求解無限長載流直螺線管磁場的兩種方法比較＊

王小蘭

（黃岡師范學(xué)院 湖北 黃岡 438000）

李春密

（北京師范大學(xué)物理系 北京 100875）

梁莉紅

（萍鄉(xiāng)市第六中學(xué) 江西 萍鄉(xiāng) 337000）

恒定磁場是《普通物理學(xué)》里很重要的一部分學(xué)習(xí)內(nèi)容.其中求解無限長載流直螺線管的磁場是個典型的問題.本文根據(jù)畢奧 －薩伐爾定律和安培環(huán)路定理兩種方法來解析，并進行比較.

1 用畢奧 －薩伐爾定律求解

先討論用畢奧 －薩伐爾定律求單匝圓形載流導(dǎo)線的磁場，然后根據(jù)磁場的疊加原理求多匝圓形載流導(dǎo)線的磁場.

【例1】設(shè)在真空中，有一半徑為R圓形載流導(dǎo)線，通過的電流為I，通常稱作圓電流.試求通過圓心并垂直于圓形導(dǎo)線平面的軸線電流上任意一點P處的磁感應(yīng)強度.

解析：建立如圖1所示的坐標(biāo)系.其中Ox軸通過圓心O，并垂直圓形導(dǎo)線平面，在圓上任取一電流元Idl，這個電流元到場點P的位置矢量為r.根據(jù)畢奧 －薩伐爾定律在P點所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

圖1 圓形導(dǎo)線平面軸線電流上任一點的磁場

由圖中受力分析可知，電流元Idl與位矢r垂直，所以θ＝90°，而dB的方向垂直于電流元Idl與位矢r所組成的平面，即dB與Ox軸的夾角為α.因此，我們可以把dB分解成兩個分量：一是沿Ox軸的分量dBx＝dBcosα；另一是垂直于Ox軸的分量dB⊥＝dBsinα.

考慮到圓上任一直徑兩端的電流元對Ox的對稱性，根據(jù)磁場疊加原理，所有電流元在點P處的磁感應(yīng)強度的垂直分量dB⊥的總和應(yīng)等于零；其在Ox軸上的分量dBx相互加強.所以

B的方向垂直于圓形導(dǎo)線平面，沿Ox軸正向.

討論：

（1）當(dāng)x＝0時，即圓心點O處的磁感應(yīng)強度的量值為

其方向垂直于圓形導(dǎo)線平面，沿Ox軸的正方向.

（2）如果圓電流是由N 匝導(dǎo)線所組成的，通過每匝的電流強度均為I，則圓心點O處的磁感應(yīng)強度的量值為

【例2】求長直載流螺線管的磁場1.

如圖2所示，真空中有一長為l，半徑為R的載流密繞直螺線管，總匝數(shù)為N（單位長度匝數(shù)為n）通有電流I.求管內(nèi)軸線上一點處的磁感應(yīng)強度B.

圖2 通電螺線管

解析：無限長載流螺線管可看作是由多匝載流圓環(huán)構(gòu)成.圖3為螺線管的縱剖圖.此剖面圖設(shè)在紙面內(nèi).在距P點為x處取長為dx的一小段，dx上含有線圈ndx匝.因為螺線管上線圈繞得很密，所以，dx段相當(dāng)于一個圓電流，電流強度為Indx.

圖3 求螺線管磁場

根據(jù)上題的結(jié)果和磁場疊加原理，它在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度dB的大小為

所有線圈在P點產(chǎn)生的dB均向右，所以P點B為

取點P到所取小段線圈的連線與軸線AB夾角θ為積分變量，由圖可知

代入上式得

（1）討論和推理幾種特殊情況

1）如果螺線管為無限長，θ1＝π，θ2＝0，則

2）當(dāng)點P處于管內(nèi)軸線中點時，θ1＝π－θ2，cosθ1＝－cosθ2，而

代入計算結(jié)果得

當(dāng)lR時，細而長的螺線管可看作是無限長，由此得管內(nèi)軸線中點處的磁感應(yīng)強度為B＝μ0nI.

3）如果P點位于半無限長螺線管的一端，則

或者 θ1＝π θ2＝

代入上式得

這說明半“無限長”螺線管軸線上端點的磁感應(yīng)強度只有管內(nèi)軸線中點磁感應(yīng)強度的一半.

4）我們可以根據(jù)實驗數(shù)據(jù)不難畫出圖4，圖中給出了長直螺線管內(nèi)軸線上磁感應(yīng)強度的分布.可以看出，密繞載流長直螺線管內(nèi)軸線中部附近的磁場完全可視作均勻磁場，兩端是非均勻磁場.

圖4 通電螺線管內(nèi)外磁場曲線

（2）推論：如果是無限長密繞載流直螺線管則內(nèi)部是勻強磁場，數(shù)值大小與管軸上的磁感應(yīng)強度B＝μ0nI相等，其方向軸平行.管外磁場很弱，可以忽略不計.

2 用安培環(huán)路定理求解

先根據(jù)安培環(huán)路定理求有磁介質(zhì)的無限長載流直螺線管的磁場，再求真空中的無限長載流直螺線管的磁場.

【例3】設(shè)有螺線管長為l，共有N匝，電流為I，螺線管中磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ.求無限長載流直螺線管的磁場.

解析：由于螺線管無限長，管內(nèi)中央部分的磁場可以看作是勻強磁場，方向與螺線管的軸線平行.管的外側(cè)磁場強度很弱，忽略不計.

為計算螺線管中段內(nèi)部某點P的磁場強度可通過P點作一矩形閉合回路abcda（如圖5所示），根據(jù)有磁介質(zhì)的安培環(huán)路定理有

沿此閉合曲線求H矢量的線積分為

圖5 求無限長載流直螺線管的磁場

在線段cd上，H＝0.在線段bc和da的管內(nèi)部分上，雖然H ≠0，但dl與H 相互垂直，即

因此H矢量沿著閉合路徑abcda線積分為

因為管內(nèi)磁場是勻強的，方向自a向b，所以

所以螺線管內(nèi)的磁場強度為

于是管內(nèi)的磁感應(yīng)強度為

在真空中時

3 兩種求解方法的比較

求解無限長載流直螺線管磁場的兩種方法進行比較如表1所示［2］.

表1 兩種方法比較

從上表可以看出：求解無限長載流直螺線管磁場的兩種思路中，盡管所用方法如對稱法、微分積分法、理想模型法、公式法、推理法等是相同的，但是運用安培環(huán)路定理的方法較為直接、簡單、明了.運用安培環(huán)路定理解決本題，必須是建立無限長密繞載流直螺線管內(nèi)部是勻強磁場，忽略了管外的磁場的認(rèn)知基礎(chǔ)上，第一種方法是第二種方法的鋪墊，第二種方法是第一種方法的提升.無限長載流直螺線管磁場分布情況也是《普通物理學(xué)》中的一種理想的物理模型，通過兩種方法的解析和比較，以期提高學(xué)生分析問題和綜合解決問題的能力，促進學(xué)生元認(rèn)知能力的發(fā)展.

1 馬文蔚.物理學(xué)［上冊］（第五版）.北京：高等教育出版社，2006.294～296

2 朱鈜雄.物理學(xué)方法概論.北京：清華大學(xué)出版社，2008.9～30