用條件方程式直接探測多維粗差的方法研究

劉 利，葛永慧

（1.太原市城鄉(xiāng)規(guī)劃局 城鄉(xiāng)建設(shè)檔案館，太原 030002；2.太原理工大學(xué) 礦業(yè)工程學(xué)院，太原 030024）

粗差是超出觀測值一定限度的誤差，根據(jù)偶然誤差的規(guī)律性，粗差基本都大于觀測值的三倍中誤差。粗差出現(xiàn)是小概率事件，有時確實(shí)也存在，但在觀測值中是極少數(shù)的，所以在進(jìn)行平差計(jì)算前，應(yīng)該進(jìn)行粗差探測[1]。國內(nèi)外測量研究人員進(jìn)行了大量的理論研究，并通過大量實(shí)際案例論證，從理論和具體方法上都取得了很多可行的研究成果。通過查閱文獻(xiàn)，這些理論和方法的基本思路一般為兩種情況：一是采用待估參數(shù)計(jì)算，將粗差作為待估參數(shù)直接計(jì)算，用擬穩(wěn)平差的原理解算秩虧問題，然后進(jìn)行探測粗差；二是將隨機(jī)選定含粗差概率小的、有驗(yàn)證條件的觀測值當(dāng)成平差計(jì)算的起算數(shù)據(jù)，運(yùn)用隨機(jī)選取的數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘法解算出待估參數(shù)，含粗差的概率較大的觀測值，也就是非準(zhǔn)觀測值的殘差作為粗差[2]。用第一種思路解決粗差探測問題時，又分為兩種方式，第一是將極少數(shù)疑是觀測值（含粗差）和一般觀測值（不含粗差）看成具有相同方差、不同期望的一個基本子樣，即把粗差看作是函數(shù)模型的一小部分，用這一方式最早提出一個粗差探測技術(shù)的是荷蘭的巴爾達(dá)教授（Baarda）[3]；第二是將極少數(shù)的疑是觀測值（含粗差）和一般觀測值（不含粗差）看作具有相同方差、不同期望的一個基本子樣，即把粗差當(dāng)成是隨機(jī)模型中的一小部分[4]。研究分析現(xiàn)有粗差探測的方法后不難發(fā)現(xiàn)，這些粗差探測的方法一要采用最小二乘法平差原理，進(jìn)行經(jīng)典平差解算；二要采用全面搜索、迭代重新平差計(jì)算，很多次重復(fù)計(jì)算后，才能找到粗差。這些方法搜索、迭代的次數(shù)比較多，相對運(yùn)行的時間也比較長。最小二乘法原理存在均攤性的算法缺陷，直接對含有粗差的觀測值進(jìn)行最小二乘法計(jì)算，就會對所有觀測值造成影響，達(dá)不到粗差探測的效果。為了避免最小二乘法原理的先天缺陷，筆者提出了一種新思路：將條件方程作為觀測值中粗差探測的起點(diǎn)，把條件方程式閉合差（W）作為是否存在粗差的信號，不再做最小二乘法平差。本方法從思路、實(shí)現(xiàn)過程都相對簡單，操作性比較強(qiáng)。

1 條件平差理論下的閉合差協(xié)因數(shù)陣

按照條件平差原理的數(shù)學(xué)模型，必要觀測個數(shù)為t，觀測值個數(shù)為n，多余觀測個數(shù)為r＝n-t，列出r個條件方程式，條件平差的數(shù)學(xué)模型為：

運(yùn)用最小二乘法原理VΤPV＝min，解算得觀測值的改正數(shù)向量V。

由W＝-AL-A0計(jì)算出QWW協(xié)因數(shù)陣是：

式中：QWW為閉合差W 的協(xié)因數(shù)陣；Naa為方程系數(shù)陣；Q為觀測值的協(xié)因數(shù)；V為改正數(shù)向量；P為權(quán)陣；W 為閉合差向量；L為觀測值向量；A0為條件式的常數(shù)列向量。

