一維水驅(qū)油變壓力驅(qū)替過程推導(dǎo)

劉海龍，由春梅，姜雪巖，王曙光

（中國石油大慶油田有限責(zé)任公司勘探開發(fā)研究院，黑龍江大慶 163712）

對于水驅(qū)油藏，Buckley－Leverett方程給出了累積注入量與含水飽和度分布的關(guān)系，通過這個關(guān)系，在某一時刻，在已知相滲曲線、油層孔滲數(shù)據(jù)、注采井距、總注入量、注采壓差的情況下，能夠求得含水飽和度分布、水驅(qū)前緣位置（采出端未見水時）、注入速度、采出端含水率等一系列動態(tài)指標［1－5］。以上求解是針對某一瞬時，而研究驅(qū)替過程就需要研究驅(qū)替狀態(tài)隨時間的變化情況，就需要引入時間這個變量。以往的解決方法都是設(shè)定注入速度不變，這樣就把時間與總注入量通過恒定的注入速度直接聯(lián)系起來，從而把時間引入到驅(qū)替理論體系中［6］。

如果要設(shè)定壓力為已知條件去求解驅(qū)替過程，由于注入速度不再是恒定不變，而且注入速度隨壓力變化沒有簡單明了的直接關(guān)系［7－12］，就無法利用累積注入量、注入速度、時間之間的關(guān)系把時間引入，針對這一問題，作者在另一篇文章中推導(dǎo)了一維水驅(qū)油恒壓驅(qū)替過程［13］，給出了在恒定壓力情況下水驅(qū)油過程中各項動態(tài)數(shù)據(jù)隨時間變化的情況。本文以其中的中間結(jié)果為基礎(chǔ)，進一步推導(dǎo)了變壓力情況下的水驅(qū)油驅(qū)替過程。

1 采出端見水之前的驅(qū)替

假設(shè)條件：一維油層，一注一采；不考慮巖石、流體的壓縮性、毛管力的作用；截面積為1 m2。通常，壓力的變化可以認為是隨時間不斷變化，這種模式是相對比較多見，因此本文以壓力隨時間變化為設(shè)定條件，某時刻t，注入端壓力pw（t），采出端壓力po（t），注采壓差p（t）＝po（t）－pw（t）；開始注水為初始0時刻；注入端為x＝0位置；注采兩端距離為L，水黏度為μw，油黏度為μo，束縛水飽和度為Swc，殘余油飽和度為Sor；掌握比較規(guī)范的相滲數(shù)據(jù)并根據(jù)相滲曲線計算的分流率f（Sw）、分流率導(dǎo)數(shù)f′（Sw），驅(qū)替過程中t時刻含水飽和度的分布見圖1，相對滲透率、分流率、分流率導(dǎo)數(shù)與含水飽和度的關(guān)系曲線見圖2。

圖1 采出端見水前含水飽和度分布

某一時刻t，由文獻［13］中采出端見水前的積分式可知：

式中：K——砂巖滲透率，10－3μm2；φ——孔 隙度，%；系數(shù)α參見文獻［13］；Swf——水驅(qū)前緣含水飽和度，%；Q——累積注入量，m3。

整理（1）式，并積分求得某時刻tn的總注入量：

圖2 相對滲透率、分流率、分流率導(dǎo)數(shù)關(guān)系曲線

定義Ar是壓力曲線與表示時間的x軸在坐標上圍出的面積，可以稱為壓時面積，即Ar＝。則（2）式可以整理為：

考慮條件t＝0時，Q＝0，則式（3）的解為

式（4）給出了壓時面積、總注入量之間的函數(shù)關(guān)系，進一步根據(jù)Buckley－Leverett方程可求得給定時刻的注入速度、飽和度分布、見水時間等相關(guān)數(shù)據(jù)。并由此可見采出端見水前的驅(qū)替進程是由壓時面積決定的。

