帶有模糊約束的證券投資決策問(wèn)題

杜雅哲　許玉芬+史麗麗　王曉

[提要] 基于可信性理論，本文建立一類(lèi)新的帶有模糊約束的投資決策模型。然后，利用模型的基本性質(zhì)將模糊模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)經(jīng)典的線性規(guī)劃模型。最后給出一個(gè)證券投資決策問(wèn)題的實(shí)例，并利用Lingo軟件進(jìn)行求解。

關(guān)鍵詞：投資決策；模糊約束；線性規(guī)劃

中圖分類(lèi)號(hào)：F83 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收錄日期：2014年7月25日

一、背景介紹

投資決策問(wèn)題一直都是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的熱門(mén)問(wèn)題之一，眾多學(xué)者利用不同的研究方法在投資決策問(wèn)題上得到了大量研究成果。例如，錢(qián)進(jìn)（1990）通過(guò)全局最優(yōu)的方法研究投資決策問(wèn)題。宋軍等（2003）建立了一種極小化跟蹤投資回報(bào)率與目標(biāo)回報(bào)率偏差的多階段投資決策模型，并將隨機(jī)模擬、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成在動(dòng)態(tài)規(guī)劃之中，設(shè)計(jì)給出了一種智能化求解方法。衛(wèi)淑芝（2010）討論了資產(chǎn)價(jià)格在宏觀經(jīng)濟(jì)以及金融等因素影響下，含有可違約風(fēng)險(xiǎn)債券的連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)敏感度投資決策問(wèn)題。但是，隨著經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，當(dāng)前的投資決策問(wèn)題依然面臨著巨大的挑戰(zhàn)，尤其在不確定性因素的處理方面更顯突出。

為了處理投資決策中的各種不確定性因素，眾多學(xué)者應(yīng)用隨機(jī)方法和模糊方法對(duì)投資問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究。本文將主要從模糊優(yōu)化的角度來(lái)研究投資決策問(wèn)題。自從美國(guó)控制論專(zhuān)家Zadeh（1965）提出模糊集理論以來(lái)，模糊模型及相應(yīng)算法得到了迅速發(fā)展。期間，Liu和Liu（2002）提出了可信性測(cè)度的概念并有效地豐富了現(xiàn)有模糊優(yōu)化理論。經(jīng)過(guò)十多年的發(fā)展，可信性理論已經(jīng)在社會(huì)眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。袁國(guó)強(qiáng)（2009）基于可信性理論提出了三類(lèi)模糊生產(chǎn)計(jì)劃模型并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的算法對(duì)模型進(jìn)行了求解。鑒于可信性理論地廣泛應(yīng)用，本文首先將基于可信性理論提出一類(lèi)新的帶有模糊約束的投資決策模型；然后，通過(guò)模型的性質(zhì)將模糊投資決策模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；最后，給出一個(gè)具體的證券投資決策問(wèn)題例子來(lái)表明所設(shè)計(jì)模型的實(shí)用性。

二、帶有模糊約束的投資決策模型

在本文的以下討論中，假設(shè)采用下面的指標(biāo)和參數(shù)。

i=1，2，…，n：投資有價(jià)證券的數(shù)量；

Ai：第i種有價(jià)證券；

ai：第i種有價(jià)證券的信用等級(jí)；

bi：第i種有價(jià)證券的到期年限；

ci：第i種有價(jià)證券的到期稅前收益率；

xi：投資第i種有價(jià)證券的金額；

k：在n種有價(jià)證券中選出固定投資的m種有價(jià)證券至少所需投資的金額總數(shù)；

K：投資者現(xiàn)有的投資金額總數(shù)；

a：投資者可以接受的所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)；

b：投資者可以接受的最高所購(gòu)證券的平均到期年限。

使用上面的記號(hào)，為了得到帶有模糊參數(shù)的投資決策模型，本文首先建立以下帶有確定性參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （1）

aixi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，約束條件xi≥k表示在需要投資的證券中選出m種證券，使得這些證券的投資總額不少于k；xi≤K表示需要投資證券的總金額數(shù)不超過(guò)K；bixi≤bxi表示投資者所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)b。

在確定性模型（1）中，約束條件aixi≤axi表示投資者所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)不超過(guò)a。由于有價(jià)證券的投資受到各種不確定性因素（例如，銀行利率、信用風(fēng)險(xiǎn)、交易風(fēng)險(xiǎn)、操作風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)等）影響，從而要求投資者在有限的信息條件下要想得到最大的投資利潤(rùn)就必須合理地對(duì)各種投資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行妥善處理，所以本文將信用等級(jí)看作離散型模糊變量，即模糊信用等級(jí)ai（？酌）（i=1，2，…，n）。因此，通過(guò)以上引入的模糊系數(shù)可以建立下面帶有模糊參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （2）