根據(jù)偶然誤差理論，閉合差W可取偶然誤差的極限誤差，即2、3倍中誤差。假設(shè)W＝2倍的中誤差時，其W限差列向量為：

m0表示驗(yàn)后單位權(quán)中誤差。

在相同觀測條件下，在不考慮粗差、系統(tǒng)誤差的情況下，W限差列向量根據(jù)偶然誤差理論應(yīng)服從N（0，m02Qww），即正態(tài)分布，即對i都滿足

得：W可作為檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型（1）成立與否的一個可靠統(tǒng)計(jì)值[5]。

2 條件方程式探測多維粗差法

2.1 基本原理

式中：L1，L2為觀測值表示觀測真值；Δ1，Δ2表示真誤差。根據(jù)已知數(shù)據(jù)條件列出解算條件方程為：

式中：WⅡ?yàn)楹写植铋]合差向量，

根據(jù)平差模型，得出WⅡ中含有粗差的結(jié)論。即能夠推斷出，與涉及該閉合差的某些觀測值中含有粗差。而且，粗差也體現(xiàn)在所有含有該觀測值的條件方程的閉合差上。條件方程式探測多維粗差法就是根據(jù)這一總結(jié)提出來的。

2.2 實(shí)現(xiàn)過程

1）根據(jù)（1）式建立基礎(chǔ)條件方程式，保存其系數(shù)陣A1。

2）根據(jù)基礎(chǔ)條件方程式，建立完全條件方程式，保存其系數(shù)陣A2。建立完全條件方程式的基本要求為，保證觀測值組成的路線在圖形上是有組合意義的，即保證其路線的閉合性。

3）根據(jù)上一步的結(jié)果，搜尋閉合差

方程式，保存其系數(shù)陣A3。j為組成條件方程式的觀測值個數(shù)。

4）對A3進(jìn)行列變換，計(jì)算出Z的秩。含有粗差的觀測值數(shù)為b＝r-Z.根據(jù)A3的秩Z≥1，推斷出b≤r-1，得最多探測出r-1個粗差項(xiàng)。

5）計(jì)算A4，為A3的任意一組最大行線性無關(guān)組。

6）根據(jù)含有粗差的觀測值在A4中的所有列向量為零，確定含有粗差觀測值。

3 算例

1）有一水準(zhǔn)網(wǎng)（如圖1所示），高差觀測值個數(shù)為n＝6，必要觀測值個數(shù)為t＝3，多余觀測值個數(shù)為r＝3.分別隨機(jī)模擬兩組含有粗差的數(shù)據(jù)見表1所示。

表1 模擬觀測值的基本數(shù)據(jù)

采用本文方法步驟，首先由計(jì)算機(jī)自動生成觀測值的偶然誤差，再由

模擬出高差觀測值。對含有一個粗差，且該粗差放在第一條變化的觀測值上的情況進(jìn)行分析，說明其解算過程。

根據(jù)上述方法，首先，計(jì)算出A1和A2，再根據(jù)

計(jì)算出A3，求A3的秩Z＝2。解算粗差個數(shù)b＝r-Z＝1。最后得出計(jì)算探測結(jié)果為第一條邊含有粗差。本次算例的結(jié)果完全驗(yàn)證了筆者提出方法的可靠性。

將模擬粗差放在第一、第三邊的觀測值上，根據(jù)該方法的判斷標(biāo)準(zhǔn)，檢驗(yàn)其模擬結(jié)果也完全正確。

綜上所述，筆者所驗(yàn)證的粗差探測方法，其原理容易理解、計(jì)算高效、實(shí)現(xiàn)過程簡單，計(jì)算次數(shù)少、探測粗差效率高，避免了平差計(jì)算，也不需要進(jìn)行反復(fù)多次迭代、搜索計(jì)算，一次計(jì)算就能夠確定出觀測數(shù)據(jù)中的所有粗差項(xiàng)。

