基于不完全齒輪齒條機(jī)構(gòu)的小車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)研究

鄒光明， 尹志朋， 王東雄， 劉源泂， 汪豪蒂

（武漢科技大學(xué)機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，武漢430081）

0引言

針對(duì)第三屆全國大學(xué)生工程訓(xùn)練綜合能力競賽的主題，本文就無碳小車的轉(zhuǎn)向系統(tǒng)進(jìn)行了設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)要求為：設(shè)計(jì)一種小車，驅(qū)動(dòng)其行走及轉(zhuǎn)向的機(jī)械能由給定的重力勢能轉(zhuǎn)換而來。給定重力勢能為4J（取g=10 m/s2），競賽時(shí)統(tǒng)一用質(zhì)量為1 kg的重物塊（φ50 mm×65 mm，普通碳鋼）鉛垂下降來獲得，落差400±2 mm，重塊落下后，須被小車承載并同小車一起運(yùn)動(dòng)，不允許從小車上掉落。要求小車具有轉(zhuǎn)向控制機(jī)構(gòu)，以繞過間距為1 000 mm的障礙物。對(duì)于小車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，文獻(xiàn)［1］采用凸輪機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向，而本文采用齒輪齒條機(jī)構(gòu)完成小車自動(dòng)轉(zhuǎn)向功能，關(guān)

于齒輪齒條機(jī)構(gòu)的研究，一直為國內(nèi)外學(xué)者所關(guān)注，在參考相關(guān)文獻(xiàn)［2-5］基礎(chǔ)之上完成了本轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

1 轉(zhuǎn)向系統(tǒng)工作原理

圖1 小車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)簡圖

小車在運(yùn)行過程中應(yīng)避開間距為1 000 mm的多個(gè)障礙物，故小車需設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)。轉(zhuǎn)向系統(tǒng)簡圖如圖l所示，齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)帶動(dòng)兩個(gè)不完全齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，使得不完全齒輪齒條機(jī)構(gòu)中的齒條推動(dòng)轉(zhuǎn)向桿往復(fù)轉(zhuǎn)動(dòng)，以此控制前輪左右擺動(dòng)，從而達(dá)到轉(zhuǎn)向的目的。

圖2 齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)

圖3 用于轉(zhuǎn)向的不完全齒輪齒條機(jī)構(gòu)

圖2中，重物下落的重力勢能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能從主動(dòng)輪3輸入，帶動(dòng)兩個(gè)尺寸完全相同的從動(dòng)輪1和2轉(zhuǎn)動(dòng)。圖3中不完全齒輪1和不完全齒輪2的尺寸完全相同，它們分別和圖2

中的從動(dòng)輪1與從動(dòng)輪2同軸安裝。當(dāng)主動(dòng)輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)輪1和與之同軸的不完全齒輪1以及從動(dòng)輪2和與之同軸的不完全齒輪2均逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。不完全齒輪1和不完全齒輪2分別與齒條嚙合構(gòu)成轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，如不完全齒輪1與齒條開始進(jìn)入嚙合，齒條向前運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)轉(zhuǎn)向桿使小車向左轉(zhuǎn)向，此時(shí)不完全齒輪2與齒條未嚙合；當(dāng)不完全齒輪1、2均逆時(shí)針轉(zhuǎn)過180°時(shí)，不完全齒輪1和齒條退出嚙合，不完全齒輪2和齒條進(jìn)入嚙合，齒條向后運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)轉(zhuǎn)向桿使小車向右轉(zhuǎn)向，此時(shí)不完全齒輪1與齒條未嚙合；當(dāng)不完全齒輪1、2均再逆時(shí)針轉(zhuǎn)過180°時(shí)，不完全齒輪2與齒條退出嚙合，不完全齒輪1與齒條進(jìn)入嚙合，這樣便完成了不完全齒輪旋轉(zhuǎn)一周齒條向前、向后各運(yùn)動(dòng)一次使得小車向左、向右各轉(zhuǎn)彎一次的周期運(yùn)動(dòng)。

2 小車運(yùn)動(dòng)軌跡方程

根據(jù)小車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)分析可知，小車的運(yùn)動(dòng)軌跡是由幾段拋物線組成，其軌跡如圖4所示。圖4中A為小車偏離賽道中心線最遠(yuǎn)距離，兩障礙物之間的距離為1 000 mm。

設(shè)小車運(yùn)動(dòng)軌跡方程為y=f（x），以前1/4個(gè)周期考慮，

圖4 小車運(yùn)動(dòng)軌跡

綜合考慮小車的結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)的可靠性，A取120mm。

設(shè)過軌跡上的任一點(diǎn)作軌跡的切線，其斜率為tanβ；

式中：β為前輪與x正方向的夾角。

又由于前輪與x正方向的夾角就是此時(shí)轉(zhuǎn)向桿的轉(zhuǎn)角，如圖5所示，設(shè)齒條的位移為 b，其中心線與前輪支架的距離為c，規(guī)定β在轉(zhuǎn)向桿右邊為正，左邊為負(fù)。

圖5 轉(zhuǎn)向桿與齒條的關(guān)系

當(dāng)x=500mm時(shí)，前輪與水平位置有最大偏角，即導(dǎo)向桿處于極限位置，此時(shí)

從小車整體尺寸考慮，如c值取值較大，則會(huì)使車體尺寸較大，造成小車重量太大；如c值取值較小，則小車不易轉(zhuǎn)向的力較大。綜合考慮后取c=30mm，b=0.48×2c=28.8mm。

3 不完全齒輪設(shè)計(jì)

