三視圖問題要防止消極的“潛在假設(shè)”

吳燃+羅增儒

“潛在假設(shè)”是指主體對客體一種自然認(rèn)可的心理狀態(tài).數(shù)學(xué)解題中的“潛在假設(shè)”，是指隱藏在解題主體心中的一種命題（參見文[1]），這種命題不是顯露地記載在課本中的概念或定理，但在解題者的潛意識里卻自動相信它的正確性，這種相信，不是來源于客觀事實(shí)或邏輯論證，而常常是來源于粗糙的直觀、部分的實(shí)例、尚未找到反例或單純的想當(dāng)然等.當(dāng)然，有的“潛在假設(shè)”是積極的，可以運(yùn)用到教材編寫、或解題思路的探求之中；而有的“潛在假設(shè)”是消極的，它會造成兩個明顯的后果：把一個假命題證成一個真命題（以假為真），或?qū)σ粋€真命題的論證出現(xiàn)無效推理（虛假論據(jù)）.

在文[2]中，對于三視圖問題上的內(nèi)容開放性和認(rèn)識封閉性，曾經(jīng)通過解題活動強(qiáng)調(diào)了兩點(diǎn)結(jié)論：不同的幾何體可以有相同的三視圖；同一個幾何體擺法不同可以有不同的三視圖.這其實(shí)已經(jīng)涉及到消極的“潛在假設(shè)”，本文作為續(xù)談，將再剖析關(guān)于三視圖消極“潛在假設(shè)”的一些表現(xiàn)，但視角會有兩個變化：

（1）如果說文[2]的素材重在從直觀圖到三視圖的話，那么本文的素材則注重從三視圖到直觀圖，尤其要注意逆向問題會是不惟一的.

（2）如果說文[2]的努力重在防止數(shù)學(xué)解題中消極“潛在假設(shè)”的話，那么本文的努力則還注重防止習(xí)題編擬中消極的“潛在假設(shè)”，加強(qiáng)習(xí)題的內(nèi)容科學(xué)性和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性.

1涉及三棱錐的消極“潛在假設(shè)”

例1一個三棱錐的三視圖輪廓“形狀都相同，大小均相等”，請找出這樣的三棱錐.

圖1圖2

講解一個容易想到的回答是：“直角三棱錐”，如圖1，從正方體中截下的直角三棱錐D1-DAC，它的三視圖輪廓是三個全等的等腰直角三角形.

一個較難否定的回答是：“正四面體的三視圖是三個全等的正三角形”，“理由”是，正四面體的四個面都是全等的正三角形，所以，無論你從哪一角度看都是正三角形.這是由粗糙的直觀導(dǎo)致的虛假論據(jù)和錯誤

結(jié)論.其實(shí)，一個正三角形在不同方向的投影，其形狀和大小是會發(fā)生變化的，當(dāng)你著眼于更廣泛的三棱錐、努力構(gòu)造出它的兩個視圖均為“全等的正三角形”時，第三個方向即使是正三角形，也不會是全等的，就是說“三視圖是三個全等正三角形”的三棱錐并不存在.那么，正四面體就不是答案了嗎？不，由文[2]知，將正方體截去四個三棱錐，如圖1中，所得到的正四面體B1-ACD1（保持其在正方體中的位置不動），其三視圖輪廓是“三個全等的正方形”（圖2）.

這樣，我們找到了兩類三棱錐（但不知道還有沒有第三類），一類其三視圖輪廓是三個全等的等腰直角三角形；另一類其三視圖輪廓是三個全等的正方形.思考還可以繼續(xù)：

圖3

例2如果一個三棱錐的三視圖是三個全等的等腰直角三角形，且直角邊長為a，求這個三棱錐的體積和表面積.

講解一個容易想到的回答是例1中的“直角三棱錐”（圖3中D1-DAC），體積為

V=16V正方體=a36，

表面積為

S=3S等腰直角三角形+S等邊三角形=3+32a2.

