關(guān)于丟番圖方程x 3±53=3py 2

杜先存,劉玉鳳,管訓貴

(1.紅河學院教師教育學院,云南蒙自 661199;2.吉林省德惠市第八中學,吉林德惠 130300; 3.泰州學院數(shù)理信息學院,江蘇泰州 225300)

關(guān)于丟番圖方程x3±53=3py2

杜先存1,劉玉鳳2,管訓貴3

(1.紅河學院教師教育學院,云南蒙自 661199;2.吉林省德惠市第八中學,吉林德惠 130300; 3.泰州學院數(shù)理信息學院,江蘇泰州 225300)

設(shè)p為奇素數(shù),運用同余式、平方剩余、樂讓德符號的性質(zhì)等初等方法得出了丟番圖方程x3± 53=3py2無正整數(shù)解的兩個充分條件.

丟番圖方程;奇素數(shù);同余;平方剩余;正整數(shù)解;樂讓德符號

方程x3±a3=Dy2(D是無平方因子的正整數(shù))是一類重要的丟番圖方程,其整數(shù)解越來越受到人們的關(guān)注.杜先存等[14]、張淑靜等[5]對a=1的情況進行了系列研究,得到了一系列結(jié)果.但a=5時的研究結(jié)果還不多見,目前只有很少人進行過研究,其結(jié)論主要為:1996年,李復中[6]用簡單同余法給出了丟番圖方程x3±125=Dy2的全部非平凡正整數(shù)解,其中,D＞0,且不能被3或6k +1型的素數(shù)整除;1998年,李復中[7]用簡單同余法給出了一類不定方程x3±(5k)3=Dy2的全部非平凡整數(shù)解,其中,D＞0,D無平方因子且不能被3或6k+1型的素數(shù)整除;2006年,劉曉敏[8]用二次剩余法給出了丟番圖方程x3±p3=Dy2(其中,D＞0,D含6k+1型的素因子)無正整數(shù)解的充分性條件.本文主要給出了D=3p時,丟番圖方程x3±53=Dy2無正整數(shù)解的兩個充分性條件.

引理[5]若p為奇素數(shù),p=3(24r+19)× (24r+20)+1,r∈Z+,D1=2αq,其中,α=0或1, q為奇素數(shù),q≡5(mod6),則方程x3±1=3p D1y2無整數(shù)解.

定理1 設(shè)p=3(24r+19)(24r+20)+1為奇素數(shù),r∈Z+且r≡0,2,4(mod5),則丟番圖方程無正整數(shù)解.

證明 當x≡0(mod5)時,y2≡0(mod125), 則y≡0(mod25).令x=5x1,y=25y1,則方程x3+53=3py2可化為(5x1)3+53=3p(25y1)2, 即125(x31+1)=125·(15py21),也即x31+1= 15py21.由引理可知,丟番圖方程x3+53=3py2無正整數(shù)解.

當x?0(mod5)時,設(shè)(x,y)是丟番圖方程x3+53=3py2的一組解,則有(x+5)(x2-5x+ 25)=3py2.由于gcd(x+5,x2-5x+25)=1或3,又由于x2-5x+25?0(mod2),則方程x3+53=3py2可分為以下8種情形.

情形Ⅰ x+5=3pu2,x2-5x+25=v2,y= uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅱ x+5=u2,x2-5x+25=3pv2,y= uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅲ x+5=3u2,x2-5x+25=pv2,y= uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅳ x+5=pu2,x2-5x+25=3v2,y= uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅴ x+5=9pu2,x2-5x+25=3v2, y=3uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅵ x+5=3u2,x2-5x+25=9pv2, y=3uv,gcd(u,v)=1;

情形Ⅶ x+5=9u2,x2-5x+25=3pv2,

情形Ⅷ x+5=3pu2,x2-5x+25=9v2, y=3uv,gcd(u,v)=1.

對于情形Ⅰ:由第二式得x=-16,-3,8, 21,則有3pu2=-11,2,13,26,顯然無解,故情形Ⅰ不成立.

對于情形Ⅱ:將第一式代入第二式,配方得

對式(2)兩邊同時取模5得

因為

對于情形Ⅲ:將第一式代入第二式,配方得

因為9(2u2-5)2+75≡0(mod3),而p=3(24r+ 19)(24r+20)+1,則有p?0(mod3).要使式(4)成立,則v≡0(mod3),由第二式,得x2-5x+25 ≡0(mod9),故由第一式,有g(shù)cd(x+5,x2-5x+ 25)=3,這與gcd(x+5,x2-5x+25)=1矛盾,故情形Ⅲ不成立.