3.1 首尾兩齒嚙合分析

圖6 不完全齒輪齒條嚙合分析

要使小車達(dá)到預(yù)期的轉(zhuǎn)向功能，不完全齒輪與齒條的嚙合線應(yīng)保證一定的長度s，使得當(dāng)其中一個(gè)不完全齒輪與齒條剛好退出嚙合時(shí)，另一個(gè)不完全齒輪剛好進(jìn)入嚙合，這樣才能保證輪齒嚙合運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性且不產(chǎn)生卡死現(xiàn)象。在圖6所示的一個(gè)不完全齒輪與齒條嚙合中，當(dāng)不完全齒輪的第一個(gè)齒運(yùn)動(dòng)到齒輪齒頂圓與齒條上齒面的交點(diǎn)H時(shí)，齒輪和齒條相互接觸，隨著不完全齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，不完全齒輪和齒條的接觸點(diǎn)將沿著齒條的齒頂線從H點(diǎn)移動(dòng)到B2，相比于完全齒輪與齒條嚙合，其嚙合線增加了約等于B2H段的長度，不完全齒輪最后一個(gè)齒運(yùn)動(dòng)到B1時(shí)，由于后面沒有輪齒進(jìn)入嚙合，所以不完全齒輪和齒條并未脫離嚙合，這時(shí)不完全齒輪繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)不完全齒輪的齒頂將沿著齒條的齒廓向齒頂滑動(dòng)，直到滑動(dòng)到F時(shí)才脫離接觸，相比于完全齒輪與齒條嚙合，其嚙合線增加了段的長度。其中和段不在嚙合線上，傳動(dòng)比是變化的，小車運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)發(fā)生一定的偏差，但由于傳動(dòng)比變化不大，可以認(rèn)為傳動(dòng)比近似不變；并且當(dāng)不完全齒輪與齒條處于和段時(shí)，小車是運(yùn)動(dòng)在賽道中心線附近的，對(duì)小車避障影響較小，故小車實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡符合避障要求。

3.2 嚙合線長度的計(jì)算

假設(shè)不完全齒輪的齒數(shù)為z′，該不完全齒輪是由齒數(shù)為z的齒輪除去若干個(gè)齒得到的。由不完全齒輪首尾兩齒與齒條嚙合過程的分析可知，當(dāng)z′＝z/2時(shí)，齒輪齒條在嚙合運(yùn)動(dòng)的過程中會(huì)發(fā)生卡死現(xiàn)象，即當(dāng)其中一個(gè)不完全齒輪與齒條還未退出嚙合時(shí)，另一個(gè)不完全齒輪已進(jìn)入嚙合，這是不允許的。因此不完全齒輪在半齒數(shù)為z/2的基礎(chǔ)上，必須再去除一定的齒數(shù)N，才能保證輪齒嚙合運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性且不產(chǎn)生卡死現(xiàn)象，此時(shí)得到的不完全齒輪的齒數(shù)為 z′＝z/2－N。

齒輪齒條重合度計(jì)算公式［6］如下：

由圖6分析計(jì)算可得：

由嚙合重合度的物理意義得一個(gè)不完全齒輪與齒條的總嚙合線長度為：

一方面，一個(gè)不完全齒輪總長度為s的嚙合線應(yīng)當(dāng)能夠推動(dòng)齒條前進(jìn)的距離為f，另一個(gè)不完全齒輪總長度為s的嚙合線也應(yīng)當(dāng)能夠推動(dòng)齒條后退的距離為f，而這個(gè)距離f應(yīng)該等于齒條位移為b，這樣才能完成一個(gè)轉(zhuǎn)向周期。則有：

B1B2段齒條移動(dòng)的距離為B1B2cosα′；B2H段齒條移動(dòng)的距離為B2H；故當(dāng)不完全齒輪有個(gè)齒時(shí)，結(jié)合重合度的意義可得：

而因去除N個(gè)齒所減少的嚙合線的長度應(yīng)該等于由于不完全齒輪與齒條嚙合時(shí)首尾兩個(gè)齒對(duì)應(yīng)增加的嚙合線的長度，這樣才能保證輪齒嚙合運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性且不使其卡死，則有下式：

取模數(shù) m=0.5mm，α′=20°，將式（1），（3），（6）代入式（7），（8），聯(lián)立式（5），（8）經(jīng)編程計(jì)算得到，當(dāng) z=36，N=4時(shí)，f=27.89mm；NPb=6.01mm，l+B2H=6.28mm。此時(shí)將c修正為 29mm，則 b=27.84m；即此時(shí)有 f≈b，l+B2H≈N×Pb，滿足式（5）、（8）的條件。

所以不完全齒輪的齒數(shù)為z′=z/2-N=14。

4 齒條尺寸的設(shè)計(jì)

齒條有齒段的最小長度Lmin應(yīng)等于齒條的最大位移，即Lmin＝b=28.8mm，為滿足齒條與不完全齒輪正確嚙合的條件，其模數(shù)m也為0.5mm。

綜上所述，不完全齒輪的模數(shù)為m＝0.5mm并且是由一個(gè)齒數(shù)為z=36的齒輪除去22 個(gè)齒得到（此時(shí) z′=14）；齒條模數(shù)為m=0.5mm，其有齒段最小長度為Lmin=27.84mm；齒條中心線與前輪支架的距離為c=29mm。

圖7即為所設(shè)計(jì)小車的整體模型。

圖7 小車整體模型

5結(jié)語

本文對(duì)小車轉(zhuǎn)向系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)設(shè)計(jì)，依靠半齒輪齒條機(jī)構(gòu)控制小車的運(yùn)行方向，使得小車按拋物曲線運(yùn)動(dòng)。小車在運(yùn)行過程中有一定沖擊存在，運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)，能滿足小車自動(dòng)轉(zhuǎn)向的要求。

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