Cr？酌ai（？酌）xi≤axi≥0.8

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

由于以上模糊投資決策模型（2）的模糊約束中的可信性水平是0.8，所以根據(jù)Bai等（2009）中的相關(guān)理論可以將模型（2）轉(zhuǎn)化為下面的線性規(guī)劃模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （3）

[ai（？酌）]R0.4xi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，[ai（？酌）]R0.4表示sup{t？滋（t）≥0.4}，并且由于模型（3）是一個(gè)經(jīng)典的線性規(guī)劃問(wèn)題，從而可以采用經(jīng)典的線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。

三、帶有模糊約束的證券投資決策實(shí)例

下面將給出一個(gè)證券投資決策問(wèn)題的例子來(lái)說(shuō)明上述模糊投資決策模型的實(shí)用性。這里，假設(shè)某投資者計(jì)劃用2，000萬(wàn)元資金進(jìn)行5種有價(jià)證券的投資，并且可供購(gòu)進(jìn)的證券、信用等級(jí)、到期年限、到期稅前收益如表1所示。（表1）

基于以上的數(shù)據(jù)，下面建立帶有模糊約束的證券投資決策模型：

maxcixi

s.t. x2+x4+x5≥800

xi≤2000 （4）

Cr？酌ai（？酌）xi≤1.3xi≥0.8

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

這里，要求第2種、第4種和第5種證券至少要購(gòu)進(jìn)800萬(wàn)元；所購(gòu)證券的平均模糊信用等級(jí)不超過(guò)a=1.3；所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)b=5年。根據(jù)模型（2）和模型（3）的轉(zhuǎn)化可以得到下面的線性規(guī)劃模型：

max 0.043x1+0.03x2+0.033x3+0.025x4+0.023x5

s.t. x2+x3+x4≥800

xi≤2000 （5）

2.1x1+2.2x2+x3+x4+4x5≤1.3xi

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

本文利用Lingo軟件對(duì)模型（5）進(jìn)行求解，最后得到模型（5）的最大收益值為65.06636萬(wàn)元，最優(yōu)解為第1種證券投資546.6364萬(wàn)元；第3種證券投資653.3636萬(wàn)元；第4種證券投資800萬(wàn)元。

主要參考文獻(xiàn)：

[1]錢(qián)進(jìn).全局最優(yōu)投資決策問(wèn)題和方法[J].中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)學(xué)報(bào)，1990.3.

[2]宋軍，唐萬(wàn)生，張莉.多階段投資決策問(wèn)題的一種智能化求解方法[J].系統(tǒng)工程，2003.2.

[3]衛(wèi)淑芝.考慮可違約風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)敏感度投資決策問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010.3.

[4]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and control，1965.8.

[5]袁國(guó)強(qiáng)等.基于可信性理論的生產(chǎn)計(jì)劃期望值模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009.5.

[提要] 基于可信性理論，本文建立一類(lèi)新的帶有模糊約束的投資決策模型。然后，利用模型的基本性質(zhì)將模糊模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)經(jīng)典的線性規(guī)劃模型。最后給出一個(gè)證券投資決策問(wèn)題的實(shí)例，并利用Lingo軟件進(jìn)行求解。

關(guān)鍵詞：投資決策；模糊約束；線性規(guī)劃

中圖分類(lèi)號(hào)：F83 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收錄日期：2014年7月25日

一、背景介紹

投資決策問(wèn)題一直都是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的熱門(mén)問(wèn)題之一，眾多學(xué)者利用不同的研究方法在投資決策問(wèn)題上得到了大量研究成果。例如，錢(qián)進(jìn)（1990）通過(guò)全局最優(yōu)的方法研究投資決策問(wèn)題。宋軍等（2003）建立了一種極小化跟蹤投資回報(bào)率與目標(biāo)回報(bào)率偏差的多階段投資決策模型，并將隨機(jī)模擬、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成在動(dòng)態(tài)規(guī)劃之中，設(shè)計(jì)給出了一種智能化求解方法。衛(wèi)淑芝（2010）討論了資產(chǎn)價(jià)格在宏觀經(jīng)濟(jì)以及金融等因素影響下，含有可違約風(fēng)險(xiǎn)債券的連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)敏感度投資決策問(wèn)題。但是，隨著經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，當(dāng)前的投資決策問(wèn)題依然面臨著巨大的挑戰(zhàn)，尤其在不確定性因素的處理方面更顯突出。

