序半群的(∈，∈∨q)-模糊理想刻畫

袁鳳連， 殷允強

(1.南昌工學院 民族教育一分院，江西 南昌 330108;2.東華理工大學 理學院，江西 南昌 330013)

模糊代數(shù)結(jié)構的研究起源于Rosenfeld(1971)提出的模糊子群概念。此后各種關于模糊代數(shù)的研究呈現(xiàn)出迅速發(fā)展的態(tài)勢，例如，Kuroki(1981)提出并研究了半群中模糊理想的概念。許多作者對半環(huán)和序半群的模糊特征進行研究，取得一些成果(Kehayopulu et al.，2006;Zhan et al.，2007;Huang et al.，2007)。近年 來，Kehayopulu 等(2009a，2009b，2008，2006a，2006b，2005)將模糊集、模糊理想、模糊雙理想、模糊擬理想以及模糊內(nèi)稟理想等概念引入到序半群中，促進了序半群在模糊代數(shù)學理論的發(fā)展。但是，Kehayopulu 提出的模糊理想和模糊雙理想的定義大都是借助一種∧和∨運算給出的，而∧和∨兩種運算有很大的局限性，在處理實際問題時必然受到限制。最近Yin 等(2010)用“包含，屬于”的思想對(∈，∈∨q)-半環(huán)上的模糊理想有比較全面系統(tǒng)的研究，得到了一系列比較好的結(jié)果，極大的擴充了代數(shù)的理論體系。

在此基礎上，本論文利用“屬于，包含”的思想定義了序半群上的一種模糊子系統(tǒng)，進而研究了序半群上的(∈，∈∨q)-模糊左理想、(∈，∈∨q)-模糊右理想和(∈，∈∨q)-模糊雙理想，并利用這些理想給出了正則序半群的若干刻畫定理，得到了較好的結(jié)果，豐富了序半群的理論體系。

1 預備知識

序半群是一個由非空集合S，一個元運算(·)和一個序關系(≤)構成的代數(shù)系統(tǒng)(S，·，≤)，其中(S，·)是一個半群，且滿足?x，y，a，b ∈S，若x≤y，則ax ≤ay，xb ≤yb。

定義2.1 序半群S 的一個子集E 稱為S 的左理想，如果滿足條件:(1)SE ?E;(2)?x ∈S，若存在y ∈E 滿足x ≤y，則x ∈E(Kehayopulu et al.，2006a，2006b)。

定義2.2 序半群S 的一個子集E 稱為S 的雙理想，如果滿足條件:(1)ESE ?E;(2)?x ∈S ，若存在y ∈E 滿足x ≤y，則x ∈E(Kehayopulu et al.，2006a，2006b)。

序半群S 上的任意一子集E，記:(E］ ={x ∈S| 存在y ∈E，x ≤y}。

定義2.3 設X 是非空集合，任意一個從X 到區(qū)間［0，1］的映射μ 稱為X 的模糊子集(Yin et al.，2010)。

設X 是非空集合，設A 是X 的一個子集，χA稱為A 的特征函數(shù)。

設μ 稱為X 的模糊子集，對x ∈X，μ(x)稱為μ上的隸屬度，X 的所有模糊集記為IF(x)。

定義2.4 設x ∈X，r ∈［0，1］定義X 的模糊子集如下(Yin et al.，2010):

稱如上定義的模糊子集μ 為模糊點并記為xr。對于X 上的一個模糊子集μ 和它的模糊點xr有如下關系:

(1)若μ(x)≥r，則xr∈μ;

(2)若μ(x)+ r ≥1，則xrqμ;

(3)若xr∈μ 或xr∈g，則xr∈∨qμ;

(4)若xr∈μ 且xr∈g，則xr∈∧qμ。

定義2.5 μ，v 都是X 上的模糊集，定義μc，μ∩v，μ ∪v 如下(Yin et al.，2010):

μc= 1 - μ(x)，(μ ∩v)(x)= min{μ(x)，v(x)}，(μ ∪v)(x)= max{μ(x)，v(x)}

對任意的x ∈X，μc稱為μ 的補集，μ ∩v 稱為μ與v 的交集，μ ∪v 稱為μ 與v 的并集，μ ?v 即為任意的x ∈X 都有μ(x)≤v(x)。

定義2.6 設(S，·，≤)是一個序半群，μ，v ∈IF(S)，定義μ 和v 之間的乘法:

引理2.1 設S(，·，≤)是一個序半群，則A，B ?S，則有

(1)當A ?B 且僅當χA?∨qχB;

(2)χA∩χB= χA∩B;

