快速分解后向投影SAR成像的自聚焦算法研究

李浩林陳露露 張 磊 邢孟道 保 錚

(西安電子科技大學雷達信號處理重點實驗室 西安 710071)

1 引言

合成孔徑雷達(SAR)是一種主動的信息探測工具，通過發(fā)射寬帶信號實現(xiàn)距離維高分辨[1]，同時利用天線與目標相對運動產(chǎn)生的多普勒帶寬實現(xiàn)方位維高分辨[2]。對于機載SAR，特別是無人機SAR來說，由于平臺質(zhì)量輕且飛行高度低，易受到氣流擾動的影響而偏離理想航跡。為了避免圖像散焦和幾何失真，運動補償?shù)木韧ǔＰ枰_到亞波長級，這對于大多數(shù)定位或運動測量系統(tǒng)來說是極為苛刻的。因此，除了合理利用定位或運動測量系統(tǒng)記錄的信息對數(shù)據(jù)進行補償，成像算法還需要結(jié)合自聚焦實現(xiàn)對殘余相位誤差或包絡誤差的估計和校正。典型的頻域SAR成像算法包括R-D算法、CS算法及其衍生算法和Kω算法等。R-D算法是一種高效的、成熟的成像算法；然而該算法難以解決二次距離壓縮(SRC)對方位頻率的依賴性，其在大斜視角或長孔徑成像場合的應用受到限制。CS及其衍生算法可對信號進行一定的尺度變化，通過精確的補償函數(shù)實現(xiàn) SRC；但限于窄波束假設和忽略 SRC與距離向的依賴關系，該算法結(jié)合自聚焦在大斜視角或?qū)挷ㄊ上駡龊系膽檬艿较拗芠3]。Kω算法利用Stolt插值精確地校正了距離方位耦合，適用于近場、超寬帶等復雜成像場合；然而該算法對系統(tǒng)采樣率的要求較高，且插值處理對包絡誤差形式的影響較大[4]。

時域后向投影的本質(zhì)是天線相位陣列沿特定方向進行波束形成[5]，通過沿斜距歷程的積分實現(xiàn)成像網(wǎng)格上各像素點能量的積累。后向投影(Back-Projection, BP)算法理想地解決了距離方位耦合的問題，適用于大相干積累角或者非線性航跡等復雜成像幾何下的圖像重建[6]，且聚焦后的圖像不存在幾何失真?；诳讖椒纸夂瓦f歸融合，快速分解后向投影(Fast Factorized BP, FFBP)算法[7,8]是對BP算法的快速精確實現(xiàn)。由于時間復雜度接近頻域算法，F(xiàn)FBP算法適用于大數(shù)據(jù)規(guī)模的成像場合。在開展基于回波數(shù)據(jù)的運動補償時，目前廣泛使用的自聚焦方法主要有相位梯度自聚焦[9](Phase Gradient Autofocus, PGA)、圖像偏移及最大對比度自聚焦等。從成像原理上看，頻域算法依靠傅里葉變換重建圖像，圖像域與距離壓縮相位歷程域(以下簡稱相位歷程域)之間固有存在傅里葉變換對(Fourier Transform Pairs, FTP)關系。基于這種屬性，頻域算法能夠與自聚焦緊密結(jié)合，通過相位歷程域的相位估計和校正實現(xiàn)圖像的良好聚焦。然而，時域算法依靠積分重建方位維圖像，圖像域與相位歷程域之間的FTP關系復雜且難以獲取。因此，時域算法的自聚焦處理是目前亟待解決的問題。文獻[10]以最大圖像銳度作為自聚焦的優(yōu)化指標，通過求解聚焦性能代價函數(shù)估計運動誤差；然而該方法涉及高維參數(shù)優(yōu)化搜索，運算效率低，其實用性受限。文獻[11]使用波束形成(等價于后向投影)在距離-正弦角網(wǎng)格上重建圖像，指出在小角域條件下正弦角域與方位時域近似為 FTP關系，并驗證了該方法結(jié)合PGA恢復圖像的可能性；然而該方法并未從根本上解決運動誤差較大時的圖像快速重建問題。

