兩因子隨機(jī)死亡率狀態(tài)空間模型及長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度

何穎媛+劉貫春

收稿日期： 2014-02-26； 修回日期： 2014-04-06

基金項(xiàng)目： 湖南省社科基金項(xiàng)目（13YBA030）、國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（71203241）、湖南省社科基金項(xiàng)目（11YBB039）

作者簡(jiǎn)介： 何穎媛（1982—）， 女， 湖南邵陽(yáng)人， 中南大學(xué)商學(xué)院博士研究生，長(zhǎng)沙學(xué)院工商管理系講師， 研究方向： 農(nóng)村金融與風(fēng)險(xiǎn)管理。

摘 要：引入狀態(tài)空間模型對(duì)傳統(tǒng)兩因子CBD模型擬合階段和預(yù)測(cè)階段進(jìn)行聯(lián)合建模，并基于卡爾曼濾波方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。進(jìn)一步考慮到死亡率數(shù)據(jù)的小樣本特征，結(jié)合Bootstrap仿真技術(shù)和生存年金組合折現(xiàn)模型對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行測(cè)度。利用1996～2011年數(shù)據(jù)展開(kāi)實(shí)證研究，結(jié)果表明：結(jié)合模型解釋能力、參數(shù)估計(jì)結(jié)果和誤差項(xiàng)正態(tài)分布檢驗(yàn)結(jié)果，兩因子狀態(tài)空間模型要優(yōu)于傳統(tǒng)CBD模型；年金組合規(guī)模的擴(kuò)大可以消除微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，但不能消除宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)；宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)占據(jù)著不可分散風(fēng)險(xiǎn)的主導(dǎo)地位。

關(guān)鍵詞： 狀態(tài)空間模型；卡爾曼濾波估計(jì)；Bootstrap仿真；長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)

中圖分類號(hào)：F840.32 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)：1003-7217（2014）05-0024-05

一、引 言

伴隨著生活方式的轉(zhuǎn)變、生活水平的不斷提高和醫(yī)療系統(tǒng)的完善，死亡率模式亦隨之變化。未來(lái)死亡率的非預(yù)期性降低致使人類存活年限不斷增加，政府面臨的退休金和養(yǎng)老金成本不斷增加，保險(xiǎn)公司面臨的風(fēng)險(xiǎn)急劇增大，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)隨之凸顯。然而，由于長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的不確定性，對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)母深A(yù)管理面臨挑戰(zhàn)。長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的不確定性很大程度來(lái)源于未來(lái)死亡率難測(cè)度性和長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法的選擇，因此，解決這兩個(gè)問(wèn)題，對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的識(shí)別和控制有著重要作用，對(duì)政府和保險(xiǎn)公司的決策具有重大的現(xiàn)實(shí)意義。

目前，關(guān)于死亡率的模型大致可以劃分為兩大類，具體包括確定死亡率模型和隨機(jī)死亡率模型。其中，確定型死亡率模型主要包括“Gompertz生存法則”[1]、“Makeham生存法則”[2]、“Thiele生存法則”[3]及“Heligman Pollard生存法則”[4]。然而，生存法則模型由于模型參數(shù)不能刻畫(huà)死亡率的時(shí)變特征而存在較大誤差。隨機(jī)型死亡率模型主要包括LC模型[5]和CBD模型[6]。但是，兩者均分兩個(gè)階段進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，模型解釋能力受到很大限制。一些學(xué)者對(duì)現(xiàn)有的隨機(jī)死亡率模型展開(kāi)比較分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)并不存在任何一種模型完全優(yōu)于其他模型，預(yù)測(cè)精度過(guò)于依賴現(xiàn)實(shí)條件[7-9]。

國(guó)內(nèi)關(guān)于死亡率的建模與長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度尚處于起步階段，主要集中于LC模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用。有的研究了LC模型在我國(guó)人口死亡率預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[10-14]；有的通過(guò)建立生存年金組合現(xiàn)值模型，分析了長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)帶來(lái)的養(yǎng)老成本問(wèn)題[15，16]。