(3)χA·χB= χ(AB］。

2 主要結(jié)果

設(S，·，≤)是一個序半群，以下定義一種IF(S)上的“?∨q”一種序半群上“屬于或重于”的關系。

注:(1)?μ，v ∈IF(S)，μ ?∨qv 即為?x ∈S，r ∈(0，1］有xr∈μ 則xr∈∨qμ。

(2)?μ，v ∈IF(S)，μ ≈v 當且僅當μ ?∨qv且v ?∨qμ。

定義3.1 設(S，·，≤)是一個序半群，則S的一個子集μ 稱為S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左(右)理想，如果滿足條件:

(F1a)μ·S ?∨qμ(S·μ ?qμ);

(F2a)?x，y ∈S，r ∈(0，1］若xr∈μ 群x ≤y，則yr∈qμ。

序半群S 的一個子集μ 稱為S 的一個(∈，∈∨q)-模糊理想，當且僅當它既是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左理想，又是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊右理想。

定義3.2 設(S，·，≤)是一個序半群，則s 的一個模糊子集μ 稱為S 的一個(∈，∈∨q)-模糊雙理想，如果滿足條件(F2a)及以下條件:

(F3a)μ·μ ?∨qμ;(F4a)μ·S·μ ?∨qμ。

引理3.1 設(S，·，≤)是一個序半群，?μ，v∈F(x)，則μ ?∨q 當且僅當?x ∈S 有v(x)≥min{μ(x)，0.5}。

證明:由μ ?∨q，?x ∈S，假設V(x) ＜min{μ(x)，0.5}，則存在r ∈(0，1］使得v(x)＜r＜min{μ(x)，0.5}，也就是xr∈μ 且與已知條件μ ?∨q 矛盾，所以v(x)≥min{μ(x)，0.5}。

反之，設對?x ∈S 有v(x)≥min{μ(x)，0.5}。假設則存在xr∈μ 且由此可得μ(x)≥r，v(x)＜r 及v(x)＜0.5，但是與已知條件v(x)≥min{μ(x)，0.5}矛盾，所以μ ?∨qv 成立。

定理3.1 設(S，·，≤)是一個序半群，則S 的一個模糊子集μ 稱為S 的一個(∈，∈∨q)-糊雙理想當且僅當滿足:

(F1b)?x，y ∈S，μ(xy)≥min{μ(x)，μ(y)，0.5};

(F2b)?x，y ∈S，y ≤x?μ(y)≥min{μ(x)，μ(y)，0.5};

(F3b)?x，y，z ∈ S，μ(xyz) ≥ min{μ(x)，μ(z)，0.5}。

證明:(F1a)?(F1b)(S，·，≤)是一個序半群，μ 是S 的一個模糊子集，設μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-糊雙理想，則存在x，y ∈S，r ∈(0，1］，使得μ(xy)＜r ＜min{μ(x)，μ(y)，0.5}，即μ(x)＞r 及μ(xy)＜ r ＜0.5，也即是(xy)r與(F3a)μ·μ ?∨qμ 矛盾，故(F1b)成立;(F3b)可類似證到。

(F2a)?(F2b)另一方面，設(F2a)成立，所以有即得xr∈μ 也就是μ·S ?μ，假設，存在x，y ∈S 且y ≤x，t ∈(0，1］使得μ(y)＜t ＜min{μ(x)，0.5}，則μ(y)＜t ＜0.5 及μ(x)＞t，也即是且yt∈μ與(F2a)的條件矛盾，假設不成立，故(F2b)成立。

(F1b)?(F1a)反之，若(F1b)成立，假設xr∈μ·S 且則由可得μ(x)＜r 及μ(x)＜0.5，因為對于?a，b，x ∈S 有x ≤ab 即0.5＞μ(x)≥min{μ(ab)，0.5}≥min{μ(a)，0.5}由此可得μ(x)≥μ(a)及＜μ(x)與(F1b)(F2b)所得的矛盾，故(F1a)成立，類似可證得(F3a)。

(F2b)?(F2a)假設存在x，y ∈S 且y ≤x，r ∈(0，1］有xt∈μ 且由此可得μ(x)≥t，μ(y)＜t 及μ(y)+t ＜1，也即是μ(y)＜0.5，因此μ(y)＜min{μ(x)，0.5}與已知條件矛盾，故(F2a)成立。

定理3.2 設(S，·，≤)是一個序半群，則S的一個模糊子集μ 稱為S 的一個(∈，∈∨q)-糊雙理想當且僅當滿足(F2a)和以下:

