三角形中的“新定義線”

何君青

近些年來，全國各省市中考試卷中出現(xiàn)了一些創(chuàng)新型閱讀題型，這些試題具有立意的鮮明性、背景的深刻性、情境的新穎性、設(shè)問的靈活性等特點(diǎn).此類題讓學(xué)生在考場上學(xué)習(xí)一個新概念、新名詞，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，直接利用新知識解決相關(guān)問題，反映了學(xué)生對已有知識的掌握程度及應(yīng)用能力.解決此類問題，不僅需要平時的積累，還要求學(xué)生具備較高的思維能力、探究問題能力和合情推理的能力，同時這類題又揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)的思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，折射出學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)展，是“用數(shù)學(xué)”的直接體現(xiàn)，故成為中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題是必然趨勢.

本文以2014年寧波市一道中考題入手，通過筆者將題目一系列的推廣變化，讓讀者感受三角形中“新定義線”的魅力.1 三角形中的“三分線”

（2014年寧波）課本的作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法.

我們有多種剪法，圖1是其中的一種方法：

定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.

（1）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）

（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=x°，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值；

（3）如圖3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長.

分析 本題考查了學(xué)生學(xué)習(xí)理解的能力及動手創(chuàng)新的能力，知識方面重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角、外角間的關(guān)系及等腰三角形的相關(guān)知識，是一道鍛煉學(xué)生能力的好題目.題目第一問中提到45°的角，很自然想到等腰直角三角形，過底角一頂點(diǎn)作對邊的高，發(fā)現(xiàn)形成一個等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜邊的中線可形成兩個等腰三角形，則易得一種情況，第二種情形可以考慮例子給出的方法，以一底角作為新等腰三角形的底角，另一底角被分為45°和225°，再以225°分別作為等腰三角形的底角或頂角，易得其中作為底角時所得的三個三角形恰都為等腰三角形，即又一種三分線作法；第二問可先作出30°的角，而后確定D點(diǎn)位置，但要考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊，兼顧A、E、C在同一直線上，易得2種三角形ABC，從而得x的值；第三問中因?yàn)椤螩=2∠B，作∠C的角平分線，可得第一個等腰三角形.而后尋找是否存在三分線，根據(jù)外角等于內(nèi)角之和及腰相等等情況列出等量關(guān)系，求解方程得到各線的長.endprint

近些年來，全國各省市中考試卷中出現(xiàn)了一些創(chuàng)新型閱讀題型，這些試題具有立意的鮮明性、背景的深刻性、情境的新穎性、設(shè)問的靈活性等特點(diǎn).此類題讓學(xué)生在考場上學(xué)習(xí)一個新概念、新名詞，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，直接利用新知識解決相關(guān)問題，反映了學(xué)生對已有知識的掌握程度及應(yīng)用能力.解決此類問題，不僅需要平時的積累，還要求學(xué)生具備較高的思維能力、探究問題能力和合情推理的能力，同時這類題又揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)的思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，折射出學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)展，是“用數(shù)學(xué)”的直接體現(xiàn)，故成為中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題是必然趨勢.

本文以2014年寧波市一道中考題入手，通過筆者將題目一系列的推廣變化，讓讀者感受三角形中“新定義線”的魅力.1 三角形中的“三分線”

（2014年寧波）課本的作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法.

我們有多種剪法，圖1是其中的一種方法：

定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.

（1）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）

（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=x°，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值；

（3）如圖3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長.

分析 本題考查了學(xué)生學(xué)習(xí)理解的能力及動手創(chuàng)新的能力，知識方面重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角、外角間的關(guān)系及等腰三角形的相關(guān)知識，是一道鍛煉學(xué)生能力的好題目.題目第一問中提到45°的角，很自然想到等腰直角三角形，過底角一頂點(diǎn)作對邊的高，發(fā)現(xiàn)形成一個等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜邊的中線可形成兩個等腰三角形，則易得一種情況，第二種情形可以考慮例子給出的方法，以一底角作為新等腰三角形的底角，另一底角被分為45°和225°，再以225°分別作為等腰三角形的底角或頂角，易得其中作為底角時所得的三個三角形恰都為等腰三角形，即又一種三分線作法；第二問可先作出30°的角，而后確定D點(diǎn)位置，但要考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊，兼顧A、E、C在同一直線上，易得2種三角形ABC，從而得x的值；第三問中因?yàn)椤螩=2∠B，作∠C的角平分線，可得第一個等腰三角形.而后尋找是否存在三分線，根據(jù)外角等于內(nèi)角之和及腰相等等情況列出等量關(guān)系，求解方程得到各線的長.endprint

近些年來，全國各省市中考試卷中出現(xiàn)了一些創(chuàng)新型閱讀題型，這些試題具有立意的鮮明性、背景的深刻性、情境的新穎性、設(shè)問的靈活性等特點(diǎn).此類題讓學(xué)生在考場上學(xué)習(xí)一個新概念、新名詞，現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，直接利用新知識解決相關(guān)問題，反映了學(xué)生對已有知識的掌握程度及應(yīng)用能力.解決此類問題，不僅需要平時的積累，還要求學(xué)生具備較高的思維能力、探究問題能力和合情推理的能力，同時這類題又揭示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)的思想，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，折射出學(xué)生數(shù)學(xué)的發(fā)展，是“用數(shù)學(xué)”的直接體現(xiàn)，故成為中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題是必然趨勢.

本文以2014年寧波市一道中考題入手，通過筆者將題目一系列的推廣變化，讓讀者感受三角形中“新定義線”的魅力.1 三角形中的“三分線”

（2014年寧波）課本的作業(yè)題中有這樣一道題：把一張頂角為36°的等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法.

我們有多種剪法，圖1是其中的一種方法：

定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線.

（1）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）

（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=x°，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值；

（3）如圖3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長.

分析 本題考查了學(xué)生學(xué)習(xí)理解的能力及動手創(chuàng)新的能力，知識方面重點(diǎn)考查三角形內(nèi)角、外角間的關(guān)系及等腰三角形的相關(guān)知識，是一道鍛煉學(xué)生能力的好題目.題目第一問中提到45°的角，很自然想到等腰直角三角形，過底角一頂點(diǎn)作對邊的高，發(fā)現(xiàn)形成一個等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜邊的中線可形成兩個等腰三角形，則易得一種情況，第二種情形可以考慮例子給出的方法，以一底角作為新等腰三角形的底角，另一底角被分為45°和225°，再以225°分別作為等腰三角形的底角或頂角，易得其中作為底角時所得的三個三角形恰都為等腰三角形，即又一種三分線作法；第二問可先作出30°的角，而后確定D點(diǎn)位置，但要考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊，兼顧A、E、C在同一直線上，易得2種三角形ABC，從而得x的值；第三問中因?yàn)椤螩=2∠B，作∠C的角平分線，可得第一個等腰三角形.而后尋找是否存在三分線，根據(jù)外角等于內(nèi)角之和及腰相等等情況列出等量關(guān)系，求解方程得到各線的長.endprint