基于以上認(rèn)識(shí)，本文擬利用狀態(tài)空間模型對(duì)兩因子CBD模型擬合階段和預(yù)測(cè)階段進(jìn)行聯(lián)合建模，并基于卡爾曼濾波方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。結(jié)合死亡率數(shù)據(jù)的小樣本特征，綜合運(yùn)用Bootstrap仿真技術(shù)和生存年金組合折現(xiàn)模型來(lái)測(cè)度長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的重要性，并利用中國(guó)數(shù)據(jù)展開(kāi)實(shí)證研究。

二、兩因子狀態(tài)空間模型及卡爾曼濾波估計(jì)

假定dx，t表示年齡為x的人群在日歷年t的死亡人數(shù)；ex，t表示年齡為x的人群在日歷年t的死亡風(fēng)險(xiǎn)暴露數(shù)；為此，年齡為x的人群在日歷年t的死亡率和生存概率分別為qx，t=dx，t/ex，t和px，t=1-qx，t。

（一）兩因子隨機(jī)死亡率狀態(tài)空間模型

傳統(tǒng)CBD兩因子隨機(jī)死亡率模型的預(yù)測(cè)階段反映了兩時(shí)變參數(shù)在外界環(huán)境作用下的動(dòng)態(tài)變化，比如生活水平的改善和重大瘟疫的爆發(fā)將會(huì)使得公共因子呈現(xiàn)下降和上升相反的變動(dòng)趨勢(shì)，可以將其視為狀態(tài)方程。擬合階段則將死亡率和系統(tǒng)的狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)，可以將其視為量測(cè)方程?；诖?，可以得到兩因子隨機(jī)死亡率狀態(tài)空間模型。

假定N表示樣本的年齡跨度，T表示樣本的時(shí)間跨度。為表述方便，令zxi，t=log it（qxi，t）；H=[IN，B]N×2；B=（x1-，x2-，…，xN-）'N×1；常數(shù)漂移項(xiàng)μ=（μ1，μ2）'2×1，則觀測(cè)變量zt=（z1，t，z2，t，…，zN，t）'N×1；狀態(tài)向量Xt=（κ1t，κ2t）'2×1。此時(shí)，傳統(tǒng)的CBD模型可以轉(zhuǎn)化為如下?tīng)顟B(tài)空間模型：

量測(cè)方程： zt=HXt+et （1）

狀態(tài)方程： Xt=AXt+μ+εt （2）

其中，觀測(cè)噪聲et=（e1，t，e2，t，…，eN，t）'N×1服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且協(xié)方差為Rt，記作et～N（0，Rt）；過(guò)程激勵(lì)噪聲εt=（ε1t，ε2t）'2×1服從二維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作εt～N（0，Qt）。不同于傳統(tǒng)CBD模型單獨(dú)考慮兩時(shí)變因子，本文引入常數(shù)矩陣A以考慮兩時(shí)變因子的相互作用。

（二）卡爾曼濾波估計(jì)

定義t|t-1∈Rn表示已知時(shí)刻t以前狀態(tài)條件下第t步的先驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)；t∈Rn表示在已知測(cè)量變量Zt條件下第t步的后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)，則狀態(tài)變量的先驗(yàn)估計(jì)誤差和后驗(yàn)估計(jì)誤差分別為et|t-1=Xt-t|t-1和et=Xt-t。此時(shí)，兩誤差的協(xié)方差分別為：