(F1c)(?x，y ∈S)(s，t ∈(0，1］)(xt∈μ，ys∈μ?(xy)min{t，s}∈∨qμ);

(F2c)(?x，y，z ∈S)(s，t ∈(0，1］)(xt∈μ，ys∈μ?(xyz)min{t，s}∈∨qμ)。

證明:類似于定理3.1 的證明。

結(jié)論1 設(S，·，≤)是一個序半群，且A ?S，則A 是S 的一個左(右)理想當且僅當χA是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左(右)理想。

證明，很容易直接得到。

結(jié)論2 設(S，·，≤)是一個序半群，且A ?S，則A 是S 的一個雙理想當且僅當χA是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊雙理想。

證明，很容易直接得到。

設(S，·，≤)是一個序半群，則S 的任意一個模糊子集μ，r ∈(0，1］記＜μ ＞r= {x ∈X| xrqμ}，［μ］r= {x ∈X| xr∈∨qμ}，下面的一個定理描述了S 的(∈，∈∨q)-模糊左(右、雙)理想與經(jīng)典左(右、雙)理想之間的關系。

定理3.3 設(S，·，≤)是一個序半群，則S的一個模糊子集μ，則有

(1)μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左(右、雙)理想，當且僅當非空子集μr是S 的一個左(右、雙)理想對所有的r ∈(0，0.5］;

(2)μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左(右、雙)理想，當且僅當非空子集 ＜μ ＞r是S 的一個左(右、雙)理想對所有的r ∈(0.5，1］;

(3)μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左(右、雙)理想，當且僅當非空子集［μ］r是S 的一個左(右、雙)理想對所有的r ∈(0，1］。

證明:只證明(3)，(1)、(2)可類似證明。設μ是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左理想，假設［μ］r≠? 對一些r ∈(0，1］。設x，y ∈［μ］r，則可得xr∈∨qμ，yr∈∨qμ.也即是μ(x)≥r 或μ(x)+ r ＞1 且μ(y)≥r 或μ(y)+ r ＞1。又由μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左理想，可得μ(xy)≥min{μ(x)，0.5}及μ(xy)≥min{μ(y)，0.5}，考慮以下兩種情況:

第一種情形:若r ∈(0，0.5］則1 - r ≥0.5 ≥r。

①假設μ(x)≥r 或μ(y)≥r，則μ(xy)≥min{μ(x)，μ(y)，0.5}≥r.所以(xy)r∈μ。

②假設μ(x)+r ＞1 且μ(y)+r ＞1，則μ(xy)≥min{μ(x)，μ(y)，0.5}= 0.5 ≥r，所以(xy)r∈μ。

第二種情形:若r ∈(0.5，1］，則r ＞0.5 ＞1 -r。

①假設μ(x)≥r 且μ(y)≥r，則μ(xy)≥min{μ(x)，μ(y)，0.5}≥1 - r，所以(xy)rqμ。

②假設μ(x)+ r ＞1 或μ(y)+ r ＞1，μ(xy)≥min{μ(x)，μ(y)，0.5}≥1 - r，所以(xy)rqμ。

因此無論上面哪種情形都有(xy)r∈∨qμ，都有xy ∈［μ］r，故［μ］r是S 的一個左理想。

相反地，(用反證法)由上面給定的條件成立，假設存在x，y ∈S 使得μ(xy)＜r = min{μ(x)，μ(y)，0.5}，則有xr∈μ 且也即可得x，y ∈［μ］r且(xy)?［μ］r矛盾，所以對所有的x，y ∈S 有μ(xy)≥min{μ(x)，0.5}因此，μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左理想。

結(jié)論3 設(S，·，≤)是一個序半群，且A ?S，則A 是S 的一個左(右)理想當且僅當對于所有的x ∈A 使得μ(x)≥0.5 且μ(x)= 0 除外，有S 的模糊子集μ 都是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左(右、雙)理想。

證明，直接由定理3.2 可得。

定義3.4 序半群S 稱為正則的，如果對?x∈S，存在y ∈S，使得x ≤xyx。其等價定義為:(1)?x ∈S ，x ∈(xSx］;(2)?E ?S，E ?(ESE］。

引理3.1 序半群S 是正則的當且僅當對S 的每一個右理想R 和對S 的每一個左理想L，均有(RL］= R ∩L(Yin et al.，2008)。

定理3.3 設S 是正則序半群，則下面的兩個條件等價:

(1)S 的每一個雙理想都是S 的左(右)理想;

