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    數(shù)學(xué)概括淺議

    2014-10-31 23:44:54李志娟
    散文百家 2014年10期
    關(guān)鍵詞:中學(xué)數(shù)學(xué)題型數(shù)學(xué)知識

    李志娟

    河北省圍場縣職教中心

    數(shù)學(xué)概括淺議

    李志娟

    河北省圍場縣職教中心

    我國著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家華羅庚先生生前十分重視中學(xué)數(shù)學(xué)教育事業(yè)。他提出的讀書公式:“薄厚”讀書法在中學(xué)數(shù)學(xué)界乃至整個教育界廣為流傳和稱頌。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、技能和方法的過程是一個從不知到知,從知之不多到知之甚多的不斷積聚的過程。這就是公式的第一步:“從薄到厚”。公式的第二步:“從厚到薄是數(shù)學(xué)知識、技能的總結(jié)概括,思想方法的提煉升華的過程。而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力,對學(xué)生正確認(rèn)識數(shù)學(xué),發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,優(yōu)化學(xué)習(xí)效果都有相當(dāng)重要的作用。

    數(shù)學(xué)作為一門學(xué)科,它的本質(zhì)特征之一是高度的抽象性和高度的概括性,數(shù)學(xué)本身就是客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的最抽象、最概括的反映。就數(shù)學(xué)教育而言,培養(yǎng)學(xué)生概括能力無疑是提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的一項重要內(nèi)容。

    什么是數(shù)學(xué)概括?曹才翰教授在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論》中指出了它的意義:“其一,指在思想上把具有相同本質(zhì)特性的事物聯(lián)系起來;其二,是把被研究對象的本質(zhì)特性推廣為范圍更廣的包含這個對象的同類事物的本質(zhì)特性?!?/p>

    本文擬從中學(xué)數(shù)學(xué)教育的角度淺議數(shù)學(xué)概括,著重討論中學(xué)數(shù)學(xué)教材涉及的數(shù)學(xué)通則通法的概括和數(shù)學(xué)遷移概括。

    一、數(shù)學(xué)通則通法的概括

    1.概括和再概括數(shù)學(xué)通則通法是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要素材,包括定理、性質(zhì)、公式和法則在內(nèi)的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是前人研究和總結(jié)出來的數(shù)學(xué)成果,是真知。數(shù)學(xué)教學(xué)的一個任務(wù)就是要把這些數(shù)學(xué)成果用科學(xué)的教學(xué)方法傳授給學(xué)生,使之能理解、掌握和應(yīng)用。

    2.建模和擴模不論是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,還是單純解數(shù)學(xué)題,都離不開把問題和解決問題的方法進行比較分類,抽象概括出一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)形式,然后利用這種結(jié)構(gòu)形式來熟練地解決同類型的實際問題和數(shù)學(xué)問題。這就是從狹義的角度來認(rèn)識建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。從這個意義上講,數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)抽象概括的結(jié)果。數(shù)學(xué)中每一個計算公式、每一類方程、每一種函數(shù)都可以看作一個數(shù)學(xué)模型。在建模用模的同時,不應(yīng)把模型看成僵化的、一成不變的東西,而應(yīng)考慮模型及其功能的變化發(fā)展。

    二、數(shù)學(xué)遷移概括

    在學(xué)習(xí)過程中,先行學(xué)習(xí)和后續(xù)學(xué)習(xí)總是互相影響、互相干擾的,我們把這兩者之間的影響、干擾稱為“遷移”。學(xué)習(xí)甲時獲得的一般數(shù)學(xué)原理方法如能適用于學(xué)習(xí)乙時,若能從學(xué)習(xí)甲、乙過程中概括出它們的共同的數(shù)學(xué)原理和方法,我們稱之為數(shù)學(xué)遷移概括。求解二次方程,無論是分解因式還是開平方,都是為了降為一次方程,引導(dǎo)學(xué)生把降次法遷移到解特殊的高次方程上來,這就是一種數(shù)學(xué)遷移概括。許多學(xué)生對“x>1 x≥1”這一推理的正確性持懷疑態(tài)度,認(rèn)為結(jié)論中的“x=1”在前提中不存在,是無論如何推導(dǎo)不出的??梢姲堰@一類問題提到集合思想觀念的高度來認(rèn)識處理,這實際上就是把子集概念的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)遷移概括到一些特殊數(shù)學(xué)事實的認(rèn)識和處理上了。對中學(xué)數(shù)學(xué)教材結(jié)構(gòu)體系,學(xué)生一般了解不深,但能粗淺地認(rèn)識到數(shù)學(xué)教材總是從建立公理、定義概念開始,一步步演繹出一系列的數(shù)學(xué)知識和方法,有的同學(xué)還能注意到教材中定理、公式出現(xiàn)的邏輯順序,并從自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗中意識到用前一個定理的結(jié)果去推證后一定理(或推論),比用定義、概念出發(fā)去推證更為簡易。所有這些實質(zhì)上是對數(shù)學(xué)公理化思想的點滴意會。