為了實現(xiàn)快速的圖像重建和有效的自聚焦處理，本文提出了一種結(jié)合中等精度慣導粗補償、嵌套PGA精補償?shù)腇FBP自聚焦算法。首先，根據(jù)慣導記錄的信息解算斜距誤差，構(gòu)造相位誤差和包絡誤差的補償函數(shù)，然后對回波數(shù)據(jù)進行粗補償。其次，為了建立圖像域與相位歷程域之間的FTP關系，本文創(chuàng)新引入了虛擬極坐標系(距離-正弦角坐標系)，提出了IFFBP(Improved FFBP)算法，為自聚焦的使用奠定基礎。再次，對于IFFBP算法重建的虛擬極坐標下的全孔徑圖像，PGA對其進行殘余相位誤差的估計和補償。本文將 PGA合理地嵌入到IFFBP算法的直角坐標系變換之前，實現(xiàn)了PGA與IFFBP算法緊密結(jié)合，適用于大數(shù)據(jù)規(guī)模SAR成像自聚焦處理。最后，通過仿真實驗和實測數(shù)據(jù)的處理驗證了本文方法的可行性和有效性。

2 虛擬極坐標系下的方位脈沖響應

如圖 1所示，平臺以速度v沿x方向勻速直線飛行，形成以O為中心、長度為L的合成孔徑。令為慢時間，則天線相位中心坐標可表示為。以O為原點建立極坐標系，若P點位于，則天線相位中心到P點的瞬時斜距為

圖1 投影幾何關系

假設天線發(fā)射線性調(diào)頻信號，其中心頻率cf，信號帶寬為B，則對回波信號進行距離脈沖壓縮

將式(5)由pr距離單元擴展至所有距離單元，得到的后向投影重建圖像為

下面將推導式(4)忽略2X 項約束條件。根據(jù)文獻[10]，當式(4)的線性分量引起的距離徙動小于一個距離分辨單元時，可以忽略2X及高次項對的貢獻。由于孔徑兩端對應線性分量的最大值，則

假設θ位于pθ的δθ鄰域內(nèi)，即。當足夠小時，存在和。因此，可化簡為

將式(8)代入(7)，則

其中θΔ為角分辨單元數(shù)目。

由式(10)可知，當P點的能量集中在pθ附近的4Q個角分辨單元時，式(4)可以忽略2X 項及高次項，并得到如式(6)所示的理想方位聚焦以及圖像域與相位歷程域之間的FTP關系。如果將式(10)推廣至存在運動誤差的情況，可以得到如下結(jié)論：當運動誤差引起的圖像散焦小于4Q個角分辨單元時，后向投影重建的圖像仍滿足式(6)所示的 FTP關系，從而初步滿足自聚焦的使用條件，該部分內(nèi)容將在下文做進一步說明。

3 FFBP算法的改進與優(yōu)化

FFBP算法將BP積分劃分為有限、等長子孔徑上的分步、分段積分。在初始階段，F(xiàn)FBP算法按照一定系數(shù)將全孔徑分解成若干較短的子孔徑，并將子孔徑對應的相位歷程數(shù)據(jù)后向投影到以其孔徑中心為坐標原點的局部極坐標系。在最后階段，通過坐標系變換得到直角坐標系下2維全分辨率圖像。然而，無論極坐標系還是直角坐標系，F(xiàn)FBP算法重建的圖像均無法提供圖像域與相位歷程域之間的FTP關系，因此無法滿足自聚焦的使用條件。為了實現(xiàn)FFBP算法框架下的自聚焦處理，有必要對FFBP算法的成像坐標系進行改進。此外，本節(jié)還通過合理近似減小FFBP算法的運算量，在兼顧算法精度的同時提高運算效率。區(qū)別于FFBP算法，本文將改進、優(yōu)化后的 FFBP算法稱之為 IFFBP算法。