為了處理投資決策中的各種不確定性因素，眾多學(xué)者應(yīng)用隨機(jī)方法和模糊方法對(duì)投資問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究。本文將主要從模糊優(yōu)化的角度來(lái)研究投資決策問(wèn)題。自從美國(guó)控制論專(zhuān)家Zadeh（1965）提出模糊集理論以來(lái)，模糊模型及相應(yīng)算法得到了迅速發(fā)展。期間，Liu和Liu（2002）提出了可信性測(cè)度的概念并有效地豐富了現(xiàn)有模糊優(yōu)化理論。經(jīng)過(guò)十多年的發(fā)展，可信性理論已經(jīng)在社會(huì)眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。袁國(guó)強(qiáng)（2009）基于可信性理論提出了三類(lèi)模糊生產(chǎn)計(jì)劃模型并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的算法對(duì)模型進(jìn)行了求解。鑒于可信性理論地廣泛應(yīng)用，本文首先將基于可信性理論提出一類(lèi)新的帶有模糊約束的投資決策模型；然后，通過(guò)模型的性質(zhì)將模糊投資決策模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；最后，給出一個(gè)具體的證券投資決策問(wèn)題例子來(lái)表明所設(shè)計(jì)模型的實(shí)用性。

二、帶有模糊約束的投資決策模型

在本文的以下討論中，假設(shè)采用下面的指標(biāo)和參數(shù)。

i=1，2，…，n：投資有價(jià)證券的數(shù)量；

Ai：第i種有價(jià)證券；

ai：第i種有價(jià)證券的信用等級(jí)；

bi：第i種有價(jià)證券的到期年限；

ci：第i種有價(jià)證券的到期稅前收益率；

xi：投資第i種有價(jià)證券的金額；

k：在n種有價(jià)證券中選出固定投資的m種有價(jià)證券至少所需投資的金額總數(shù)；

K：投資者現(xiàn)有的投資金額總數(shù)；

a：投資者可以接受的所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)；

b：投資者可以接受的最高所購(gòu)證券的平均到期年限。

使用上面的記號(hào)，為了得到帶有模糊參數(shù)的投資決策模型，本文首先建立以下帶有確定性參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （1）

aixi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，約束條件xi≥k表示在需要投資的證券中選出m種證券，使得這些證券的投資總額不少于k；xi≤K表示需要投資證券的總金額數(shù)不超過(guò)K；bixi≤bxi表示投資者所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)b。

在確定性模型（1）中，約束條件aixi≤axi表示投資者所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)不超過(guò)a。由于有價(jià)證券的投資受到各種不確定性因素（例如，銀行利率、信用風(fēng)險(xiǎn)、交易風(fēng)險(xiǎn)、操作風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)等）影響，從而要求投資者在有限的信息條件下要想得到最大的投資利潤(rùn)就必須合理地對(duì)各種投資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行妥善處理，所以本文將信用等級(jí)看作離散型模糊變量，即模糊信用等級(jí)ai（？酌）（i=1，2，…，n）。因此，通過(guò)以上引入的模糊系數(shù)可以建立下面帶有模糊參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （2）

Cr？酌ai（？酌）xi≤axi≥0.8

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

由于以上模糊投資決策模型（2）的模糊約束中的可信性水平是0.8，所以根據(jù)Bai等（2009）中的相關(guān)理論可以將模型（2）轉(zhuǎn)化為下面的線性規(guī)劃模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （3）

[ai（？酌）]R0.4xi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，[ai（？酌）]R0.4表示sup{t？滋（t）≥0.4}，并且由于模型（3）是一個(gè)經(jīng)典的線性規(guī)劃問(wèn)題，從而可以采用經(jīng)典的線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。

三、帶有模糊約束的證券投資決策實(shí)例

下面將給出一個(gè)證券投資決策問(wèn)題的例子來(lái)說(shuō)明上述模糊投資決策模型的實(shí)用性。這里，假設(shè)某投資者計(jì)劃用2，000萬(wàn)元資金進(jìn)行5種有價(jià)證券的投資，并且可供購(gòu)進(jìn)的證券、信用等級(jí)、到期年限、到期稅前收益如表1所示。（表1）