但是這個答案并不完整，圖3中三棱錐D1-DAB的三

視圖也是三個全等的等腰直角三角形，其體積不變V=16V正方體=a36，但表面積為

S=2S等腰直角三角形+2S直角三角形=（1+2）a2.

處理完這兩個例子之后，從試題編擬的角度還可以繼續(xù)思考如下問題.

問題1例1中三視圖輪廓“形狀都相同，大小均相等”的三棱錐到底有幾種情況？

問題2怎樣嚴(yán)格證明“三視圖是三個全等正三角形”的三棱錐并不存在？

問題3例2中三視圖輪廓為“三個全等的等腰直角三角形”的三棱錐是不是只有兩種情況？

在這些問題未徹底解決之前，最好不要由“粗糙的直觀”導(dǎo)致“潛在假設(shè)”，我們建議例1、例2作開放性的修改：

例3如果一個三棱錐的三視圖輪廓“形狀都相同，大小均相等”，請找出一個這樣的三棱錐，并求它的體積（或表面積）.

這時，題目是開放的，學(xué)生可以找出不同的三棱錐，求出不同的體積（或表面積），并且一道題目開辟了一個研究課題.

2涉及組合體的消極“潛在假設(shè)”

例4如果一個幾何體的三視圖如圖4（或圖5）所示，這個幾何體是怎樣構(gòu)成的？

圖4圖5

講解一個容易想到的回答是：圖4的幾何體是從一個正方體中挖去了一個圓錐（如2011年陜西文、理科第5題）.

一個意外的回答是：圖4的幾何體也可以是給一個無蓋正方體里放進(jìn)了一個圓錐.

第一個回答大家很好接受，從一個幾何體中挖去了一個幾何體當(dāng)然是畫虛線了，但是反過來，畫虛線就一定是幾何體被挖去的痕跡嗎？所畫的虛線就不可能是放進(jìn)了一個幾何體嗎？如圖5，從一個半球體中挖去一個圓錐與從一個半球中放進(jìn)一個圓錐會有相同的三視圖.我們認(rèn)為，挖去幾何體時畫虛線只是部分實(shí)例，放進(jìn)了一個幾何體的可能性也是存在的，不應(yīng)該由“部分的實(shí)例”導(dǎo)致“潛在假設(shè)”，編擬試題時應(yīng)該表述清楚，排除歧義.比如，對圖4（或圖5）編擬為計(jì)算題時，可以這樣敘述：

例41從已知幾何體中挖去了一個幾何體后，其三視圖如圖4所示，則該幾何題的體積（或表面積）為.

例5（合肥市2009年高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測文科第10題）用若干個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，其主視圖、側(cè)視圖都是圖6，對這個幾何體，下列說法正確的是（）.

A.這個幾何體的體積一定是7

B.這個幾何體的體積一定是10

C.這個幾何體的體積的最小值是6，最大值是10

D.這個幾何體的體積的最小值是7，最大值是11

圖6圖7

講解這是一個開放性的題目，可以檢測學(xué)生對視圖

知識掌握的程度和空間想象能力，可惜的是，命題者存在由“部分實(shí)例”導(dǎo)致的“潛在假設(shè)”，給出的答案為D.但如圖7所示，幾何體的底面分別增加1個、2個、…、6個單位正方體其主視圖、側(cè)視圖均為圖6，這些幾何體的體積最小值是5，最大值是11.因此本題無正確答案可選，是一道錯題.如何修改留給讀者去思考.

3涉及球（體）的消極“潛在假設(shè)”

例6某幾何體的三視圖如圖8所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

圖8

講解通常認(rèn)為，圖8中三視圖均為四分之一的全等扇形，半徑r=1，從而，幾何體為單位球在第一卦限部分，體積為

V=18V球=18×43πr3=π6；

表面積為

S=18S球+34S圓=18×4πr2+34πr2=5π4.