3.1 FFBP算法的改進

為了便于描述，本文定義變量的下腳標“i”為第i處理階段、上角標“k”為第k個子孔徑。如圖2所示，C為成像場景中心，第i處理階段第k(假設k為偶數(shù))個子孔徑的中心為，到C的視線角為；第 1k- 個子孔徑的中心為，到 C的視線角為。假設FFBP算法進行基2圖像融合，則第i+1處理階段第k/2個子孔徑的中心為，到 C的視線角為，其中。圖2直觀展示了坐標系a和坐標系b向坐標系 c的融合過程，而本質(zhì)上實現(xiàn)和方向波束在方向的波束形成。圖像融合后，孔徑長度加倍，角分辨率加倍，即角域網(wǎng)格被進一步細化，如圖中虛線所示。

圖2 圖像融合前后的虛擬極坐標系

3.2 FFBP算法優(yōu)化

3.2.1投影斜距的線性擬合 如圖3所示，以第i+1階段的第個子孔徑的中心為原點建立局部虛擬極坐標系，并將第i階段的第 1k- 個子孔徑數(shù)據(jù)向當前坐標系投影，則孔徑位置到第像素點的投影斜距為

圖3 虛擬極坐標系下投影斜距和投影視角幾何

其中I和J分別為距離和角域網(wǎng)格的像素點數(shù)。

由式(14)可知，孔徑位置到成像網(wǎng)格的每個像素點的斜距計算都需要進行開根號操作，顯然這種處理方式在大數(shù)據(jù)量的情況下是非常低效的。針對這個問題，IFFBP算法沿r方向?qū)π本噙M行線性擬合，通過分維處理的方式避免式(14)的逐點計算，在保證斜距近似精度的同時提高運算效率。在第i+1處理階段，以一個角域位置為例，計算投影斜距的具體步驟如下：

步驟1 沿r方向選擇2r和兩個距離位置樣本，根據(jù)式(14)計算得到和；

步驟3 將ir代入函數(shù)表達式(16)

該方法通過兩次開根號操作實現(xiàn)第0J維斜距的1維線性擬合。在進行遠場、高波段信號處理時，這種線性近似是非常有效的，其近似誤差約為波長的，足以滿足處理精度的要求[12]。

3.2.2插值核的選用 同現(xiàn)有的 FFBP算法一樣，IFFBP算法通過距離插值和角域插值實現(xiàn)圖像的遞歸融合。然而，為更好地兼顧圖像質(zhì)量和運算效率，IFFBP算法根據(jù)不同階段的精度需求選用不同的插值核進行處理。

距離插值通過升采樣實現(xiàn)：距離頻域兩端補零、距離逆傅里葉變換、低階插值。為了得到較好的插值效果，升采樣倍數(shù)應大于10[13]，導致升采樣后的數(shù)據(jù)存儲會消耗較大的內(nèi)存資源。但由于升采樣方法的運算效率比sinc插值高，本文在進行距離插值時以犧牲一定的內(nèi)存資源為代價換取運算效率的提高。

相比距離插值，角域插值對插值核的選取相對復雜。對 VHF波段數(shù)據(jù)，文獻[7]角域插值完全由最近鄰點插值(nearest neighbor interpolation)實現(xiàn)，然而這種方法在進行高波段數(shù)據(jù)處理時的效果并不理想。為了解決這個問題，IFFBP算法在不同階段的角域插值核選用如下：

(1)在初始階段，只進行距離插值，無需角域插值，完成距離壓縮數(shù)據(jù)向局部虛擬極坐標系的后向投影；

(2)在處理階段，先前階段的子孔徑不斷融合成為當前階段子孔徑。而在該階段的初期，子孔徑的角域采樣點數(shù)較少，如果插值精度不足，那么隨著遞歸融合的不斷進行，插值誤差會不斷地積累、放大，最終會影響圖像質(zhì)量。為此，IFFBP算法在處理階段采用截斷的8點加權sinc插值以保證插值精度，以犧牲一定的算法效率為代價換取圖像質(zhì)量的提高[14]；

