非均勻泵浦的半經(jīng)典自洽場激光理論

劉勇，祁紅艷，劉勁松，王可嘉

（1．湖北第二師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院，湖北 武 漢430205；

2．武漢光電國家實驗室，華中科技大學(xué)光電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖北 武 漢430074）

0 引言

激光是重要的非線性系統(tǒng)，在泵浦域值之上，這種系統(tǒng)能夠產(chǎn)生一束干涉光，其頻率從紅外至紫外且低發(fā)散．由于當代納米制造能力的快速發(fā)展，一系列新穎的激光系統(tǒng)已經(jīng)出現(xiàn)．例如，垂直腔面發(fā)射激光器（VCSEL）［1］、光子晶體缺陷模激光（Phcs）［2］和隨機激光器（RLs）［3～5］．這一系列激光器所面臨的理論挑戰(zhàn)是對開腔的正確處理．在傳統(tǒng)理論中，多模激光是用線性腔共振來描述的，其中一種較常用的處理方式是準態(tài)模（QB）［6］．盡管準態(tài)模（QB）已廣泛使用于標準的開腔分析，但是由于它們彼此不正交，所以使用準態(tài)模（QB）在增益區(qū)外光子流通量不守恒，而且這種方法不能處理模式相互作用及空間燒孔．近來，這些困難已由Hakan E Türeci和A Douglas Stone等人引入常通量模式constant flux（CF）態(tài)所克服［7］，這種CF態(tài)所決定的光子流通量守恒．他們從采取旋轉(zhuǎn)波近似以及緩慢包絡(luò)近似的半經(jīng)典激光方程出發(fā)，推導(dǎo)出了一個迭代可解的自洽積分方程，這個方程決定了激光諧振腔內(nèi)的穩(wěn)態(tài)激光模式．在這個模型中，半導(dǎo)體激光諧振腔有均勻的折射率和泵浦．

當泵浦區(qū)域（或折射率）不均勻時，必須對常通量模式作進一步處理．本文中擴展了自洽積分方程的適用范圍，并擴展到一維邊緣發(fā)光半導(dǎo)體激光器，分析了第一激光域值隨著泵浦區(qū)域的變化趨勢．計算結(jié)果顯示，第一激光域值D（1）th與泵浦區(qū)域x0成反比．這種處理方式能夠進一步應(yīng)用于更復(fù)雜的諧振腔．

1 理論模型

Hakan E Türeci等人［7］從 Maxwell－Bloch方程出發(fā)，給出電場的多周期形式E（x，t）＝ ∑μψμ（x）e－ikμt，穩(wěn)態(tài)非線性激光模式能夠由常通量CF態(tài)的復(fù)矢量aμ方程得到：

圖1 僅有層Ⅰ為增益的一維邊緣發(fā)光半導(dǎo)體激光諧振腔

為了處理不均勻泵浦時的常通量模式，忽略在未泵浦區(qū)域增益介質(zhì)光子的重吸收．如圖1，半導(dǎo)體諧振腔分為兩層：層Ⅰ和層Ⅱ，它們分別是泵浦（x＜x0）和未泵浦區(qū)域（x＞x0），且層Ⅰ是持續(xù)泵浦的．腔的外部標注為層Ⅲ，為空氣（n2＝1）．腔的左部（x＝0）處是一面全反射鏡．

腔內(nèi)的CF態(tài)由下列方程決定：

在x＝0處，考慮Dirichlet邊界條件．在x＝a處，考慮輻射波邊界條件（?xφm（x＝a）＝ikφm（x＝a）），（2）～（4）式?jīng)Q定的CF態(tài)經(jīng)過簡單地計算可得出：

這里，層Ⅱ中波矢k選擇為實數(shù)并恒定，因為層Ⅱ中增益介質(zhì)并沒有泵浦，所以激光模式無法放大．又由φm在x＝x0及x＝a處連續(xù)性條件，可以推得層Ⅰ中CF態(tài)頻率km滿足下列方程：

為了簡化公式，定義

則（6）式簡化為

這樣（8）式和參考文獻［5］中的公式有了相同的形式，在域值上，k標注為kμth．為了求出CF態(tài)的系數(shù)，對（5）式在x＝x0及x＝a引入Dirchlet條件，推得

（1）式化為：

為了解（10）式，必須應(yīng)用全局相位條件．通常取的系數(shù)是實數(shù)且為1．第一域值頻率及第一泵浦域值為：

上式中，

聯(lián)立（8）式、（11）式和（13）式，即可得解得第一域值頻率和km，再由式（12）求得第一泵浦域值

2 模擬與討論

首先，計算第一域值與泵浦區(qū)域的關(guān)系．假設(shè)腔外的穩(wěn)定波矢K＝20，分別取泵浦區(qū)域x0＝0．3，0．5，0．7，0．9，使用（8）式計算CF態(tài)的頻率，在計算中取m＝9，然后代入（9）式得到CF模式系數(shù)，從而計算出CF態(tài)φm，作出圖2，計算參數(shù)與參考文獻［8］中的一致，如下：a＝1，ka＝19．89，n1＝1．5，n2＝1．0，γ⊥＝4．從圖2可以看出，邊界x＝a處強度相等，這時CF態(tài)放大率明顯不同．經(jīng)過仔細考察，層Ⅰ的放大率與增益區(qū)域x0（即泵浦區(qū)域）成反比，這說明隨著增益區(qū)域x0的減小，需要更高的泵浦補償未泵浦腔長（a－x0）的損耗．在腔外，強度為常數(shù)，這是由于光子流通量守恒，也是CF態(tài)理論與傳統(tǒng)的準態(tài)模理論的根本區(qū)別．

如圖3，改變泵浦區(qū)域x0，分別計算第一泵浦域值．隨著泵浦區(qū)域x0的增大，泵浦域值減小，即第一泵浦域值與泵浦區(qū)域x0成反比．

圖2 邊緣發(fā)光腔中計算的一系列增益區(qū)域CF態(tài)分布

圖3 第一泵浦域值隨泵浦區(qū)域x0的變化規(guī)律

3 結(jié) 論

將半經(jīng)典自洽場激光理論由均勻泵浦擴展到不均勻泵浦，并以一維半導(dǎo)體邊緣發(fā)光為例，詳細闡述了我們的計算策略，希望這種新的理論能夠應(yīng)用到解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)以及隨機激光的增益閾值的求解．

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［7］H Türeci E，Stone A D，Collier B．Steady－state ab initio laser theory：generalizations and analytic results［J］．Phys Rev A，2006，74（4）：043822－043838．