其實(shí)，這個題目的編擬有兩個“潛在假設(shè)”：其一，“潛在假設(shè)”每一視圖均為四分之一的全等扇形；其二，“潛在假設(shè)”三視圖均為四分之一全等扇形的幾何體必為球在第一卦限部分.

反思這兩個“潛在假設(shè)”可以促進(jìn)三視圖認(rèn)識的深化.

反思1每一視圖均為四分之一的全等扇形嗎？確實(shí)，單位球在第一卦限部分的三視圖類似于圖8，但題目沒有說每一視圖均為四分之一的全等扇形，這就存在其他可能.比如，將半徑稍稍大于1的球的第一卦限部分，沿三個面各切去一層同樣的平面薄片，可以使其三視圖為圖8，這時，直角頂點(diǎn)不是圓心，各個視圖相等但不是扇形.是“粗糙的直觀”或“部分的實(shí)例”導(dǎo)致消極的“潛在假設(shè)”.

反思2若題目注明“三視圖均為四分之一的全等扇形”，能不能保證幾何體為單位球在第一卦限部分呢？限于中學(xué)教材可能很難找到反例，但結(jié)論依然是可疑的.比如，由曲面

x2+y2+z2+xyz=1

所圍成的幾何體，它在坐標(biāo)平面上的投影均為單位圓（分別取x=0，y=0，z=0都得出單位圓），若取其第一卦限部分，則三視圖為圖8，但這個幾何體不是球.用平行于坐標(biāo)平面的平面去截曲面x2+y2+z2+xyz=1，得到的截線是橢圓（除了頂點(diǎn)為一個點(diǎn)）.比如，取z=α，α∈0，1，則x2+y2+αxy=1-α2，

變形12+α4y+x2+12-α4y-x2=1-α2，

作變換x=22x1-y1，

y=22x1+y1，

即x+y=2x1，

y-x=2y1，

有1+α2x21+1-α2y21=1-α2，

得橢圓x212-2α22+α+y212-2α22-α=1，α∈0，1.

由上面的討論可知，球的三視圖是三個等圓，但三視圖是三個等圓的幾何體未必是球，中學(xué)生可能找不出反例，但試題編擬者應(yīng)該有更深入的學(xué)術(shù)思考.

例7（2013年陜西文科第11題）某幾何體的三視圖如圖9所示，則其表面積為.

圖9

解該幾何體是半徑為1的半球，底面是半徑為1的圓，所以體積為

S表=S側(cè)+S底=2πr+πr2=3π.

評析中學(xué)生這樣做，沒有理由不給滿分，但是，如上所說，該幾何體未必為半球，限于中學(xué)教材找不到反例，不等于曲面①就不存在，科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿}應(yīng)該排除其他可能.如例6（例7）可以明確為：

例61某幾何體是球體的一部分，其三視圖如圖8（或圖9）所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

4綜合性的練習(xí)

前些年對三視圖的考查基本上都是“單一性”的填空或選擇題，但認(rèn)為三視圖只能出“小題”沒有理論根據(jù)，或者說也是一種“潛在假設(shè)”，并且是消極的.隨著學(xué)習(xí)的深入，隨著考試“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題，促進(jìn)學(xué)科知識的交融和滲透”的貫徹，三視圖與其他知識的交匯將是一個方向，2014年陜西高考文、理科第17題就把三視圖放到解答題中.下面再提供兩道綜合題，以體現(xiàn)三視圖與其他知識綜合的方向.

例8如圖10，過長方體V：ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)D1作平面α與棱AA1交于點(diǎn)E，與棱BB1交于點(diǎn)F，與棱CC1交于點(diǎn)G，已知D0，0，0，T1，1，2，平面α下方幾何體

的正視圖、左視圖如圖11所示.

圖10圖11

（Ⅰ）求證：點(diǎn)T在平面α上.

