總體最小二乘的改進(jìn)與信道估計(jì)應(yīng)用＊

（海軍駐上海地區(qū)電子設(shè)備軍事代表室 上海 200233）

1 引言

早在1795年，高斯就提出了最小二乘（Least Squares，LS）法，應(yīng)用于行星和彗星運(yùn)動(dòng)軌道的計(jì)算。LS法用于超定方程的參數(shù)估計(jì)，使得觀測(cè)值與計(jì)算值之間的誤差在均方意義上最?。?/p>

式中A為已知的數(shù)據(jù)矩陣，y為觀測(cè)值，h為待估計(jì)的系數(shù)。此后最小二乘法被用來解決許多實(shí)際問題，針對(duì)不同用途，對(duì)最小二乘法進(jìn)行修正，產(chǎn)生了各種各樣的最小二乘算法。普通最小二乘（Ordinary Least Squares，OLS）問題中，假定誤差只存在于觀測(cè)值中

其中r為y的誤差，OLS問題的解xOLS使得r的L2范數(shù)最小。1980年Golub等［1］提出總體最小二乘（Total Least Squares，TLS）的概念，總體最小二乘問題與OLS問題不同，TLS問題中假定誤差不只存在于觀測(cè)值中，而且存在于數(shù)據(jù)矩陣中

其中E和r分別為A 和y的誤差。TLS問題的解xTLS使得［E b］的l2范數(shù)最小。一般的估計(jì)問題中TLS法可以得到比LS法更加合理的結(jié)果。R．D．Degroat等［2］提出在信道均衡中，誤差只存在于數(shù)據(jù)矩陣中，提出了數(shù)據(jù)最小二乘（Data Least Squares，DLS）：

DLS問題的解xDLS使得E 的L2范數(shù)最小，DLS在FIR 信道均衡中性能優(yōu)于TLS。但是在具有誤差先驗(yàn)知識(shí)的情況中，OLS，DLS，TLS都無法限定誤差的特性，不能充分利用系統(tǒng)的先驗(yàn)知識(shí)，因此無法獲得最優(yōu)解。約束總體最小二乘（Constrained Total Least Squares，CTLS）［3］和結(jié)構(gòu)總體最小二乘（Structured Total Least Squares，STLS）分別限定了誤差矩陣［E b］的統(tǒng)計(jì)特性和結(jié)構(gòu)特性，適用于具有一定誤差先驗(yàn)知識(shí)的系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)問題。文獻(xiàn)［4］指出CTLS和STLS得到的解是等價(jià)的。本文介紹一種STLS 算法—結(jié)構(gòu)總體最小范數(shù)（Structured Least Squares Norm，STLS）［5～7］，解決具有Toeplitz結(jié)構(gòu)誤差矩陣的參數(shù)估計(jì)問題，并將該算法應(yīng)用于疊加訓(xùn)練序列（Superimposed Training，ST）［8～11］信道估計(jì)中。

本文所用的標(biāo)記說明：大寫（小寫）粗體字母代表矩陣（列向量），上標(biāo)T代表轉(zhuǎn)置運(yùn)算，上標(biāo)H代表共軛轉(zhuǎn)置，上標(biāo)?代表偽逆運(yùn)算，?代表Kronecker積，δ（τ）代表Kronnecker函數(shù)。IN代表N×N維單位矩陣，IK代表K×1維矢量。

2 STLN 算法

針對(duì)式（3）的TLS 問題，已知誤差矩陣E 為Toeplitz矩陣。設(shè)α為E的第1列，若α或E中任意一個(gè)已知，則可求出另一個(gè)的值。剩余矢量β＝y(tǒng)-（A＋E）h為α，h的函數(shù)，即β＝β（α，h）。STLN問題可寫為