按上述模擬數(shù)據(jù)方法，僅含一個粗差在各邊上的情況，每種情況做了1000次模擬計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果如表2所示；含兩個粗差在各邊上的情況，每種情況做了1000次模擬計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果如表3（先驗(yàn)中誤差為±3mm）。

表2 僅含有一個粗差在各邊上的1000次模擬計(jì)算結(jié)果

表3 含有兩個粗差在各邊上的1000次模擬計(jì)算結(jié)果

比較表2的數(shù)據(jù)得出，本文提出的方法能直接有效地找出粗差所在的觀測值，而且成功率更高。

2）此算例來源于於宗儔教授的論文[6]，一水準(zhǔn)網(wǎng)，高差觀測數(shù)n＝19，必要觀測數(shù)t＝10，多余觀測數(shù)r＝n-t＝9，分別模擬1，2，3，4，5，6個粗差的情況（如圖2所示）。

圖2 模擬6個粗差觀測結(jié)果

按上述方法自動生成的隨機(jī)誤差加入到真值，模擬出觀測值，同時用LEGE法和數(shù)據(jù)探測法進(jìn)行相同模擬計(jì)算，其對比如表4所示。

表4 增加粗差個數(shù)和高差觀測數(shù)的數(shù)據(jù)模擬計(jì)算結(jié)果

對于LEGE法，0次搜索并沒有進(jìn)行，只進(jìn)行最小二乘平差計(jì)算。而以后的搜索都會增加，當(dāng)?shù)趉次時，共有個組合，并將組合的平差結(jié)果來修正原觀測值后再進(jìn)行下一次平差計(jì)算，然后一次一次迭代、搜索。此方法原理理解比較難，實(shí)現(xiàn)過程比較繁瑣，效率也不太高。對比來看，本文提出的方法簡便快捷，不必進(jìn)行搜索迭代計(jì)算，也不必進(jìn)行每次的平差計(jì)算，大大簡化了粗差探測的步驟，而且定位效率也較高。

4 可靠性試驗(yàn)

由算例1，僅對含一個粗差的情況做如下試驗(yàn)。把一個粗差放在同一個位置上，用不同大小的粗差模擬出觀測值。同樣，每改變一次粗差大小，做1000次模擬測試計(jì)算，得到如表5所示的結(jié)果（先驗(yàn)中誤差為±3mm）。

表5 用條件方程式直接探測多維粗差的方法探測最小粗差的能力

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果顯示，隨著粗差的增大，3種方法探測粗差的能力在增加，粗差探測的成功率也在提高；在探測確定接近極限誤差附近的粗差值上，本文所提出的方法的探測能力更強(qiáng)。

5 結(jié)論和建議

1）因條件方程式的閉合差能真實(shí)反映出觀測值中粗差的存在，所以用條件方程式直接探測多維粗差的方法是可行的。從基本的條件方程式計(jì)算閉合差，并運(yùn)用其閉合差作為粗差的判斷依據(jù)，該方法的原理簡單易懂、步驟簡便易實(shí)現(xiàn)、計(jì)算效率高、探測的準(zhǔn)確性高、對粗差大小的靈敏度高。運(yùn)用該方法進(jìn)行計(jì)算，避免了反復(fù)進(jìn)行平差和權(quán)陣計(jì)算，避免了反復(fù)多次迭代、搜索計(jì)算，完全可以一次計(jì)算，找出所有粗差項(xiàng)。

2）表2、表3說明了本方法能夠準(zhǔn)確可靠地探測粗差。和其他兩方法比較說明，在相同條件下，本文提出的方法探測粗差的成功率更高。由表4證明了當(dāng)觀測邊數(shù)增加時，也不會影響探測粗差的成功率，但隨著粗差個數(shù)的增加，成功率在降低；從表5中得出，隨著粗差值的增大，對這3種方法來說，成功找出粗差的幾率就更大，也說明了該方法的探測接近極限誤差附近的粗差的能力更強(qiáng)，其對粗差大小的靈敏度更高。

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