基于以上的數(shù)據(jù)，下面建立帶有模糊約束的證券投資決策模型：

maxcixi

s.t. x2+x4+x5≥800

xi≤2000 （4）

Cr？酌ai（？酌）xi≤1.3xi≥0.8

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

這里，要求第2種、第4種和第5種證券至少要購(gòu)進(jìn)800萬(wàn)元；所購(gòu)證券的平均模糊信用等級(jí)不超過(guò)a=1.3；所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)b=5年。根據(jù)模型（2）和模型（3）的轉(zhuǎn)化可以得到下面的線性規(guī)劃模型：

max 0.043x1+0.03x2+0.033x3+0.025x4+0.023x5

s.t. x2+x3+x4≥800

xi≤2000 （5）

2.1x1+2.2x2+x3+x4+4x5≤1.3xi

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

本文利用Lingo軟件對(duì)模型（5）進(jìn)行求解，最后得到模型（5）的最大收益值為65.06636萬(wàn)元，最優(yōu)解為第1種證券投資546.6364萬(wàn)元；第3種證券投資653.3636萬(wàn)元；第4種證券投資800萬(wàn)元。

主要參考文獻(xiàn)：

[1]錢(qián)進(jìn).全局最優(yōu)投資決策問(wèn)題和方法[J].中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)學(xué)報(bào)，1990.3.

[2]宋軍，唐萬(wàn)生，張莉.多階段投資決策問(wèn)題的一種智能化求解方法[J].系統(tǒng)工程，2003.2.

[3]衛(wèi)淑芝.考慮可違約風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)敏感度投資決策問(wèn)題[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010.3.

[4]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and control，1965.8.

[5]袁國(guó)強(qiáng)等.基于可信性理論的生產(chǎn)計(jì)劃期望值模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009.5.

[提要] 基于可信性理論，本文建立一類(lèi)新的帶有模糊約束的投資決策模型。然后，利用模型的基本性質(zhì)將模糊模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)經(jīng)典的線性規(guī)劃模型。最后給出一個(gè)證券投資決策問(wèn)題的實(shí)例，并利用Lingo軟件進(jìn)行求解。

關(guān)鍵詞：投資決策；模糊約束；線性規(guī)劃

中圖分類(lèi)號(hào)：F83 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收錄日期：2014年7月25日

一、背景介紹

投資決策問(wèn)題一直都是經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的熱門(mén)問(wèn)題之一，眾多學(xué)者利用不同的研究方法在投資決策問(wèn)題上得到了大量研究成果。例如，錢(qián)進(jìn)（1990）通過(guò)全局最優(yōu)的方法研究投資決策問(wèn)題。宋軍等（2003）建立了一種極小化跟蹤投資回報(bào)率與目標(biāo)回報(bào)率偏差的多階段投資決策模型，并將隨機(jī)模擬、遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成在動(dòng)態(tài)規(guī)劃之中，設(shè)計(jì)給出了一種智能化求解方法。衛(wèi)淑芝（2010）討論了資產(chǎn)價(jià)格在宏觀經(jīng)濟(jì)以及金融等因素影響下，含有可違約風(fēng)險(xiǎn)債券的連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)敏感度投資決策問(wèn)題。但是，隨著經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，當(dāng)前的投資決策問(wèn)題依然面臨著巨大的挑戰(zhàn)，尤其在不確定性因素的處理方面更顯突出。

為了處理投資決策中的各種不確定性因素，眾多學(xué)者應(yīng)用隨機(jī)方法和模糊方法對(duì)投資問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究。本文將主要從模糊優(yōu)化的角度來(lái)研究投資決策問(wèn)題。自從美國(guó)控制論專(zhuān)家Zadeh（1965）提出模糊集理論以來(lái)，模糊模型及相應(yīng)算法得到了迅速發(fā)展。期間，Liu和Liu（2002）提出了可信性測(cè)度的概念并有效地豐富了現(xiàn)有模糊優(yōu)化理論。經(jīng)過(guò)十多年的發(fā)展，可信性理論已經(jīng)在社會(huì)眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。袁國(guó)強(qiáng)（2009）基于可信性理論提出了三類(lèi)模糊生產(chǎn)計(jì)劃模型并設(shè)計(jì)了相應(yīng)的算法對(duì)模型進(jìn)行了求解。鑒于可信性理論地廣泛應(yīng)用，本文首先將基于可信性理論提出一類(lèi)新的帶有模糊約束的投資決策模型；然后，通過(guò)模型的性質(zhì)將模糊投資決策模型轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；最后，給出一個(gè)具體的證券投資決策問(wèn)題例子來(lái)表明所設(shè)計(jì)模型的實(shí)用性。