(2)S 的每一個(∈，∈∨q)-模糊雙理想都是S 的(∈，∈∨q)-模糊左(右)理想。

證明:假設(1)成立，設μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊雙理想，則對?x ∈S，子集(xSx］也是S 的雙理想，由(1)可知(xSx］也是S 的左理想。又因為S 是正則的，所以?x，y ∈S，有xy ∈S(ySy］ =(S］(ySY］?(ySy］，由μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊雙理想，所以μ(xy)≥min{μ(yxy)，0.5}≥min{μ(u)}0.5}因此，μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊右理想，同樣可得μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊左理想，μ 是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊理想即(2)成立。

反之，假設(2)成立，設B 是S 的任意一個雙理想，由結(jié)論2 可得特征值χB是B 的一個模糊(∈，∈∨q)-雙理想，由條件(2)知特征值χB也是S 的一個模糊(∈，∈∨q)-左(右)理想，由結(jié)論1 得B是S 的一個左(右)理想。

定理3.4 設(S，·，≤)是一個序半群，則下列的條件是等價的:

(1)S 是正則序半群;

(2)則對S 的任意一個(∈，∈∨q)-模糊右理想μ 和S 的任意一個(∈，∈∨q)-模糊雙理想v 有μ ∩v ?∨qμ·v;

(3)則對S 的任意一個(∈，∈∨q)-模糊雙理想μ 和S 的任意一個(∈，∈∨q)-模糊左理想v 有有μ ∩v ?∨qμ·v;

(4)則對S 的任意一個(∈，∈∨q)-模糊右理想μ 和S 的任意一個(∈，∈∨q)-模糊左理想v 有μ ∩v ≈∨qμ·v。

證明:假設(1)成立，設S 是正則序半群，S 的任意一個(∈，∈∨q)-模糊右理想μ 和S 的任意一個(∈，∈∨q)-模糊雙理想v。對?x ∈S，由S 是正則的，則存在y ∈S，使得x ≤xyx，即有

min{min{μ(x)，0.5}，v(x)} = min{μ ∩v(x)，0.5}

由此可得μ ∩v ?∨qμ·v，所以(2)成立。(3)可類似證明。

(3)?(4)可有定理2.2 直接證得。下證(4)?(1)，設R 和L 分別是S 的一個右理想和左理想。由結(jié)論1，知χR和χL分別是S 的一個(∈，∈∨q)-模糊右理想和一個(∈，∈∨q)-模糊左理想，又因為χ(RL］= χR·χL≈XR∩XL= χR∩L由引理2.1 直接可得(RL］= R ∩L，再由引理3.1 知S 是正則的。

Huang X K，Li H J，Yin Y Q. 2007. The h-hemiregular fuzzy duo hemirings［J］. International Journal of Fuzzy Systems，9(2):105-109.

Kehayopulu N，Tsingelis M. 2005. Fuzzy bi-ideals in orderd semigroups［J］. Inform. Sci.，171:13-28.

Kehayopulu N，Tsingelis M. 2006. regular ordered semigroups in terms of fuzzy subsets［J］. Inform. Sci.，176:3675-3693.

Kehayopulu N，Tsingelis M. 2006a. Fuzzy interior ideals in ordered semigroups［J］. LobachevskiiJ. Math.，21:65-71.

Kehayopulu N，Tsingelis M. 2006b. Regular ordered semigroups in terms of fuzzy subset［J］. Inform.Sci.，176:3675-3693.

Kehayopulu N，Tsingelis M. 2008.Characterization of some types of ordered semigroups in terms of fuzzy sets［J］. Lobachevskii J. Math.，29 :14-20.

Kehayopulu N，Tsingelis M. 2009a. Fuzzy right，left，quasi-ideals，biideals in ordered semigroups［J］. Lobachevskii Journal of Mathematics Volume 30(1):17-22.

Kehayopulu N，Tsingelis M. 2009b. Intra-regular ordered semigroups in terms of fuzzy sets［J］. Lobachevskii Journal of Mathematics Volume 30(1):23-29.

Kuroki N. 1981. On fuzzy ideals and fuzzy bi-ideals in semigroups［J］.Fuzzy sets Syst.，52:03-205.

Rosenfeld A. 1971. Fuzzy groups［J］. Math. Anal. Appl.，35 :512-517.

Yin Y Q，Li H X. 2008. The characterized by their intuitionistic fuzzy bi-ideals Ital［J］. Pure Appl.Math.，24:169-178.

Yin Y Q，Wang J M. 2010. Fuzzy Hemirings［M］. Scinence press USA Inc:10-27.

Zhan J，Dudek. 2007. W A. Fuzzy h-ideal of hemir-ings［J］. Inform.Sci.，177(3):876-886.