（Ⅱ）請問DT是否垂直于平面α，說明理由.

解（Ⅰ）如圖12，由視圖可知，長方體的底面是邊長為2的正方形，長方體的高等于3，點(diǎn)E，F(xiàn)，G均為所在棱的三等分點(diǎn).有F2，2，1，D10，0，3，從而T1，1，2為線段FD1的中點(diǎn)，因?yàn)榫€段FD1在平面α上，所以T在平面α上.

（Ⅱ）DT是垂直于平面α的，用兩個方法證明如下.

圖12

方法1如圖12，由已知，F(xiàn)2，2，1，D1（0，0，3），E（2，0，2），G（0，2，2），而T1，1，2為線段FD1的中點(diǎn)，也是線段EG的中點(diǎn).

連結(jié)DF，DB，在直角△DBF中，

DF=DB2+BF2=222+12=3，

又DD1=3，所以△DD1F是等腰三角形，從而底邊FD1上的中線DT也是高，得

DT⊥D1F.

同樣，連結(jié)DE，DG，有DE=DG=22，△DEG是等腰三角形，底邊EG上的中線DT也是高，得DT⊥EG.

因?yàn)镈T垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

方法2如圖12，由已知，D0，0，0，T1，1，2，F(xiàn)2，2，1，D10，0，3，E2，0，2，G0，2，2，可得

DT=1，1，2，D1F=2，2，-2，EG=-2，2，0，

有DT·D1F=1×2+1×2+2×-2=0，

DT·EG=1×-2+1×2+2×0=0，

這表明，DT垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

說明此例把三視圖融進(jìn)解答題，體現(xiàn)了三視圖考查的一個新思路.圖15

例9如圖13，正四面體的四個頂點(diǎn)都在一個球面上（稱為正四面體的外接球），其四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為1，0，0，0，1，0，0，0，1，1，1，1，如果這個幾何體的正視圖如圖14所示，請繼續(xù)完成這個幾何體的三視圖，并根據(jù)圖15程序框圖所示，計(jì)算在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，能輸出數(shù)對x，y，z的概率.

圖13圖14

解側(cè)視圖、俯視圖與正視圖相同，都是單位圓里面一個帶對角線的虛線正方形.

由程序框圖可知，可行域是正四面體的外接球，只有當(dāng)數(shù)對x，y，z落在正四面體內(nèi)部時，才能輸出.由圖14中數(shù)據(jù)可知，正四面體的外接正方體棱長為1，正四面體的棱長為2，外接正方體的體對角線為3，即正四面體的外接球半徑為R=32.有

V球=43πR3=3π2，V正四面體=13V正方體=13，

故得能輸出數(shù)對的概率為P=V正四面體V球=239π.

說明這是一道綜合性很強(qiáng)的題目，涉及四面體及其體積、球及其體積、空間坐標(biāo)系、三視圖、程序框圖、幾何概型、概率計(jì)算等多種知識，是“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題，促進(jìn)學(xué)科知識的交融和滲透”的很好注解，對破除三視圖考查的“單一性”有啟示意義.

參考文獻(xiàn)

[1]羅增儒.糾正一種消極的“潛在假設(shè)”[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）.2006（12）：15-18.

[2]羅增儒.解題活動：三視圖認(rèn)識封閉的突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2012（9）：18-21.

知識掌握的程度和空間想象能力，可惜的是，命題者存在由“部分實(shí)例”導(dǎo)致的“潛在假設(shè)”，給出的答案為D.但如圖7所示，幾何體的底面分別增加1個、2個、…、6個單位正方體其主視圖、側(cè)視圖均為圖6，這些幾何體的體積最小值是5，最大值是11.因此本題無正確答案可選，是一道錯題.如何修改留給讀者去思考.

