)中存在的問(wèn)題

2.1 開(kāi)設(shè)的課程過(guò)于單調(diào)

除了一些起步較早且?guī)熧Y力量雄厚的高校外，多數(shù)高校只對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”一門必修課；對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生，僅將該課程設(shè)為公選課.選修這門課程的學(xué)生相對(duì)較少，由此產(chǎn)生以下幾個(gè)問(wèn)題：

其一，學(xué)生的實(shí)踐機(jī)會(huì)少.除了安排少量的實(shí)驗(yàn)課外（約占10學(xué)時(shí)），學(xué)生大部分時(shí)間集中在教室里聽(tīng)教師授課；即使是實(shí)驗(yàn)課，學(xué)生絕大部分時(shí)間也是在驗(yàn)算教師在課上所授方法，真正得到的實(shí)踐機(jī)會(huì)很少，這與開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)建模相關(guān)課程的初衷相悖.這樣既不利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和應(yīng)用能力，也不利于提高學(xué)生的發(fā)現(xiàn)及創(chuàng)造能力.

其二，學(xué)生的參與程度低.因?yàn)檎n程學(xué)時(shí)的關(guān)系，教師為趕教學(xué)進(jìn)度，在教學(xué)中使用的很多范例已被數(shù)學(xué)化了，解決方法通常也只有1種.這導(dǎo)致學(xué)生在思維方面缺乏自由度，學(xué)生的參與和教師的互動(dòng)不夠，學(xué)生的主觀能動(dòng)性難以調(diào)動(dòng)起來(lái).

其三，學(xué)生的編程能力差.非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰皵?shù)學(xué)軟件的使用水平普遍不高，一些學(xué)生甚至根本不會(huì)使用常用的數(shù)學(xué)軟件，如MATLAB,SPSS等；而數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生這方面情況雖然稍好，但也不容樂(lè)觀，其不足具體體現(xiàn)在將數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為算法的能力差，以及將算法編為相應(yīng)軟件程序的能力差.

2.2 培訓(xùn)模式過(guò)于簡(jiǎn)單

目前，在多數(shù)同類院校中數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)主要采取以下模式：開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課程，再加上一個(gè)階段（如暑假）的強(qiáng)化培訓(xùn).這種模式經(jīng)實(shí)踐檢驗(yàn)收效良好，但也存在一些問(wèn)題，具體如下：

其一，數(shù)學(xué)建模課的受眾面小.“數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課除數(shù)學(xué)專業(yè)設(shè)為必修課外，在非數(shù)學(xué)專業(yè)均設(shè)為公選課.而學(xué)生選擇公選課時(shí)以能輕松拿到學(xué)分為優(yōu)選，因此他們一般會(huì)首選藝術(shù)、美學(xué)或者生活與休閑之類較輕松的課程，很少選擇專業(yè)性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程.

其二，數(shù)學(xué)建模課的交流討論機(jī)會(huì)較少.建模課的大部分課時(shí)用作講授課程相關(guān)內(nèi)容，即使是上實(shí)驗(yàn)課，一名教師也需要應(yīng)對(duì)眾多學(xué)生.如此一來(lái)，教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的互動(dòng)機(jī)會(huì)減少，就某一實(shí)際問(wèn)題展開(kāi)討論與交流的機(jī)會(huì)則更少.

其三，數(shù)學(xué)建模課接觸的實(shí)際問(wèn)題少.為了完成教學(xué)任務(wù)，教師只能按部就班地按照教材章節(jié)逐一演示課件中所述建模方法，不能在課堂上就大量的實(shí)際問(wèn)題展開(kāi)討論，因此學(xué)生習(xí)得的只是一些抽象的方法.

2.3 培訓(xùn)效果較差

從以往的校內(nèi)賽及模擬競(jìng)賽情況看，雖然已經(jīng)開(kāi)設(shè)過(guò)“數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課，但學(xué)生對(duì)大部分實(shí)際問(wèn)題的解決，仍是一籌莫展.盡管想法很多，卻不知如何入手建立模型；有時(shí)學(xué)生甚至已經(jīng)想到可用某種方法解決問(wèn)題，但卻不知如何通過(guò)設(shè)立變量建立關(guān)系式.筆者在培訓(xùn)中曾將以往的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題提前發(fā)給學(xué)生，幾天后再讓學(xué)生進(jìn)行集中討論.每次都有學(xué)生對(duì)問(wèn)題的求解方法侃侃而談，但要求其板演求解過(guò)程或者步驟時(shí)卻往往無(wú)法順利寫出，從而發(fā)現(xiàn)絕大部分想法無(wú)法實(shí)現(xiàn).此外，由于實(shí)訓(xùn)太少，學(xué)生的寫作能力和使用數(shù)學(xué)軟件的能力也都未能盡如人意.多數(shù)學(xué)生寫作的文法、格式及表達(dá)方式存在明顯缺陷，摘要部分的寫作問(wèn)題尤為突出.