(3)在最后階段，將虛擬極坐標系下的全孔徑圖像變換到直角坐標系。由于不涉及圖像融合操作，該階段采用精度相對較低的最近鄰點插值，以犧牲一定的圖像質(zhì)量為代價換取運算效率的提高。

4 IFFBP算法的自聚焦處理

4.1 加權相位梯度自聚焦

相位梯度自聚焦(Phase Gradient Autofocus,PGA)是SAR成像運動補償中最常用的自聚焦方法之一。PGA利用相位誤差在不同距離單元之間的冗余性來抑制噪聲擾動的影響，從而提高相位估計的精度和魯棒性[9]。WPGA[15](Weighted PGA)是對PGA的一種加權優(yōu)化實現(xiàn)，其基本原理：考慮到不同信雜比(SCR)樣本對估計的貢獻不同，通過加權增強高SCR樣本對估計的貢獻，同時抑制低SCR樣本的擾動。通過對SCR加權，有效降低PGA對樣本數(shù)量的要求，從而提高了相位估計的精度和收斂速度。

假設IFFBP算法已經(jīng)完成了所有的子圖像融合操作，則虛擬極坐標系下的全孔徑圖像為

4.2 自聚焦處理流程

第3節(jié)對FFBP算法進行了必要的改進和合理的優(yōu)化，提出了IFFBP算法；4.1節(jié)介紹了WPGA的相位誤差估計方法。值得注意的是，上述分析和推導是在運動誤差不超過一個距離分辨單元的前提下展開的，即大部分運動誤差可由慣導或GPS得以校正，而殘余誤差以相位誤差的形式破壞了圖像能量的相干積累，引起了沿方位向的圖像散焦。為此，本節(jié)將提出一種結(jié)合中等精度慣導粗補償、嵌套WPGA精補償?shù)腎FFBP算法的處理流程，如圖4所示。

第1部分：利用慣導記錄的平臺運動參數(shù)解算出斜距誤差，構(gòu)造包絡和相位補償函數(shù)，完成對數(shù)據(jù)的粗補償，從而使斜距誤差小于一個距離分辨單元。

第2,3,5部分為IFFBP算法成像處理單元，分別對應初始階段、處理階段和最后階段。在初始階段，按照一定的分解系數(shù)將全孔徑分解成若干較短的子孔徑，并將子孔徑對應的距離壓縮數(shù)據(jù)后向投影到以其孔徑中心為原點的局部虛擬極坐標系；在處理階段，通過 2維插值實現(xiàn)圖像的遞歸融合，直至獲得虛擬極坐標系下的全孔徑圖像；在最后階段，通過坐標系變換得到直角坐標系圖像。

圖4 結(jié)合慣導粗補償、嵌套WPGA精補償?shù)腎FFBP算法處理流程

第4部分：在得到虛擬極坐標系下的全分辨圖像后，用WPGA對其進行相位誤差估計及校正。

5 實驗分析與驗證

為了驗證本文方法的有效性，下面使用X波段雷達參數(shù)進行SAR成像仿真，相關參數(shù)見表1。在40 m×40 m的成像區(qū)域內(nèi)等間隔放置9個點目標。如圖5所示。對回波數(shù)據(jù)加入如圖6實線所示的5階斜距誤差。由于仿真過程無需慣導補償，加入的斜距誤差應保證包絡誤差不超過一個距離分辨單元，以滿足自聚焦對圖像散焦方向的要求。使用IFFBP算法進行圖像重建(不包含自聚焦處理過程)，成像結(jié)果如圖5(a)所示。觀察圖5(a)，圖像散焦寬度約為40個角域分辨單元。根據(jù)表1參數(shù)，當圖像散焦寬度小于 50個角域分辨單元時滿足式(9)FTP關系的約束條件，因此可以使用本文方法進行自聚焦處理，估計的斜距誤差如圖5虛線所示，成像結(jié)果如圖5(b)所示。由圖6可見，估計的斜距誤差曲線與加入的曲線基本保持一致，說明了相位估計的有效性。對比圖5(a)，圖5(b)中的9個點目標的聚焦情況明顯得到改善。為了給出定量說明，對圖5中方框內(nèi)的點目標進行方位脈沖響應分析，如圖7所示，趨于sinc狀的響應形式也說明本文方法的有效性。