二、帶有模糊約束的投資決策模型

在本文的以下討論中，假設(shè)采用下面的指標(biāo)和參數(shù)。

i=1，2，…，n：投資有價(jià)證券的數(shù)量；

Ai：第i種有價(jià)證券；

ai：第i種有價(jià)證券的信用等級(jí)；

bi：第i種有價(jià)證券的到期年限；

ci：第i種有價(jià)證券的到期稅前收益率；

xi：投資第i種有價(jià)證券的金額；

k：在n種有價(jià)證券中選出固定投資的m種有價(jià)證券至少所需投資的金額總數(shù)；

K：投資者現(xiàn)有的投資金額總數(shù)；

a：投資者可以接受的所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)；

b：投資者可以接受的最高所購(gòu)證券的平均到期年限。

使用上面的記號(hào)，為了得到帶有模糊參數(shù)的投資決策模型，本文首先建立以下帶有確定性參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （1）

aixi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，約束條件xi≥k表示在需要投資的證券中選出m種證券，使得這些證券的投資總額不少于k；xi≤K表示需要投資證券的總金額數(shù)不超過(guò)K；bixi≤bxi表示投資者所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)b。

在確定性模型（1）中，約束條件aixi≤axi表示投資者所購(gòu)證券的平均信用等級(jí)不超過(guò)a。由于有價(jià)證券的投資受到各種不確定性因素（例如，銀行利率、信用風(fēng)險(xiǎn)、交易風(fēng)險(xiǎn)、操作風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)等）影響，從而要求投資者在有限的信息條件下要想得到最大的投資利潤(rùn)就必須合理地對(duì)各種投資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行妥善處理，所以本文將信用等級(jí)看作離散型模糊變量，即模糊信用等級(jí)ai（？酌）（i=1，2，…，n）。因此，通過(guò)以上引入的模糊系數(shù)可以建立下面帶有模糊參數(shù)的投資決策模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （2）

Cr？酌ai（？酌）xi≤axi≥0.8

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

由于以上模糊投資決策模型（2）的模糊約束中的可信性水平是0.8，所以根據(jù)Bai等（2009）中的相關(guān)理論可以將模型（2）轉(zhuǎn)化為下面的線性規(guī)劃模型：

maxcixi

s.t. xi≥k

xi≤K （3）

[ai（？酌）]R0.4xi≤axi

bixi≤bxi

xi≥0，i=1，2，…，n

這里，[ai（？酌）]R0.4表示sup{t？滋（t）≥0.4}，并且由于模型（3）是一個(gè)經(jīng)典的線性規(guī)劃問(wèn)題，從而可以采用經(jīng)典的線性規(guī)劃算法進(jìn)行求解。

三、帶有模糊約束的證券投資決策實(shí)例

下面將給出一個(gè)證券投資決策問(wèn)題的例子來(lái)說(shuō)明上述模糊投資決策模型的實(shí)用性。這里，假設(shè)某投資者計(jì)劃用2，000萬(wàn)元資金進(jìn)行5種有價(jià)證券的投資，并且可供購(gòu)進(jìn)的證券、信用等級(jí)、到期年限、到期稅前收益如表1所示。（表1）

基于以上的數(shù)據(jù)，下面建立帶有模糊約束的證券投資決策模型：

maxcixi

s.t. x2+x4+x5≥800

xi≤2000 （4）

Cr？酌ai（？酌）xi≤1.3xi≥0.8

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

這里，要求第2種、第4種和第5種證券至少要購(gòu)進(jìn)800萬(wàn)元；所購(gòu)證券的平均模糊信用等級(jí)不超過(guò)a=1.3；所購(gòu)證券的平均到期年限不超過(guò)b=5年。根據(jù)模型（2）和模型（3）的轉(zhuǎn)化可以得到下面的線性規(guī)劃模型：

max 0.043x1+0.03x2+0.033x3+0.025x4+0.023x5

s.t. x2+x3+x4≥800

xi≤2000 （5）

2.1x1+2.2x2+x3+x4+4x5≤1.3xi

8x1+14x2+4x3+3x4+3x5≤5xi

xi≥0，i=1，2，…，5

本文利用Lingo軟件對(duì)模型（5）進(jìn)行求解，最后得到模型（5）的最大收益值為65.06636萬(wàn)元，最優(yōu)解為第1種證券投資546.6364萬(wàn)元；第3種證券投資653.3636萬(wàn)元；第4種證券投資800萬(wàn)元。

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