矢量Eh 必須寫成包含α 的形式。定義矩陣H，使得

因此H的第1列為［h（0）h（1） …h(huán)（L-1） 0 … 0］T且

令Δα為α的擾動(dòng)，Δh對(duì)應(yīng)于h中的擾動(dòng)。根據(jù)式（6）有

忽略下式中Δα和Δh的二階以上統(tǒng)計(jì)量

表達(dá)式（5）的線性表達(dá)式為

STLN 算法總結(jié)如下［5］：

輸入：確定性矩陣A，矢量y，初始估計(jì)值h，容錯(cuò)值ε。

輸出：Toeplitz結(jié)構(gòu)的誤差矩陣E，信道沖擊響應(yīng)估計(jì)值h，STLN 問題的誤差‖βT，αT‖2。

開始

1．令α＝0，則E＝0。令誤差向量β＝y(tǒng)-（A＋E）h。

2．重復(fù)

（b）令α∶＝α＋Δα，h∶＝h＋Δh

（c）通過α重構(gòu)E，由h重構(gòu)H。計(jì)算β＝y(tǒng)-（A＋E）h。

直到 （‖Δα‖2，‖Δh‖2≤ε）

結(jié)束

解超定方程

式（11）的OLS解

事實(shí)上不需要重復(fù)步驟2直到‖Δα‖2，‖Δh‖2≤ε，重復(fù)兩到三次一般就可以得到足夠精確的估計(jì)值。

3 基于STLN 算法的疊加訓(xùn)練序列信道估計(jì)

3．1 疊加訓(xùn)練序列系統(tǒng)模型

無線通信系統(tǒng)中，通常采用訓(xùn)練序列進(jìn)行信道估計(jì)。傳統(tǒng)的時(shí)分復(fù)用訓(xùn)練序列降低了帶寬利用率。疊加訓(xùn)練序列中，周期訓(xùn)練序列與信息序列相加后發(fā)送，從而節(jié)約了寶貴的帶寬資源，但是卻降低了發(fā)送端的信噪比。在疊加訓(xùn)練序列信道估計(jì)中信息序列作為干擾嚴(yán)重降低了信道估計(jì)性能，在仿真中增大了歸一化信道均方誤差（Normalized Channel Mean Squares Error，NCMSE）。本節(jié)將推導(dǎo)疊加訓(xùn)練序列頻率選擇性信道估計(jì)中誤差（干擾）矩陣的Toeplitz結(jié)構(gòu)。

圖1為單輸入單輸出（Single-Input Single-Output，SISO）疊加訓(xùn)練序列通信鏈路的離散等效基帶模型。

圖1 離散等效基帶模型

接收序列

其中N為數(shù)據(jù)塊長(zhǎng)度，P為訓(xùn)練序列周期，K＝N／P且K為整數(shù)，L-1為非零信道沖擊響應(yīng)的最大延遲時(shí)間且P≥L。發(fā)送序列

有如下假定：

（H1）信息符號(hào)b（n）根據(jù)調(diào)制方式等概率地取自有限調(diào)制符號(hào)集，均值E［b（n）］＝0，方差E［｜b（n）｜2］＝σ2b。

（H2）｛v（n）｝為加性高斯白噪聲，均值E［v（n）］＝0，方差E［v（n＋τ）vH（n）］＝（τ）。

（H3）訓(xùn)練序列c＝1K?cp，cp＝［c（0），c（1），…，c（P-1）］T。為了降低峰均功率比，采用優(yōu)化的時(shí)／頻域恒包絡(luò)訓(xùn)練序列。文獻(xiàn)［10］給出了最優(yōu)訓(xùn)練序列c（n）＝σcexp（j2πn（n＋i）／P）（當(dāng)P為偶數(shù)時(shí)，i＝0；當(dāng)P為奇數(shù)時(shí)i＝1，n＝0，1，…，P-1）。訓(xùn)練序列的平均功率＝｜c(diǎn)（0）｜2。

信道環(huán)境為慢時(shí)變，且無多普勒（Doppler）頻率擴(kuò)展。頻率選擇性信道的參數(shù)在一個(gè)數(shù)據(jù)塊內(nèi)不變，在數(shù)據(jù)塊之間可以發(fā)生改變。信道沖擊響應(yīng)為h＝［h（0），h（1），…，h（L-1）］T。