對于情形Ⅳ:將第一式代入第二式,配方得

對式(5)兩邊同時取模5得

因為

對于情形Ⅴ:將第一式代入第二式,配方得

對式(7)兩邊同時取模5得

因為

對于情形Ⅵ:將第一式代入第二式,配方得

對式(9)兩邊同時取模3得,1≡0(mod3),矛盾,故情形Ⅵ不成立.

對于情形Ⅶ:將第一式代入第二式,配方得

對式(10)兩邊同時取模5得

因為

對于情形Ⅷ:將第一式代入第二式,配方得

對式(12)兩邊同時取模3得,1≡0(mod3),矛盾,故情形Ⅷ不成立.

綜上,定理1得證.

定理2 設(shè)p=3(24r+19)(24r+20)+1為奇素數(shù),r∈Z+且r≡0,2,4(mod5),則丟番圖方程

無正整數(shù)解.

證明類似于定理1.

[1]杜先存,吳叢博,趙金娥.關(guān)于Diophantine方程x3±1= 3Dy2[J].沈陽大學學報:自然科學版,2013,25(1):8486. (Du Xiancun,Wu Congbo,Zhao Jin’e.On Diophantine Equation x3±1=3Dy2[J].Journal of Shenyang University:Natural Science,2013,25(1):8486.)

[2]杜先存,管訓貴,楊慧章.關(guān)于不定方程x3+1=91y2[J].內(nèi)蒙古師范大學學報:自然科學漢文版,2013,42(4):397399. (Du Xiancun,Guan Xungui,Yang Huizhang.On the Indefinite Equation x3+1=91y2[J].Journal of Inner Mongolia Normal University:Natural Science,2013,42 (4):397399.)

[3]杜先存,萬飛,楊慧章.關(guān)于丟番圖方程x3±1=1 267y2的整數(shù)解[J].數(shù)學的實踐與認識,2013,43(15):288292. (Du Xiancun,Wan Fei,Yang Huizhang.On the Diophantine Equation x3±1=1 267y2[J].Mathematics in Practice and Theory,2013,43(15):288292.)

[4]杜先存,趙東晉,趙金娥.關(guān)于不定方程x3±1=2py2[J].曲阜師范大學學報:自然科學版,2013,39(1):4243. (Du Xiancun,Zhao Dongjin,Zhao Jin’e.On the Indefinite Equation x3±1=2py2[J].Journal of Qufu Normal University:Natural Science,2013,39(1):4243.)

[5]張淑靜,楊雅琳,賈曉明.關(guān)于Diophantine方程x3±1= 3p D1y2[J].山西師范大學學報:自然科學版,2009,23 (4):3133. (Zhang Shujing,Yang Yalin,Jia Xiaoming.On the Diophantine Equation x3±1=3p D1y2[J].Journal of Shanxi Normal University:Natural Science,2009,23(4): 3133.)

[6]李復中.關(guān)于丟番圖方程x3±125=Dy2[J].東北師大學報:自然科學版,1996,28(3):1516. (Li Fuzhong.On the Diophantine Equation x3±125=Dy 2 [J].Journal of Northeast Normal University:Natural Science,1996,28(3):1516.)

[7]李復中.關(guān)于一類丟番圖方程x3±(5k)3=Dy2[J].東北師大學報:自然科學版,1998,30(2):1619. (Li Fuzhong.On the Diophantine Equation x3±(5k)3= Dy2[J].Journal of Northeast Normal University:Natural Science,1998,30(2):1619.)

[8]劉曉敏.關(guān)于丟番圖方程x3±p3=Dy2解的討論[D].哈爾濱:哈爾濱理工大學,2006. (Liu Xiaomin.On the Solutions of the Diophantine Equations x3±p3=Dy2[D].Harbin:Harbin University of Science and Technology,2006.)

【責任編輯:王 穎】

On Diophantine Equation x3±53=3py2

Du Xiancun1,Liu Yufeng2,Guan Xungui 3
(1.Teachers’Educational College,Honghe University,Mengzi 661199,China;2.No.8 Middle School,Dehui 130300, China;3.Mathematical Infermation,Taizhou University,Taizhou 225300,China)

Let p be an odd prime.By using congruent formula,quadratic residue,Legendre symbol, two sufficient conditions for the Diophantine equation x3±53=3py2has no integer solutions are obtained.

Diophantine equation;odd prime;congruence;quadratic residue;positive integer solution;Legendre symbol

2095-5456(2014)01-0081-03

O 156.1

A

2013 08 24

云南省教育廳科研基金資助項目(2012C199);江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃課題資助項目(D201301083).

杜先存(1981),女,云南鳳慶人,紅河學院講師. y=3uv,gcd(u,v)=1;