3涉及球（體）的消極“潛在假設(shè)”

例6某幾何體的三視圖如圖8所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

圖8

講解通常認(rèn)為，圖8中三視圖均為四分之一的全等扇形，半徑r=1，從而，幾何體為單位球在第一卦限部分，體積為

V=18V球=18×43πr3=π6；

表面積為

S=18S球+34S圓=18×4πr2+34πr2=5π4.

其實(shí)，這個題目的編擬有兩個“潛在假設(shè)”：其一，“潛在假設(shè)”每一視圖均為四分之一的全等扇形；其二，“潛在假設(shè)”三視圖均為四分之一全等扇形的幾何體必為球在第一卦限部分.

反思這兩個“潛在假設(shè)”可以促進(jìn)三視圖認(rèn)識的深化.

反思1每一視圖均為四分之一的全等扇形嗎？確實(shí)，單位球在第一卦限部分的三視圖類似于圖8，但題目沒有說每一視圖均為四分之一的全等扇形，這就存在其他可能.比如，將半徑稍稍大于1的球的第一卦限部分，沿三個面各切去一層同樣的平面薄片，可以使其三視圖為圖8，這時，直角頂點(diǎn)不是圓心，各個視圖相等但不是扇形.是“粗糙的直觀”或“部分的實(shí)例”導(dǎo)致消極的“潛在假設(shè)”.

反思2若題目注明“三視圖均為四分之一的全等扇形”，能不能保證幾何體為單位球在第一卦限部分呢？限于中學(xué)教材可能很難找到反例，但結(jié)論依然是可疑的.比如，由曲面

x2+y2+z2+xyz=1

所圍成的幾何體，它在坐標(biāo)平面上的投影均為單位圓（分別取x=0，y=0，z=0都得出單位圓），若取其第一卦限部分，則三視圖為圖8，但這個幾何體不是球.用平行于坐標(biāo)平面的平面去截曲面x2+y2+z2+xyz=1，得到的截線是橢圓（除了頂點(diǎn)為一個點(diǎn)）.比如，取z=α，α∈0，1，則x2+y2+αxy=1-α2，

變形12+α4y+x2+12-α4y-x2=1-α2，

作變換x=22x1-y1，

y=22x1+y1，

即x+y=2x1，

y-x=2y1，

有1+α2x21+1-α2y21=1-α2，

得橢圓x212-2α22+α+y212-2α22-α=1，α∈0，1.

由上面的討論可知，球的三視圖是三個等圓，但三視圖是三個等圓的幾何體未必是球，中學(xué)生可能找不出反例，但試題編擬者應(yīng)該有更深入的學(xué)術(shù)思考.

例7（2013年陜西文科第11題）某幾何體的三視圖如圖9所示，則其表面積為.

圖9

解該幾何體是半徑為1的半球，底面是半徑為1的圓，所以體積為

S表=S側(cè)+S底=2πr+πr2=3π.

評析中學(xué)生這樣做，沒有理由不給滿分，但是，如上所說，該幾何體未必為半球，限于中學(xué)教材找不到反例，不等于曲面①就不存在，科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿}應(yīng)該排除其他可能.如例6（例7）可以明確為：

例61某幾何體是球體的一部分，其三視圖如圖8（或圖9）所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

4綜合性的練習(xí)

前些年對三視圖的考查基本上都是“單一性”的填空或選擇題，但認(rèn)為三視圖只能出“小題”沒有理論根據(jù)，或者說也是一種“潛在假設(shè)”，并且是消極的.隨著學(xué)習(xí)的深入，隨著考試“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題，促進(jìn)學(xué)科知識的交融和滲透”的貫徹，三視圖與其他知識的交匯將是一個方向，2014年陜西高考文、理科第17題就把三視圖放到解答題中.下面再提供兩道綜合題，以體現(xiàn)三視圖與其他知識綜合的方向.

例8如圖10，過長方體V：ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)D1作平面α與棱AA1交于點(diǎn)E，與棱BB1交于點(diǎn)F，與棱CC1交于點(diǎn)G，已知D0，0，0，T1，1，2，平面α下方幾何體

的正視圖、左視圖如圖11所示.

