一階超前中立微分方程解的存在性

簡林祥

（福建農(nóng)林大學 計算機與信息學院，福建 福州 350002）

從1836年Sturm研究熱傳導方程提出二階線性常微分方程

的振動問題以來，常微分方程的振動理論已經(jīng)有很久的歷史了，Sturm的比較定理、Sturm零點分離定理已經(jīng)被寫入大學教科書。Swanson[1]總結(jié)了線性常微分方程振動理論的經(jīng)典結(jié)果，見文獻[2]。

對于滯后的一階中立型微分方程

其中 P(t)≡1,Q(t)∈C（[t0,∞),R+,τ,δ∈(0,∞)。

方程已有的結(jié)果是[3]:方程(1)存在有界正解的充分必要條件是

但是對于超前一階中立微分方程的情況是否有相似的結(jié)果是未知的。

本文研究了超前一階中立微分方程：

其中 P(t)≡1,Q(t)∈C（[t0,∞),R+,τ,δ∈(0,∞) 。

需要指出，在必要性的證明過程中，本文加入了條件 0＜α≤x（t）≤β，其中 x（t）為方程(2)的有界正解。

1 結(jié)果及證明

引理1方程(2)存在有界正解的充分必要條件是

現(xiàn)定義函數(shù)

顯然，H（t）是定義在R上的非負連續(xù)函數(shù)。再引入函數(shù)

可得關(guān)系式 y(t)=y(t+τ)+H（t）,t≥T。

設(shè) t∈[T-(n+1)τ,T-nτ]，由 H（t）的性質(zhì)和式(4)，

從而0≤y(t)≤1。

定義函數(shù)集合X={x∶x∈C（[T,∞),R),0≤x（t）≤y(t),t≥T}在通常偏序“≤”的意義下，(X,≤)構(gòu)成一個偏序集。不難看出對于任意集合A?X，存在infA和supA?，F(xiàn)在在X上定義映象S如下：

顯然,當t≥T+m時，

由Knaster不動點定理，存x∈X在,使得Sx=x。這個x即方程(2)定義在上的一個連續(xù)有界正解。

充分性得證。

必要性：

假設(shè)方程(2)存在有界正解 x（t）。即 0＜α≤x（t）≤β代入方程(2)得

因而

上述各式累加，得

引理 2 設(shè) Q（t）∈C（[t0,∞),R+),τ>0，

那么(1)和(2)是等價的。

證明：(1)?(2)：

因為

所以

(2)?(1)：

因為

所以

從而

定理 方程(2)存在有界正解的充分必要條件是

證明：

由引理1，方程(2)存在有界正解的充分必要條件是

再由引理2知

等價，所以方程(2)存在有界正解的充分必要條件是

2 意義

討論了超前一階中立微分方程： [x(t)-P(t)x(t-τ）]'+Q(t)x(t-δ）=0，t≥t0其中 P(t)≡1,Q(t)∈C（[t0,∞),R+,τ,δ∈(0,∞)。

得到該方程存在有界正解的充分必要條件是

這部分補充了文獻[3]提出的相關(guān)問題的結(jié)論。

[1]SWANSON C A.Comparison and oscillation theory of linear differential equations[M].New York:Academic Press,1968：28-196.

[2]KRCICH K.Oscillation theory[M].New York:Springer：1973,1-98.

[3]張炳根,庾建設(shè).關(guān)于中立型微分方程正解的存在性[J].中國科學：A輯，1992,8:785-790.