中西未合璧異曲仍同工

鄧振宇

求復(fù)雜幾何體的體積問題一直是數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)如果所求幾何體是柱、錐、臺(tái)、球中的一種或與之相關(guān)的組合在一起的幾何體，我們可利用公式解決如果公式解決不了時(shí)，就需要另辟蹊徑，這里從理論上介紹兩條途徑：中國的祖暅原理、西方的微積分

一、什么是祖暅原理

南北朝時(shí)代南朝的數(shù)學(xué)家祖暅求球體積時(shí)，使用一個(gè)原理：“冪勢既同，則積不容異”“冪”是截面積，“勢”是立體的高意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等更詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)立體的體積相等上述原理在中國被稱為祖暅原理

二、什么是微積分

微積分是研究微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱早期微積分主要用與天文、力學(xué)、幾何學(xué)中計(jì)算問題，后來人們也將微積分稱為分析學(xué)，或稱無窮小分析，專指運(yùn)用無窮小或無窮大等極限過程分析處理計(jì)算問題的學(xué)問極限是整個(gè)微積分學(xué)的基礎(chǔ)微分學(xué)包括求導(dǎo)和微分的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論積分學(xué)包括不定積分和定積分的概念和應(yīng)用，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法

微積分主要解決以下四類問題（）運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問題（）求曲線的切線問題（3）求長度、面積、體積、與重心問題等（4）求最大值和最小值問題

由于本文要解決的是求復(fù)雜幾何體的體積問題，用到微積分中的定積分，所以下面重點(diǎn)介紹定積分

定積分的定義式為

∫baf（x）dx=lin→∞ni=0b-anf（ti）

其中，ti為分點(diǎn)直觀地說，對于一個(gè)給定的正實(shí)值函

數(shù)f（x），f（x）在一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間[a，b]上的定積分∫baf（x）dx，可以理解為在坐標(biāo)平面上，由曲線（x， f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值（一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值）如果被積函數(shù)表示面積，則定積分∫baf（x）dx表示一個(gè)封閉幾何體的體積微積分中定積分的計(jì)算用到大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是：如果F′（x）=f（x），那么∫baf（x）dx=F（b）-F（a）牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個(gè)定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差

三、分別用祖暅原理、微積分求解，異曲同工

下面以03年上海高考卷中求復(fù)雜幾何體的體積為例，感受一下中西方的璀璨文明

求復(fù)雜幾何體的體積問題一直是數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)如果所求幾何體是柱、錐、臺(tái)、球中的一種或與之相關(guān)的組合在一起的幾何體，我們可利用公式解決如果公式解決不了時(shí)，就需要另辟蹊徑，這里從理論上介紹兩條途徑：中國的祖暅原理、西方的微積分

一、什么是祖暅原理

南北朝時(shí)代南朝的數(shù)學(xué)家祖暅求球體積時(shí)，使用一個(gè)原理：“冪勢既同，則積不容異”“冪”是截面積，“勢”是立體的高意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等更詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)立體的體積相等上述原理在中國被稱為祖暅原理

二、什么是微積分

微積分是研究微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱早期微積分主要用與天文、力學(xué)、幾何學(xué)中計(jì)算問題，后來人們也將微積分稱為分析學(xué)，或稱無窮小分析，專指運(yùn)用無窮小或無窮大等極限過程分析處理計(jì)算問題的學(xué)問極限是整個(gè)微積分學(xué)的基礎(chǔ)微分學(xué)包括求導(dǎo)和微分的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論積分學(xué)包括不定積分和定積分的概念和應(yīng)用，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法

微積分主要解決以下四類問題（）運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問題（）求曲線的切線問題（3）求長度、面積、體積、與重心問題等（4）求最大值和最小值問題

由于本文要解決的是求復(fù)雜幾何體的體積問題，用到微積分中的定積分，所以下面重點(diǎn)介紹定積分

定積分的定義式為

∫baf（x）dx=lin→∞ni=0b-anf（ti）

其中，ti為分點(diǎn)直觀地說，對于一個(gè)給定的正實(shí)值函

數(shù)f（x），f（x）在一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間[a，b]上的定積分∫baf（x）dx，可以理解為在坐標(biāo)平面上，由曲線（x， f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值（一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值）如果被積函數(shù)表示面積，則定積分∫baf（x）dx表示一個(gè)封閉幾何體的體積微積分中定積分的計(jì)算用到大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是：如果F′（x）=f（x），那么∫baf（x）dx=F（b）-F（a）牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個(gè)定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差

三、分別用祖暅原理、微積分求解，異曲同工

下面以03年上海高考卷中求復(fù)雜幾何體的體積為例，感受一下中西方的璀璨文明

求復(fù)雜幾何體的體積問題一直是數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)如果所求幾何體是柱、錐、臺(tái)、球中的一種或與之相關(guān)的組合在一起的幾何體，我們可利用公式解決如果公式解決不了時(shí)，就需要另辟蹊徑，這里從理論上介紹兩條途徑：中國的祖暅原理、西方的微積分

一、什么是祖暅原理

南北朝時(shí)代南朝的數(shù)學(xué)家祖暅求球體積時(shí)，使用一個(gè)原理：“冪勢既同，則積不容異”“冪”是截面積，“勢”是立體的高意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等更詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)立體的體積相等上述原理在中國被稱為祖暅原理

二、什么是微積分

微積分是研究微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱早期微積分主要用與天文、力學(xué)、幾何學(xué)中計(jì)算問題，后來人們也將微積分稱為分析學(xué)，或稱無窮小分析，專指運(yùn)用無窮小或無窮大等極限過程分析處理計(jì)算問題的學(xué)問極限是整個(gè)微積分學(xué)的基礎(chǔ)微分學(xué)包括求導(dǎo)和微分的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論積分學(xué)包括不定積分和定積分的概念和應(yīng)用，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法

微積分主要解決以下四類問題（）運(yùn)動(dòng)中速度與距離的互求問題（）求曲線的切線問題（3）求長度、面積、體積、與重心問題等（4）求最大值和最小值問題

由于本文要解決的是求復(fù)雜幾何體的體積問題，用到微積分中的定積分，所以下面重點(diǎn)介紹定積分

定積分的定義式為

∫baf（x）dx=lin→∞ni=0b-anf（ti）

其中，ti為分點(diǎn)直觀地說，對于一個(gè)給定的正實(shí)值函

數(shù)f（x），f（x）在一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間[a，b]上的定積分∫baf（x）dx，可以理解為在坐標(biāo)平面上，由曲線（x， f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的曲邊梯形的面積值（一個(gè)確定的實(shí)數(shù)值）如果被積函數(shù)表示面積，則定積分∫baf（x）dx表示一個(gè)封閉幾何體的體積微積分中定積分的計(jì)算用到大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內(nèi)容是：如果F′（x）=f（x），那么∫baf（x）dx=F（b）-F（a）牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個(gè)定積分式的值，就是上限在原函數(shù)的值與下限在原函數(shù)的值的差

三、分別用祖暅原理、微積分求解，異曲同工

下面以03年上海高考卷中求復(fù)雜幾何體的體積為例，感受一下中西方的璀璨文明