圖10圖11

（Ⅰ）求證：點(diǎn)T在平面α上.

（Ⅱ）請問DT是否垂直于平面α，說明理由.

解（Ⅰ）如圖12，由視圖可知，長方體的底面是邊長為2的正方形，長方體的高等于3，點(diǎn)E，F(xiàn)，G均為所在棱的三等分點(diǎn).有F2，2，1，D10，0，3，從而T1，1，2為線段FD1的中點(diǎn)，因?yàn)榫€段FD1在平面α上，所以T在平面α上.

（Ⅱ）DT是垂直于平面α的，用兩個方法證明如下.

圖12

方法1如圖12，由已知，F(xiàn)2，2，1，D1（0，0，3），E（2，0，2），G（0，2，2），而T1，1，2為線段FD1的中點(diǎn)，也是線段EG的中點(diǎn).

連結(jié)DF，DB，在直角△DBF中，

DF=DB2+BF2=222+12=3，

又DD1=3，所以△DD1F是等腰三角形，從而底邊FD1上的中線DT也是高，得

DT⊥D1F.

同樣，連結(jié)DE，DG，有DE=DG=22，△DEG是等腰三角形，底邊EG上的中線DT也是高，得DT⊥EG.

因?yàn)镈T垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

方法2如圖12，由已知，D0，0，0，T1，1，2，F(xiàn)2，2，1，D10，0，3，E2，0，2，G0，2，2，可得

DT=1，1，2，D1F=2，2，-2，EG=-2，2，0，

有DT·D1F=1×2+1×2+2×-2=0，

DT·EG=1×-2+1×2+2×0=0，

這表明，DT垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

說明此例把三視圖融進(jìn)解答題，體現(xiàn)了三視圖考查的一個新思路.圖15

例9如圖13，正四面體的四個頂點(diǎn)都在一個球面上（稱為正四面體的外接球），其四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為1，0，0，0，1，0，0，0，1，1，1，1，如果這個幾何體的正視圖如圖14所示，請繼續(xù)完成這個幾何體的三視圖，并根據(jù)圖15程序框圖所示，計(jì)算在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，能輸出數(shù)對x，y，z的概率.

圖13圖14

解側(cè)視圖、俯視圖與正視圖相同，都是單位圓里面一個帶對角線的虛線正方形.

由程序框圖可知，可行域是正四面體的外接球，只有當(dāng)數(shù)對x，y，z落在正四面體內(nèi)部時，才能輸出.由圖14中數(shù)據(jù)可知，正四面體的外接正方體棱長為1，正四面體的棱長為2，外接正方體的體對角線為3，即正四面體的外接球半徑為R=32.有

V球=43πR3=3π2，V正四面體=13V正方體=13，

故得能輸出數(shù)對的概率為P=V正四面體V球=239π.

說明這是一道綜合性很強(qiáng)的題目，涉及四面體及其體積、球及其體積、空間坐標(biāo)系、三視圖、程序框圖、幾何概型、概率計(jì)算等多種知識，是“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題，促進(jìn)學(xué)科知識的交融和滲透”的很好注解，對破除三視圖考查的“單一性”有啟示意義.

參考文獻(xiàn)

[1]羅增儒.糾正一種消極的“潛在假設(shè)”[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）.2006（12）：15-18.

[2]羅增儒.解題活動：三視圖認(rèn)識封閉的突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2012（9）：18-21.

知識掌握的程度和空間想象能力，可惜的是，命題者存在由“部分實(shí)例”導(dǎo)致的“潛在假設(shè)”，給出的答案為D.但如圖7所示，幾何體的底面分別增加1個、2個、…、6個單位正方體其主視圖、側(cè)視圖均為圖6，這些幾何體的體積最小值是5，最大值是11.因此本題無正確答案可選，是一道錯題.如何修改留給讀者去思考.