    三、數(shù)學(xué)概括能力的培養(yǎng)

    1.必須重視數(shù)學(xué)知識發(fā)展過程的教學(xué)數(shù)學(xué)具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c,新概念(新知識)往往是在原有概念(舊知識)的基礎(chǔ)上引進和建立的。合理組織教學(xué)活動,加強新舊知識的聯(lián)系是把新知識納入學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)實現(xiàn)知識遷移的重要途經(jīng)。重視新知識(包括概念、定理、公式、法則等)的發(fā)生、發(fā)展、鞏固和系統(tǒng)化(小結(jié))的教學(xué),從教材中發(fā)掘培養(yǎng)學(xué)生概括能力的因素,并利用它來提高學(xué)生數(shù)學(xué)知識的概括水平,這是讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個關(guān)鍵。

    當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中不同程度的存在“概念知識一帶而過,練習(xí)課代替復(fù)習(xí)課”的傾向,無論對學(xué)生數(shù)學(xué)知識技能的掌握還是數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)都是有百弊而無一利的。

    2.必須摒棄“題海戰(zhàn)”的教學(xué)模式當(dāng)前考試指揮教學(xué)的功能仍有增無已。為應(yīng)付考試,教師企圖窮盡考試要求范圍內(nèi)的所有題型(及各種變形),將其全部塞給學(xué)生訓(xùn)練。這種題型加題量的訓(xùn)練模式(俗稱“題海戰(zhàn)”)是一種就題論題式的、缺乏概括的模式?;〞r多,收效少,學(xué)生負(fù)擔(dān)重。這種只知改變題目的外在形式,不顧學(xué)生內(nèi)在的思維活動的教學(xué)方式,是不能達(dá)到知識、能力廣泛遷移的目的的。因為一方面訓(xùn)練題量的多少和培養(yǎng)能力的大小并非成正比例,題量題型過多并不能提高學(xué)生區(qū)分事物的現(xiàn)象和本質(zhì)、聯(lián)系事物共同的本質(zhì)屬性的思維水平;另一方面,過重的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)產(chǎn)生過重的心理負(fù)擔(dān),使學(xué)生不能以愉悅的、有興趣的心情和積極、主動的態(tài)度對待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),而產(chǎn)生學(xué)習(xí)態(tài)度的負(fù)遷移,這是最為令人擔(dān)憂的教學(xué)后果。

    3.必須重視解題思路的概括解題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必要途經(jīng)。對解法典型概括內(nèi)容較多的數(shù)學(xué)題,教師幫助學(xué)生建立題型模式,使學(xué)生能識模、用模,熟練同類題目的解法思路。在這過程中教師要自己暴露(或讓學(xué)生經(jīng)歷)從直覺思維到理性思維的過程,進行有層次的數(shù)學(xué)概括。同時教師不能滿足于這種題型歸類的淺層次概括,還應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)思想方法的高度對解題思路進行較高層次的概括。高考第一輪復(fù)習(xí),在回顧各章節(jié)內(nèi)容之前,先系統(tǒng)介紹數(shù)學(xué)思想方法,實踐證明是有益的。非畢業(yè)年級的數(shù)學(xué)教學(xué),以知識內(nèi)容為載體,有條件地逐步滲透各種數(shù)學(xué)思想方法,對學(xué)生各種思維能力(包括數(shù)學(xué)概括能力)的提高也同樣是有益的。

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