分?jǐn)?shù)階半正邊值問(wèn)題一個(gè)正解的存在性定理

王麗穎，許曉婕

（1.白城師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 白城137000；2.中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院，山東 青島266555）

考慮分?jǐn)?shù)階半正邊值問(wèn)題：

分?jǐn)?shù)階微分方程在數(shù)學(xué)、力學(xué)、分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)控制器、各種電子回路以及回歸模型等領(lǐng)域，特別是與分形維數(shù)有關(guān)的物理與工程方面應(yīng)用廣泛［1－8］.文獻(xiàn)［9］應(yīng)用Leray－Schauder非線性抉擇、錐不動(dòng)點(diǎn)定理和混合單調(diào)算子理論研究了奇異和非奇異邊值問(wèn)題多重正解的存在性，并給出了奇異問(wèn)題正解的唯一性，考慮了非線性項(xiàng)正的結(jié)果，即f：（0，1）×［0，＋∞）→［0，＋∞）.本文考慮“半正”問(wèn)題，即存在M≥0，使得f：（0，1）×［0，＋∞）→［－M，＋∞）.

下面給出分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的格林函數(shù)及性質(zhì).

引理1［9］給定h∈C［0，1］和3＜α≤4，方程

稱為邊值問(wèn)題（2）－（3）的格林函數(shù).

引理2［9］由式（4）定義的格林函數(shù)G（t，s）滿足如下條件：

其中M0＝max｛α－1，（α－2）2｝.

本文主要利用Hammerstein積分方程和Krasnosel’skii錐不動(dòng)點(diǎn)定理［10］.

引理3［10］令X是一個(gè)Banach空間，且P?X是X中的一個(gè)錐.假設(shè)Ω1，Ω2是X中的開子集，滿足0∈Ω1??Ω2，且令S：P→P是全連續(xù)算子，使得下列兩個(gè)條件之一成立：

本文主要結(jié)果如下.

定理1 假設(shè)下列條件成立：

（H1）f：（0，1）×［0，＋∞）→（－∞，＋∞）是連續(xù)的；

（H3）存在非負(fù)函數(shù)h∈C（0，1）∩L1［0，1］，使得f（t，u）＋h（t）≥0，（t，u）∈（0，1）×［0，＋∞）；

其中

事實(shí)上，如果0≤t≤s≤1，則

2）證明T：K→K是全連續(xù)的.

由假設(shè)（H1）～（H3），Tu∈C［0，1］.如果un∈K（n＝1，2，…），使得‖un－u‖→0，則當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，

由Lebesgue控制收斂定理可得

因此，T：K→C［0，1］是連續(xù)的.

令V?K 是有界集，且r2＝sup｛‖u‖：u∈V｝＋‖ω0‖＋1.如果u∈V，則max｛u（t）－ω0（t），0｝≤r2，0≤t≤1.由假設(shè)（H2），存在非負(fù)函數(shù)jr2∈L1［0，1］，使得f＊（t，（u（t）－ω0（t）））≤jr2（t），0＜t＜1.因此，

從而T（V）?C［0，1］是一致有界的.

由1），對(duì)任意的u∈V，

表明T（V）?C［0，1］是等度連續(xù)的.從而由 Arzela－Ascoli定理知，T：K→C［0，1］是全連續(xù)的.

另一方面，由引理2知，

因此T（K）?K.

因?yàn)椴粍?dòng)點(diǎn)等價(jià)于邊值問(wèn)題

如果u∈?Ω（r3），則0≤max｛u（t）－ω0（t），0｝≤r3，0≤t≤1.因此f＊（t，（u（t）－ω0（t）））＋h（t）≤Φ（t），0＜t＜1.從而有

另一方面，當(dāng)α≤t≤β時(shí)，

由Fatou引理可得

因此，存在一個(gè)正數(shù)r4＞r3，使得

如果u∈?Ω（r4），則‖u‖＝r4，且

因此，

［1］Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations［M］.Amsterdam：Elsevier，2006.

［2］Oldham K B，Spanier J.The Fractional Calculus［M］.New York：Academic Press，1974.

［3］Ross B.Fractional Calculus and Its Applications［M］.Lecture Notes in Mathematics.Vol.475.Berlin：Springer－Verlag，1975.

［4］Nonnenmacher T F，Metzler R.On the Riemann－Liouvile Fractional Calculus and Some Recent Applications［J］.Fractals，1995（3）：557－566.

［5］Tatom F B.The Relationship between Fractional Calculus and Fractals［J］.Fractals，1995，3（1）：217－229.

［6］Podlubny I.Fractional Differential Equations ［M］.Mathematics in Science and Engineering.Vol.198.New York：Academic Press，1999.

［7］Samko S G，Kilbas A A，Marichev O I.Fractional Integral and Derivatives：Theorey and Applications［M］.Switzerland：Gordon and Breach Science Publishers，1993.

［8］Lakshmikantham V，Leela S，Vasundhar J，de.Theory of Fractional Dynamic Systems ［M］.Cambridge：Cambridge Academic Publishers，2009.

［9］XU Xiaojie，JIANG Daqing，YUAN Chengjun.Multiple Positive Solutions for Boundary Value Problem of a Nonlinear Fractional Differential Equation［J］.Nonlinear Analysis：Theory，Methods and Applications，2009，71：4676－4688.

［10］YAO Qingliu.An Existence Theorem of a Positive Solution to a Semipositone Sturm－Liouville Boundary Value Problem ［J］.Applied Mathematics Letters，2010，23（12）：1401－1406.