（5）式給出了一維水驅(qū)油采出端見水前壓時面積、位置、含水飽和度之間的關(guān)系。水驅(qū)前緣至采出端的含水飽和度為束縛水飽和度。

2 采出端見水之后的驅(qū)替

隨著水驅(qū)油過程的不斷進行，水驅(qū)前緣不斷向前推進，設(shè)采出端見水時刻為t0，見水后含水飽和度的分布見圖3。

圖3 見水后含水飽和度的分布

某一時刻t，由文獻［13］中采出端見水后的微分式可知：

式中：Swe——出口端含水飽和度；φ1函數(shù)參見文獻［13］。

t0時刻出口端含水飽和度為水驅(qū)前緣含水飽和度Swf，見水后某時刻tn1出口端的含水飽和度為Swen，整理（6）式并積分：

式中：Sw為對應(yīng)于某一位置 的含水飽和度。

（8）式即為一維水驅(qū)油采出端見水后壓時面積、位置、含水飽和度之間關(guān)系的計算公式?？梢姴沙龆艘娝蟮尿?qū)替進程是由壓時面積決定的。

3 舉例計算

選取大慶油田滲透率為0.1μm2標準的相對滲透率曲線［14］，注入端、采出端壓力差與時間的關(guān)系：P（t）＝6＋0.001t（壓力單位 MPa，時間單位千秒），油層滲透率0.1μm2，兩端距離250 m，截面積1 m2，孔隙度0.267。以上述條件計算驅(qū)替過程，求解日注入量并與數(shù)值模擬結(jié)果對比，給出第100天和第400天的含水飽和度分布。

3.1 日注入量求解過程

（1）由 Buckley－Leverett方 程 L ＝f′（Swf）Qw／φ，計算見水時刻的總注入量Qw。

（2）計算每天的壓時面積，并由（4）式計算采出端見水前累積注入量，計算結(jié)果選取小于Qw的數(shù)值。

（3）當由（4）式計算的累積注入量第一個大于Qw的時間點，使用見水后的求解方法：計算見水后每天的壓時面積，并由（7）式計算每天的φ2函數(shù)值。

（4）使用作圖法，根據(jù)φ2函數(shù)值求得f′（Swen），并由（8）式計算見水后每天的累積注入量。（φ2函數(shù)的內(nèi)容參見文獻［13］）

（5）根據(jù)見水前、見水后相鄰兩天的累積注入量的差值，得到每天的日注入量。

（6）使用數(shù)值模擬方法，建立一維模型，按照給出的驅(qū)替條件模擬計算，并對比模擬結(jié)果和理論計算結(jié)果，二者的對比曲線如圖4所示。

3.2 含水飽和度分布求解過程

（1）（6）式Lf取注采井距250 m，求得見水時刻壓時面積，根據(jù)壓力與時間給定的關(guān)系，求得見水時間為156天，可判斷第100天未見水，并計算第100天的壓時面積。

（2）100天的壓時面積代入（6）式計算第100天水驅(qū)前緣位置為122.95 m

（3）第100天的壓時面積代入（5）式計算注入端至水驅(qū)前緣的含水飽和度分布，即每一個位置x確定對應(yīng)的含水飽和度Sw，水驅(qū)前緣至采出端為束縛水飽和度。

（4）第400天大于見水時間156天，采出端見水，計算第400天的壓時面積。

（5）第100天的壓時面積代入（9）式求得φ2函數(shù)，使用作圖法，根據(jù)φ2函數(shù)值求得函數(shù)自變量值，從而得到位置x與含水飽和度Sw的關(guān)系。

計算結(jié)果如圖5、圖6所示

圖5 第100天含水飽和度分布

圖6 第400天含水飽和度分布

4 結(jié)論與認識

（1）可以通過壓時面積把時間、隨時間變化的壓力引入到驅(qū)替理論體系中，建立一維水驅(qū)油變壓力驅(qū)替過程的求解方法，進一步完善一維水驅(qū)油理論體系。

（2）壓時面積決定了一維水驅(qū)油變壓力驅(qū)替的進程。

（3）一維水驅(qū)油變壓力驅(qū)替過程中，驅(qū)替動態(tài)與儲層孔隙度、滲透率、注采井距存在確定的數(shù)學(xué)關(guān)系，這一結(jié)論可用于研究油層靜態(tài)參數(shù)對開發(fā)動態(tài)的影響。

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