密立根油滴實(shí)驗(yàn)中油滴的參數(shù)選擇分析

劉 芬，王愛(ài)芳，楊田林

(山東大學(xué)(威海)空間科學(xué)與物理學(xué)院，山東 威海 264209)

密立根油滴實(shí)驗(yàn)是近代物理學(xué)史上具有重要意義的實(shí)驗(yàn)之一。整個(gè)實(shí)驗(yàn)構(gòu)思巧妙、實(shí)驗(yàn)儀器簡(jiǎn)單、結(jié)果準(zhǔn)確，充分證明了任何帶電體所帶電荷都是基本電荷的整數(shù)倍，明確了電荷的不連續(xù)性。目前在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，關(guān)于密立根油滴實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證通常選用靜態(tài)法(又稱平衡法)和動(dòng)態(tài)法(又稱非平衡法)［1－3］。這兩種方法均是從帶電油滴在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律入手，通過(guò)改變外加電場(chǎng)強(qiáng)度大小而控制油滴的運(yùn)動(dòng)，從而計(jì)算出被觀察油滴所帶電量的大小，然后再系統(tǒng)歸納出最小基本電量。一般來(lái)講，靜態(tài)法測(cè)量物理量數(shù)目少、實(shí)驗(yàn)過(guò)程簡(jiǎn)單，但是靜態(tài)法中平衡電壓的判斷難度較大，動(dòng)態(tài)法的測(cè)量精度通常要高于靜態(tài)法［3－4］。對(duì)于這兩種測(cè)量方法，實(shí)驗(yàn)中關(guān)于“合適”油滴的選擇均是影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果的重要環(huán)節(jié)，在現(xiàn)有的教學(xué)研究成果中，關(guān)于此問(wèn)題并沒(méi)有系統(tǒng)的定量分析研究。為了幫助學(xué)生更全面、系統(tǒng)地理解本實(shí)驗(yàn)，本文結(jié)合南京培中MOD－5型密立根油滴實(shí)驗(yàn)儀的設(shè)計(jì)，通過(guò)數(shù)值模擬辦法展示出選擇“合適”油滴的各相應(yīng)參數(shù)的取值范圍。南京培中MOD－5型密立根油滴儀各參數(shù)值如下:

1 油滴大小的判斷

學(xué)生在具體實(shí)驗(yàn)中要認(rèn)識(shí)到油滴的大小或者質(zhì)量是隨機(jī)的，油滴的半徑是通過(guò)其運(yùn)動(dòng)過(guò)程而測(cè)量的。即:當(dāng)外加電場(chǎng)強(qiáng)度為零時(shí)，油滴在重力的作用下開(kāi)始加速下落(實(shí)驗(yàn)中油滴所受空氣浮力約為重力的千分之一，故不考慮浮力的影響)，當(dāng)油滴運(yùn)動(dòng)起來(lái)之后，會(huì)受到空氣的黏滯阻力作用，隨著下落速度的增加，黏滯阻力最終與重力大小相等、方向相反，油滴開(kāi)始勻速下落。關(guān)于油滴的變加速下落過(guò)程所用時(shí)間約為10－4s［5］，下落位移量約為10－11m，所以，由此可以判斷油滴從開(kāi)始下落到達(dá)到勻速下落所用的時(shí)間遠(yuǎn)低于實(shí)驗(yàn)者的平均反應(yīng)時(shí)間10－1s。根據(jù)油滴半徑a與油滴勻速下降速度vg之間的關(guān)系:

式中:η為空氣的黏滯系數(shù);ρ為油滴的密度;g為實(shí)驗(yàn)地的重力加速度。對(duì)于半徑小到10－6m的油滴小球［5－6］，空氣的黏滯系數(shù)需要作以下修正:

式中:p為大氣壓強(qiáng)，cm·Hg;b為修正常數(shù)。設(shè)油滴勻速下落距離l用時(shí)為tg，則有

因此，結(jié)合式(1)～式(3)可以求得:

由式(4)可以看出，當(dāng)下落距離一定時(shí)，所用時(shí)間越長(zhǎng)，油滴的半徑越小。利用Matlab軟件方便地將油滴半徑a隨下落時(shí)間tg的變化關(guān)系用圖形來(lái)表示，如圖1所示。從圖1可以清楚地發(fā)現(xiàn)，當(dāng)油滴下落l距離所用時(shí)間tg＜15 s時(shí)，油滴的半徑大于1 μm，油滴質(zhì)量較大，在相等平衡電壓的情況下，攜帶的電量必然也大;當(dāng)時(shí)間tg＞45 s時(shí)，油滴的半徑小于0.5 μm，且隨時(shí)間增加半徑數(shù)值緩慢減小，此范圍的油滴將會(huì)受到較強(qiáng)的布朗運(yùn)動(dòng)的影響［7］，而不作為實(shí)驗(yàn)觀察對(duì)象。因此，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，一般選取tg∈[20，30](s)范圍的油滴進(jìn)行觀測(cè)。

圖1 不同下落時(shí)間tg對(duì)應(yīng)的油滴半徑a的值

2 靜態(tài)法測(cè)量中，平衡電壓的選擇范圍

油滴大小選擇合適之后，還必須注意油滴帶電量的選擇。在靜態(tài)法測(cè)量中，儀器的平衡電壓范圍取V∈[50，350](V)，則油滴的帶電量Q可以表示為:

式中:n為整數(shù);e為基本電荷電量;d為平行極板間的距離。為了更清楚地顯示平衡電壓與油滴帶電量之間的關(guān)系，選取下落時(shí)間分別為15、20、30、35 s的油滴畫出n－V曲線，如圖2所示。從圖2的數(shù)值結(jié)果可以看出，對(duì)于同一下落時(shí)間的油滴隨著平衡電壓的增大，其所帶的電量是逐漸減小的;并且對(duì)于相同的平衡電壓，下落時(shí)間越長(zhǎng)，說(shuō)明其所帶的電量越少。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，一般選取n≤5的油滴進(jìn)行觀測(cè)，因此，在選定下落時(shí)間后，還要注意選擇油滴平衡電壓的范圍，例如:對(duì)于tg=20 s的油滴，其平衡電壓應(yīng)在150～250 V之間;對(duì)于tg=30 s的油滴，其平衡電壓應(yīng)選取在100～250 V之間。

圖2 不同下落時(shí)間的油滴所帶基本電量的倍數(shù)n與平衡電壓V的關(guān)系

3 動(dòng)態(tài)法測(cè)量中，上升時(shí)間的選擇范圍

動(dòng)態(tài)法測(cè)量油滴的帶電量也是常用的實(shí)驗(yàn)方法，通過(guò)在平行極板上外加適當(dāng)?shù)碾妷篤'，使油滴加速上升，當(dāng)上升一段距離達(dá)到極限速度ve后，開(kāi)始勻速上升，設(shè)油滴勻速上升距離l所用時(shí)間為te，則油滴的帶電量可以表示為:

圖3給出了利用動(dòng)態(tài)法測(cè)量中不同提升電壓情況下，油滴帶電量n與提升時(shí)間te的關(guān)系曲線。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)提升電壓恒定時(shí)，油滴上升距離l用時(shí)越長(zhǎng)，自身所攜帶的電量越少。為了測(cè)量n≤5的帶電電量，需要選擇上升時(shí)間為10～30 s范圍的油滴進(jìn)行觀測(cè)。另外，根據(jù)MOD－5油滴儀的實(shí)際設(shè)計(jì)參數(shù)，此處所計(jì)算的提升電壓最大值選取為500 V，從圖3中可以看出，對(duì)于tg=25 s的油滴其所攜帶的電量最少為2個(gè)基本電荷電量，并且提升時(shí)間te＞20 s。如果想要測(cè)量帶電量更少的油滴，應(yīng)選擇增大提升電壓V'。

圖3 外加不同提升電壓時(shí)，油滴所帶基本電量的倍數(shù)n與提升時(shí)間te的關(guān)系(tg=25 s)

4 結(jié)束語(yǔ)

利用數(shù)值模擬的方法，具體分析了密立根油滴實(shí)驗(yàn)中“合適”油滴的參數(shù)選取范圍。首先，介紹了利用油滴下落時(shí)間可以判斷出油滴的半徑大小;其次，討論了靜態(tài)法和動(dòng)態(tài)法測(cè)量油滴帶電量過(guò)程中，平衡電壓和提升電壓的大小與油滴帶電量之間的關(guān)系。本文結(jié)果能夠幫助學(xué)生更全面地理解密立根油滴實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容，加深其對(duì)實(shí)驗(yàn)地理解。

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