3涉及球（體）的消極“潛在假設(shè)”

例6某幾何體的三視圖如圖8所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

圖8

講解通常認(rèn)為，圖8中三視圖均為四分之一的全等扇形，半徑r=1，從而，幾何體為單位球在第一卦限部分，體積為

V=18V球=18×43πr3=π6；

表面積為

S=18S球+34S圓=18×4πr2+34πr2=5π4.

其實(shí)，這個題目的編擬有兩個“潛在假設(shè)”：其一，“潛在假設(shè)”每一視圖均為四分之一的全等扇形；其二，“潛在假設(shè)”三視圖均為四分之一全等扇形的幾何體必為球在第一卦限部分.

反思這兩個“潛在假設(shè)”可以促進(jìn)三視圖認(rèn)識的深化.

反思1每一視圖均為四分之一的全等扇形嗎？確實(shí)，單位球在第一卦限部分的三視圖類似于圖8，但題目沒有說每一視圖均為四分之一的全等扇形，這就存在其他可能.比如，將半徑稍稍大于1的球的第一卦限部分，沿三個面各切去一層同樣的平面薄片，可以使其三視圖為圖8，這時，直角頂點(diǎn)不是圓心，各個視圖相等但不是扇形.是“粗糙的直觀”或“部分的實(shí)例”導(dǎo)致消極的“潛在假設(shè)”.

反思2若題目注明“三視圖均為四分之一的全等扇形”，能不能保證幾何體為單位球在第一卦限部分呢？限于中學(xué)教材可能很難找到反例，但結(jié)論依然是可疑的.比如，由曲面

x2+y2+z2+xyz=1

所圍成的幾何體，它在坐標(biāo)平面上的投影均為單位圓（分別取x=0，y=0，z=0都得出單位圓），若取其第一卦限部分，則三視圖為圖8，但這個幾何體不是球.用平行于坐標(biāo)平面的平面去截曲面x2+y2+z2+xyz=1，得到的截線是橢圓（除了頂點(diǎn)為一個點(diǎn)）.比如，取z=α，α∈0，1，則x2+y2+αxy=1-α2，

變形12+α4y+x2+12-α4y-x2=1-α2，

作變換x=22x1-y1，

y=22x1+y1，

即x+y=2x1，

y-x=2y1，

有1+α2x21+1-α2y21=1-α2，

得橢圓x212-2α22+α+y212-2α22-α=1，α∈0，1.

由上面的討論可知，球的三視圖是三個等圓，但三視圖是三個等圓的幾何體未必是球，中學(xué)生可能找不出反例，但試題編擬者應(yīng)該有更深入的學(xué)術(shù)思考.

例7（2013年陜西文科第11題）某幾何體的三視圖如圖9所示，則其表面積為.

圖9

解該幾何體是半徑為1的半球，底面是半徑為1的圓，所以體積為

S表=S側(cè)+S底=2πr+πr2=3π.

評析中學(xué)生這樣做，沒有理由不給滿分，但是，如上所說，該幾何體未必為半球，限于中學(xué)教材找不到反例，不等于曲面①就不存在，科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿}應(yīng)該排除其他可能.如例6（例7）可以明確為：

例61某幾何體是球體的一部分，其三視圖如圖8（或圖9）所示，則該幾何體的體積（或表面積）為.

4綜合性的練習(xí)

前些年對三視圖的考查基本上都是“單一性”的填空或選擇題，但認(rèn)為三視圖只能出“小題”沒有理論根據(jù)，或者說也是一種“潛在假設(shè)”，并且是消極的.隨著學(xué)習(xí)的深入，隨著考試“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題，促進(jìn)學(xué)科知識的交融和滲透”的貫徹，三視圖與其他知識的交匯將是一個方向，2014年陜西高考文、理科第17題就把三視圖放到解答題中.下面再提供兩道綜合題，以體現(xiàn)三視圖與其他知識綜合的方向.

