譜負(fù)MAP波動(dòng)理論的一個(gè)注記

張超權(quán)　唐勝達(dá)　秦永松

摘要譜負(fù)MAP是應(yīng)用概率論領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一.利用Asmussen-kella鞅推廣了譜負(fù)MAP（X，J）的波動(dòng)理論，給出譜負(fù)MAP在與之獨(dú)立且服從Erlang分布的隨機(jī)時(shí)刻點(diǎn)上水平與極值的聯(lián)合變換所滿(mǎn)足的等式，進(jìn)而由Erlangization方法，給出譜負(fù)MAP（X，J）的水平與極值的聯(lián)合變換的瞬時(shí)趨近算法.

關(guān)鍵詞譜負(fù)MAP；波動(dòng)理論；Erlangization方法；趨近計(jì)算式

中圖分類(lèi)號(hào)O211.5文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)1000-2537（2014）02-0078-06

Levy過(guò)程是應(yīng)用概率領(lǐng)域內(nèi)的重要隨機(jī)過(guò)程之一，但是Levy過(guò)程的平穩(wěn)性使其在實(shí)際應(yīng)用中受到一定的局限性.在實(shí)際建模中，過(guò)程會(huì)因長(zhǎng)時(shí)間的演變、外界隨機(jī)因素的干擾等原因而不再具有平穩(wěn)性，如價(jià)格的季節(jié)性，行為的模式化等.由此，可將Levy過(guò)程推廣為機(jī)制轉(zhuǎn)換模型（regime-switching model）：連續(xù)時(shí)間的Markov加過(guò)程（Markov additive process），簡(jiǎn)稱(chēng)MAP，這是Levy過(guò)程的一個(gè)自然推廣，MAP已成為隨機(jī)復(fù)雜系統(tǒng)的重要建模工具之一，它已被廣泛應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)通訊、存儲(chǔ)論、交通管理、風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程、金融工程等領(lǐng)域[1-2].

許多學(xué)者對(duì)MAP的相關(guān)性質(zhì)作了深入的研究，Cinlar，Ney，Asmussen [3-5]給出了MAP的基本結(jié)構(gòu)及性質(zhì)，Ivanovs[6]給出了MAP的指數(shù)矩陣特征值的性質(zhì)，DAuria等[7]給出了MAP首達(dá)時(shí)過(guò)程的轉(zhuǎn)移率矩陣的結(jié)構(gòu)，并將其應(yīng)用于單邊反射MAP及雙邊MMBM[8]，Breuer[9]給出了首達(dá)時(shí)過(guò)程的轉(zhuǎn)移率矩陣的迭代計(jì)算方法，Ivanovs[10]給出了MAP的scale 矩陣，Kypianou等[11]對(duì)MAP波動(dòng)理論進(jìn)行了研究.

Avram[12]在研究風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程中得出破產(chǎn)時(shí)刻的Laplace變換等價(jià)于指數(shù)隨機(jī)時(shí)間內(nèi)的破產(chǎn)概率，Asmussen等[13]采用fluid embedding方法將這一結(jié)果推廣并得出服從Erlang（n，q）分布的隨機(jī)時(shí)刻內(nèi)的破產(chǎn)概率，當(dāng)給定分布期望不變時(shí)，隨著分布的階數(shù)趨于無(wú)窮，這一隨機(jī)時(shí)刻趨于它的期望定值，利用這一方法，Asmussen等得到了在有限時(shí)刻內(nèi)破產(chǎn)的趨近算法，且這一算法具有良好的穩(wěn)定性且收斂速度快，這一方法稱(chēng)為Erlangization方法；Stanford[14]將這一方法推廣為PH分布情形；Ramaswami等[15]將這一方法應(yīng)用于隨機(jī)流體理論，用于各種有限時(shí)刻內(nèi)的各種首達(dá)時(shí)的研究，Woolford等[16]將這一方法用于分析山火的控制研究.

本文基于上述研究，主要給出譜負(fù)MAP（X，J）的水平與極值的聯(lián)合變換的瞬時(shí)趨近算法.這一結(jié)果在實(shí)際數(shù)值計(jì)算中具有十分重要的意義，本文利用Asmussen-kella鞅，推廣了MAP的波動(dòng)理論，將MAP在指數(shù)時(shí)刻的相關(guān)量推廣至Erlang分布的隨機(jī)時(shí)刻上，繼而由Erlangization方法，給定任意時(shí)刻時(shí)的MAP相應(yīng)量的趨近計(jì)算式.從而解決了譜負(fù)MAP（X，J）瞬時(shí)波動(dòng)理論的瞬時(shí)時(shí)間點(diǎn)上的計(jì)算問(wèn)題.

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（編輯沈小玲）

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