一類具非線性擴(kuò)散系數(shù)的高階中立型偏泛函微分方程的振動(dòng)性

林文賢

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)系，廣東潮州 521041）

1 引 言

20世紀(jì)80年代以來，由于生物遺傳工程、化學(xué)反應(yīng)過程、人口動(dòng)力學(xué)及其它一些問題中出現(xiàn)了含時(shí)滯變?cè)钠⒎址匠蹋蚨鴮?duì)于時(shí)滯變?cè)钠⒎址匠探獾男詰B(tài)研究越來越受到人們的關(guān)注．部分作者對(duì)具有時(shí)滯的橢圓型、拋物型和雙曲型偏微分方程的振動(dòng)性進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)[1-15]，但對(duì)于高階偏泛函微分方程振動(dòng)性研究的文章較少[16-20]．本文將研究如下的具有非線性擴(kuò)散系數(shù)的高階中立型偏泛函微分方程

分別在邊值條件

下解的振動(dòng)性質(zhì)，獲得了其所有解振動(dòng)的充分判據(jù)，結(jié)論充分表明了時(shí)滯量的決定性作用．其中n 為偶數(shù)， Δu 是RN中的Laplacian 算子， Ω ?RN是具有逐片光滑邊界?Ω 的有界區(qū)域， R+=[)0,∞ ,且ν 是?Ω 的單位外法向量．當(dāng)n=2,b()t ≡1 時(shí)，方程（E）就是文獻(xiàn)[4]所研究的方程，因而本文的結(jié)論推廣和包含了文獻(xiàn)[4]的結(jié)果．

假設(shè)下列條件（H）成立：

引理1[21]設(shè)為常號(hào)，在上且滿足則（i）存在ty≥t0使得y()i()t 在[)ty,∞上常號(hào)，i=1,2,…,n-1.

（ii）存在? ∈{0,1,2,… }n-1 ，n+? 為奇數(shù)，使得

引理2[22]設(shè)滿足引理1的條件，且則對(duì)每存在常數(shù)M ＞0使得

2 主要結(jié)果

則邊值問題（E），（B1）的所有解在G上振動(dòng)．

證明 假設(shè)u(x,t)是問題（E），（B1） 的一個(gè)非振動(dòng)解,不失一般性，不妨設(shè)的情形，令可類似證明）．由條件（H2），存在t1≥t0,使得當(dāng)有

將方程（E）兩邊在Ω上關(guān)于x 積分，有

由Green公式和邊值條件（B1）及（H3）得

其中dS 是?Ω 上的面積元素．

又根據(jù)（H1），（H3）有

令V(t)=∫Ωu(x,t)dx，顯然，于是由（2）-（5）可得

取i=1,得Z′()t >0,t ≥t3．于是，由引理1，存在t2≥t1，使得

又由（6）式有

從而有

進(jìn)而，有

注意到（7）、（8）及（H2），由（10）得

令

于是由（11），（12）式有

對(duì)上述的不等式從t2到t(≥t2)積分得

推論1 若將條件（1）換成微分不等式（9）無最終正解，則邊值問題（E），（B1）的所有解在G上振動(dòng)．

在定理1中，若φ(t)恒為正常數(shù)，則有

定理2 若將條件（1）換為

成立，則定理1的結(jié)論仍然成立．

引理3[23]設(shè)α0是如下Dirichlet特征值問題：

由Green公式和邊值條件（B2）有

又由（H1）和（H2）有

于是，由（14）-（17）有

因此得

從而有

進(jìn)而，有

令

于是由（23）和（24）式有

對(duì)上述的不等式從t2到t(≥t)2積分得

由微分不等式（18）有

類似于定理1的證明，可得如下結(jié)果：

則邊值問題（E），（B2）的所有解在G上振動(dòng)．

[1]LIN Shi-zhong，ZHOU Zheng-xin，YU Yuan-hong．Oscillation criteria for a class of Hyperbolic differential equations continuous distributed deviating arguments[J]．J.of Math.(PRC),2005，25（5）：521-526．

[2]MISHER D P.Necessary and sufficient conditions for oscillation of neutral type parabolic differential equations[J]．Comptes Kendus Acad.Bulg.Sci.,1991，44（3）：11－15.

[3]王培光，葛渭高．一類非線性偏泛函微分方程的強(qiáng)迫振動(dòng)性[J]．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2000，20（4）：454-461．

[4]羅李平．非線性中立雙曲型偏泛函微分方程的振動(dòng)性定理[J]．?dāng)?shù)學(xué)雜志，2010，30（6）：1023-1028．

[5]何猛省，高述春．雙曲時(shí)滯偏微分方程解的振動(dòng)性質(zhì)[J]．科學(xué)通報(bào)，1992，37（13）：1163-1166．

[6]林文賢．一類非線性中立型雙曲方程的強(qiáng)迫振動(dòng)性[J]．韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002，23（2）：11-18．

[7]林文賢．一類二階中立型偏泛函微分方程的振動(dòng)性[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37（20）：192-195．

[8]林文賢．一類具連續(xù)偏差變?cè)A中立型偏泛函微分方程的振動(dòng)性[J]．韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，28（3）：8-10．

[9]林文賢．一類中立型雙曲微分方程的振動(dòng)性定理[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009，22（3）：514-519．

[10]林文賢．具連續(xù)偏差變?cè)姆蔷€性中立雙曲型偏泛函微分方程的振動(dòng)性[J]．韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，32（3）：8-12．

[11]林文賢．一類非線性中立雙曲型偏泛函微分方程的振動(dòng)性[J]．安徽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，35（3）：9-13．

[12]林文賢．一類具分布式偏差變?cè)辛㈦p曲型偏泛函微分方程的振動(dòng)性[J]．南京師大學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，34（4）：13-16．

[13]林文賢．一類具連續(xù)偏差變?cè)姆蔷€性中立雙曲型偏泛函微分方程的振動(dòng)性[J]．昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012，37（1）：90-94.

[14]林文賢．一類具分布時(shí)滯的中立型雙曲方程的振動(dòng)性[J]．安徽大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，37（6）：8-12．

[15]林文賢．關(guān)于一類非線性中立雙曲型偏泛函微分方程的振動(dòng)性的注記[J]．韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，34（3）：7-11．

[16]林文賢．一類高階中立型偏微分方程的振動(dòng)性[J]．西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，23（1）：25-30．

[17]林文賢．高階非線性中立型偏微分方程的振動(dòng)性[J]．生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003，18（1）：8-14.

[18]林文賢．一類高階中立型偏泛函微分方程的振動(dòng)性[J]．黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006，23（4）：449-456.

[19]林文賢．關(guān)于一類偶數(shù)階中立型偏泛函微分方程的振動(dòng)性的注記[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，38（20）：239-242.

[20]林文賢．一類具有擴(kuò)散系數(shù)和連續(xù)偏差變?cè)闹辛⑿团茧A偏泛函微分方程的振動(dòng)性[J]．中國科學(xué)院研究生院學(xué)報(bào)，2012，29（6）：738-742.

[21]AGARWAL R P，GRACE S R，D.O’Regan.Oscillation Theory for Differential Equations[M]．Kluwer Academic,Dordrecht，2000.

[22]PHILOS Ch G．A new criterion for the oscillation and asymptotic behavior of delay differential equations[J]．Bull.Acad.Pol.Sci.Ser.Sci.Mat.，1981，39（1）：61-64.

[23]VLADIMIROV V S.Equations of Mathematical Physics[M]．Moscow：Nauka，1981．