例8如圖10，過長方體V：ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)D1作平面α與棱AA1交于點(diǎn)E，與棱BB1交于點(diǎn)F，與棱CC1交于點(diǎn)G，已知D0，0，0，T1，1，2，平面α下方幾何體

的正視圖、左視圖如圖11所示.

圖10圖11

（Ⅰ）求證：點(diǎn)T在平面α上.

（Ⅱ）請問DT是否垂直于平面α，說明理由.

解（Ⅰ）如圖12，由視圖可知，長方體的底面是邊長為2的正方形，長方體的高等于3，點(diǎn)E，F(xiàn)，G均為所在棱的三等分點(diǎn).有F2，2，1，D10，0，3，從而T1，1，2為線段FD1的中點(diǎn)，因?yàn)榫€段FD1在平面α上，所以T在平面α上.

（Ⅱ）DT是垂直于平面α的，用兩個方法證明如下.

圖12

方法1如圖12，由已知，F(xiàn)2，2，1，D1（0，0，3），E（2，0，2），G（0，2，2），而T1，1，2為線段FD1的中點(diǎn)，也是線段EG的中點(diǎn).

連結(jié)DF，DB，在直角△DBF中，

DF=DB2+BF2=222+12=3，

又DD1=3，所以△DD1F是等腰三角形，從而底邊FD1上的中線DT也是高，得

DT⊥D1F.

同樣，連結(jié)DE，DG，有DE=DG=22，△DEG是等腰三角形，底邊EG上的中線DT也是高，得DT⊥EG.

因?yàn)镈T垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

方法2如圖12，由已知，D0，0，0，T1，1，2，F(xiàn)2，2，1，D10，0，3，E2，0，2，G0，2，2，可得

DT=1，1，2，D1F=2，2，-2，EG=-2，2，0，

有DT·D1F=1×2+1×2+2×-2=0，

DT·EG=1×-2+1×2+2×0=0，

這表明，DT垂直于平面α上的兩條相交直線D1F與EG，所以DT垂直于平面α.

說明此例把三視圖融進(jìn)解答題，體現(xiàn)了三視圖考查的一個新思路.圖15

例9如圖13，正四面體的四個頂點(diǎn)都在一個球面上（稱為正四面體的外接球），其四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為1，0，0，0，1，0，0，0，1，1，1，1，如果這個幾何體的正視圖如圖14所示，請繼續(xù)完成這個幾何體的三視圖，并根據(jù)圖15程序框圖所示，計(jì)算在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，能輸出數(shù)對x，y，z的概率.

圖13圖14

解側(cè)視圖、俯視圖與正視圖相同，都是單位圓里面一個帶對角線的虛線正方形.

由程序框圖可知，可行域是正四面體的外接球，只有當(dāng)數(shù)對x，y，z落在正四面體內(nèi)部時，才能輸出.由圖14中數(shù)據(jù)可知，正四面體的外接正方體棱長為1，正四面體的棱長為2，外接正方體的體對角線為3，即正四面體的外接球半徑為R=32.有

V球=43πR3=3π2，V正四面體=13V正方體=13，

故得能輸出數(shù)對的概率為P=V正四面體V球=239π.

說明這是一道綜合性很強(qiáng)的題目，涉及四面體及其體積、球及其體積、空間坐標(biāo)系、三視圖、程序框圖、幾何概型、概率計(jì)算等多種知識，是“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題，促進(jìn)學(xué)科知識的交融和滲透”的很好注解，對破除三視圖考查的“單一性”有啟示意義.

參考文獻(xiàn)

[1]羅增儒.糾正一種消極的“潛在假設(shè)”[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）.2006（12）：15-18.

[2]羅增儒.解題活動：三視圖認(rèn)識封閉的突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2012（9）：18-21.