式（13）的系統(tǒng)模型可以寫成矢量形式

其中x＝［x（0）x（1） …x（N-1）］T，v＝［v（0）v（1） …v（N-1）］T，S為N×N維矩列循環(huán)Toeplitz矩陣的前L列組成的矩陣

式（15）隱含在發(fā)送端加入了長(zhǎng)度為L(zhǎng)-1的循環(huán)前綴（Cyclic Prefix，CP），在接收端去除了CP。S的第1列為不包含CP的發(fā)送序列s。

根據(jù)式（14），式（15）可以寫成

其中B和C具有與S相同的結(jié)構(gòu)。

C也是一個(gè)塊重復(fù)的矩陣。矩陣

則C＝1K?CP。

令J＝（1／K）（?IP），用J左乘式（17）得到接收序列的循環(huán)均值y

其中E［（n）］＝0，（n＝0，1，…，P-1）。也是類似于CP的Toeplitz矩陣：

其中

3．2 基于STLN 算法的信道估計(jì)

由于E［b（n）］＝0，E｛v（n）｝＝0，可以認(rèn)為ˉB＝0。LS信道估計(jì)為

4 仿真結(jié)果與分析

仿真的信道為L(zhǎng)＝4 的時(shí)不變頻率選擇性Rayleigh衰落信道。信道系數(shù)的產(chǎn)生方法參考文獻(xiàn)［10］。信道沖擊響應(yīng)進(jìn)行了歸一化

通過1000個(gè)數(shù)據(jù)塊的蒙特卡羅仿真得到NC-MSE，其定義如下

假定系統(tǒng)已經(jīng)同步，則訓(xùn)練序列周期P＝9，數(shù)據(jù)塊長(zhǎng)度N＝360。發(fā)送序列的功率為＋＝1，訓(xùn)練序列占發(fā)送信道的功率比為／（＋）＝0．3，略微損失了發(fā)送序列的信噪比。QPSK 調(diào)制中，信息序列來自有限符號(hào)集，｛b（n）｝∈｛1，i，-i，-1｝。仿真中的信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）為單邊噪聲功率譜密度與發(fā)送序列的功率比。

圖2對(duì)比了疊加訓(xùn)練序列的分別基于LS，DLS［2］，TLS［1］，STLN［5］的信道估計(jì)的NCMSE。仿真結(jié)果表明，本文應(yīng)用的STLN 算法性能優(yōu)于其他對(duì)比算法。STLN 算法的NCMSE 可以通過迭代提高精度，但是2次迭代就足夠了。圖3對(duì)比了基于LS，TLS，DLS，STLN 的信道估計(jì)的誤差范數(shù)，也表明STLN 算法的誤差范數(shù)最小。STLN 算法迭代2 次就足夠了，第3 次迭代的誤差范數(shù)和NCMSE的減小已經(jīng)很少了。

圖2 基于LS，DLS，TLS，STLN 的疊加訓(xùn)練序列信道估計(jì)的歸一化信道均方誤差

圖3 基于LS，DLS，TLS，STLN 的疊加訓(xùn)練序列信道估計(jì)的誤差范數(shù)

5 結(jié)語

TLS算法假定誤差同時(shí)存在于數(shù)據(jù)矩陣和觀察值中，提高了參數(shù)估計(jì)性能，但是沒有考慮誤差矩陣的先驗(yàn)信息。STLN 算法假定誤差矩陣具有Toeplitz結(jié)構(gòu)，而ST 信道估計(jì)中信息序列均值構(gòu)成的誤差矩陣也具有Toeplitz結(jié)構(gòu)。本文對(duì)比了LS，DLS，TLS和STLN 算法在ST 信道估計(jì)上的應(yīng)用。仿真結(jié)果表明，STLN 算法的NCMSE 最小，信道估計(jì)性能最優(yōu)。

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