3 應(yīng)對(duì)之策

3.1 開(kāi)設(shè)系列課程

如前所述，僅開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”一門課程，給予學(xué)生的實(shí)踐機(jī)會(huì)過(guò)少，由此導(dǎo)致學(xué)生編程能力差.為此，筆者建議將“數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”一門課分為“數(shù)學(xué)模型”和“數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”2門課程.數(shù)學(xué)專業(yè)可將“數(shù)學(xué)模型”作為必修課，將“數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”作為任意選修課；而非數(shù)學(xué)專業(yè)可將“數(shù)學(xué)模型”和“數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”均作為通識(shí)課.在課程內(nèi)容方面也做些小范圍的調(diào)整：“數(shù)學(xué)模型”課只講數(shù)學(xué)建模方法，不必涉及相關(guān)數(shù)學(xué)軟件的內(nèi)容，節(jié)省下來(lái)的學(xué)時(shí)可作為數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的教學(xué)時(shí)間，實(shí)驗(yàn)課可直接用以解決實(shí)際問(wèn)題；“數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課的內(nèi)容主要為各種數(shù)學(xué)方法的實(shí)現(xiàn)，如最小二乘法、多項(xiàng)式回歸、線性規(guī)劃等.這樣調(diào)整一方面可以增加學(xué)生的實(shí)踐機(jī)會(huì)，強(qiáng)化其實(shí)踐能力;另一方面也使學(xué)生能更廣泛地接觸實(shí)際問(wèn)題，提升其軟件編程能力.

3.2 在其他基礎(chǔ)課教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的相關(guān)內(nèi)容

無(wú)論是數(shù)學(xué)專業(yè)還是非數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)課，其絕大部分課的理論與方法都可應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題中.以下例題的求解可使用矩陣方法.

例1（Fibnacci數(shù)列）假定1對(duì)成熟的兔子每個(gè)月能生1對(duì)小兔子，而每對(duì)小兔子在其出生后的第3個(gè)月，又開(kāi)始生1對(duì)小兔子.假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對(duì)初生兔子開(kāi)始計(jì)算，1年后共能繁殖出多少對(duì)兔子？

解 用xk表示第k 個(gè)月的兔子總數(shù)，并記x0=1,則由題意，x1=1,且xk=xk-1+xk-2,k≥2,

所以，當(dāng)k≥2 時(shí)，有

由此即可求得xk.

3.3 豐富培訓(xùn)模式

在已有培訓(xùn)模式基礎(chǔ)上，筆者建議增加一些新的培訓(xùn)模式，培訓(xùn)主要由以下3部分組成.

1）集中培訓(xùn).集中培訓(xùn)主要用于課程教學(xué)、假期培訓(xùn)、周末的開(kāi)班培訓(xùn).除“數(shù)學(xué)模型”和“數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”課的教學(xué)必須集中外，一些教材之外的經(jīng)典建模方法的教學(xué)，如模糊綜合評(píng)價(jià)法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、主成分分析法、灰色預(yù)測(cè)法，一般也以集中培訓(xùn)為宜.

2）分組培訓(xùn).為加強(qiáng)師生間的交流與互動(dòng)，方便教師更好地指導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展建模實(shí)踐，分組培訓(xùn)也是一個(gè)不可或缺的重要方法.可考慮將參訓(xùn)學(xué)生分成若干組，每組學(xué)生配備一名指導(dǎo)教師，學(xué)生可在教師指導(dǎo)下閱讀一些補(bǔ)充讀物，同時(shí)開(kāi)展一定的建模實(shí)踐.考慮到教師的知識(shí)局限性，不同組的指導(dǎo)教師可進(jìn)行輪換.

3）讓學(xué)生以老帶新.由于指導(dǎo)教師有限，可考慮挑選一些基礎(chǔ)較好且有一定經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生，用以老帶新的形式開(kāi)展培訓(xùn).教師可發(fā)動(dòng)學(xué)生自行開(kāi)辦講座，對(duì)一些實(shí)際問(wèn)題展開(kāi)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐.

3.4 開(kāi)展各種科研活動(dòng)

開(kāi)展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，對(duì)于強(qiáng)化學(xué)生的科研能力有顯而易見(jiàn)的作用；從另一方面說(shuō)，科研水平的提高對(duì)增強(qiáng)建模能力的作用也是不言而喻的.目前，高校學(xué)生可以2 種方式參與科研活動(dòng)：1）參與教師的科研項(xiàng)目.教師部分課題中的一些小問(wèn)題，是可以讓學(xué)生參與解決的，吸納他們進(jìn)來(lái)對(duì)師生雙方均有益處.2）學(xué)生自己的科研項(xiàng)目，如各級(jí)別的大學(xué)生創(chuàng)新、創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目.在一些創(chuàng)新、創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目中，若使用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析處理，往往能得到優(yōu)化結(jié)果.

3.5 將一些講授課變?yōu)橛懻撜n

討論課是測(cè)試教學(xué)效果、增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)質(zhì)量的行之有效的教學(xué)手段.若能將部分講授課變?yōu)橛懻撜n，則既可讓學(xué)生通過(guò)討論深化對(duì)課程內(nèi)容的理解，又可通過(guò)討論強(qiáng)化學(xué)生的參與感，從而增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.只要把握適度的原則，討論課既不會(huì)影響教學(xué)進(jìn)度，也不會(huì)加大教師的教學(xué)難度，它反而有助于教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)掌握學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題.

[1]李大潛.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)類主干課程[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué),2006(1):9-11.

[2]楊啟帆,談之奕.通過(guò)數(shù)學(xué)建模教學(xué)培養(yǎng)創(chuàng)新人才[J].中國(guó)高教研究,2011(12):84-85.