表1 仿真參數(shù)

下面將通過無人機正側(cè)視 SAR成像處理驗證本文方法的可行性。該數(shù)據(jù)包含10620個脈沖回波，數(shù)據(jù)處理使用的距離采樣點數(shù)為8192。中心斜距為9.7 km，距離/方位分辨率為1 m。使用IFFBP算法，但不包含自聚焦處理進行圖像重建，其成像結(jié)果如圖8(a)所示。使用本文方法(圖4所示的處理流程)進行圖像重建和自聚焦處理，其成像結(jié)果如圖8(b)所示，斜距誤差如圖 9所示。對比圖8(a)和圖8(b)，未進行運動補償處理的圖像不但存在方位散焦，而且存在嚴重的幾何失真，如子場景B中所示的河流中的一處小洲。相比圖8(a)，圖8(b)對圖像質(zhì)量的改善明顯，不僅消除了幾何失真，還實現(xiàn)了圖像的良好聚焦。由圖9可知，無人機在短時間內(nèi)的斜距誤差變化接近40 m，說明了運動補償?shù)谋匾浴?/p>

為了直觀說明本文方法對圖像聚焦的改善情況，從圖8中提取子場景A進行分析。而為了說明WPGA的精補償作用，本實驗開展結(jié)合中等精度慣導粗補償?shù)?IFFBP算法成像處理(不包含自聚焦處理過程)。限于文章篇幅，這里僅給出該方法得到的子場景A的局部放大圖，如圖10(b)所示。對比圖10(a)，圖 10(b)的慣導粗補償對圖像質(zhì)量的改善明顯。在WPGA的精補償作用下，圖10(c)進一步減小了圖像散焦，并提高了圖像的對比度。為了定量評價WPGA對圖像的改善情況，對圖10中橢圓框內(nèi)的特顯點進行方位脈沖響應分析，如圖11所示。顯然，本文方法聚焦的點目標的能量更集中、旁瓣更低、響應形式更理想，也充分說明了自聚焦處理精補償?shù)挠行院捅匾浴?/p>

圖5 成像結(jié)果對比

圖6 斜距誤差曲線

圖7 邊緣點方位脈沖響應

圖8成像結(jié)果對比

圖9 斜距誤差

圖10 子場景A的放大圖對比

6 結(jié)束語

圖11 橢圓框中點目標方位脈沖響應

以兼顧圖像快速重建和有效的自聚焦處理為目標，本文提出IFFBP算法和嵌套PGA的處理流程，取得比較理想的結(jié)果。IFFBP算法在虛擬極坐標系下進行圖像重建，建立了圖像域與相位歷程域間的FTP關系，為自聚焦的使用奠定基礎。為了兼顧圖像質(zhì)量和運算效率，本文還對IFFBP算法進行優(yōu)化處理，包括投影斜距的1維線性近似和插值核的選擇。最后，通過仿真實驗和實測數(shù)據(jù)處理驗證了FFBP算法嵌套PGA的可行性和有效性。值得注意的是，僅在最后階段之前進行自聚焦處理還會使圖像中殘余一定的高階相位誤差。因此，如何將PGA遞歸地嵌入到IFFBP算法的不同階段，獲得更理想的自聚焦效果將是以后工作的重點。

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