Pt|t-1=E[et|t-1eTt|t-1]=

E[（Xt-t|t-1）（Xt-t|t-1）T]（3）

Pt=E[EteTt]=E[（Xt-t）（Xt-t）T]（4）

其中，X-t=At-1+μ，且兩協(xié)方差矩陣有如下關(guān)系：

P-t=APt-1AT+Qt。

上述過(guò)程被稱為“時(shí)間更新方程”。

進(jìn)一步，觀測(cè)變量zt在已知時(shí)刻t以前狀態(tài)條件下的先驗(yàn)估計(jì)為：

t|t-1=Ht|t-1。同時(shí)對(duì)應(yīng)的估計(jì)誤差et和誤差 協(xié)方差矩陣Ft分別為：et=zt-t|t-1和Ft=HPt|t-1HT+Rt，此時(shí)，得到如下“狀態(tài)更新方程”：

Xt=t|t-1+Pt|t-1HTF-1tet （5）

Pt=（I-Pt|t-1HTF-1tH）Pt|t-1（6）

假定觀測(cè)變量和狀態(tài)變量的誤差項(xiàng)（et，εt）′在Ft-1條件下服從標(biāo)準(zhǔn)多維正態(tài)分布，則觀測(cè)變量zt服從正態(tài)分布：

zt|Ft-1～N（Ht|t-1，HPt|t-1HT+Rt）。

由此得到時(shí)期t的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

Lt=-12log|HPt|t-1HT+Rt|-

12（zt-Ht|t-1）T

（HPt|t-1HT_Rt）-1（zt-Ht|t-1）=

-12log|Ft|-12eTtF-1tet（7）

進(jìn)而得到模型整體的對(duì)數(shù)似然函數(shù)：

L=-12∑Tt=1log|HPt|t-1HT+Rt|-

12∑Tt=1（zt-Ht|t-1）T

（HPt|t-1HT_Rt）-1（zt-Ht|t-1）=

-12∑Tt=1log|Ft|-12∑Tt=1eTtF-1tet（8）

借鑒Babbs和Nowman（1999）[17]的做法，假定測(cè)量誤差相互獨(dú)立且具有相同誤差，協(xié)方差矩陣Rt為常數(shù)對(duì)角矩陣R，狀態(tài)變量誤差的協(xié)方差Qt為常數(shù)矩陣Q。

三、長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)重要性測(cè)度

（一）生存年金組合折現(xiàn)模型

假定：（1）生存年金組合由N個(gè)成員組成，且年齡均為60歲；（2）如果個(gè)體i活著，保險(xiǎn)公司每年年初需為其提供1單位的生存年金；（3）一年期國(guó)債短期利率恒定為4%，即r=4%；（4）由于大部分年限國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布的年齡上限為90，在此設(shè)定人類年齡上限為90。

記Li，t+τ為虛擬變量，當(dāng)個(gè)體i在時(shí)期t+τ仍舊活著，賦值1；否則，賦值0。由此可得，以年份t為基期，保險(xiǎn)公司需要向個(gè)體支付金額的現(xiàn)值為：

Yi=∑30τ≥11i，t+τpxi，t+τl（1+r）τ （9）

其中，pxi，t+τ為個(gè)體i在時(shí)期t+τ的生存概率?；谝荒昶谒劳雎始夕誸={q（g）x，t+τ|τ≥0}，利用Ft=HPt|t-1HT+Rt可以得到Y(jié)i的期望值。則由N個(gè)成員構(gòu)成的年金組合現(xiàn)值為：

y=∑Ni=1Yi。

對(duì)上述年金組合的方差進(jìn)行分解，結(jié)果為：

Var（y）=E（Var（y|φt））+Var（E（y|φt）） （10）

式（10）中，右側(cè)第一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的是微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，第二項(xiàng)對(duì)應(yīng)的是宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)。

僅考慮微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的情形下，給定一年期死亡率集合φt={q（g）x，t+τ|τ≥0}，變異系數(shù)為：

γ=Var（y|φt）E（y|φt）=1NVar（Yi|φt）E（Yi|φt） （11）

對(duì)應(yīng)地，同時(shí)考慮微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)、宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)情形下，變異系數(shù)為：

γ=Var（y）E（y）=

1NE（Var（Yi|ψt））E（Yi）+Var（E（Yi|ψt））E2（Yi）1/2（12）

利用式（10）可以求得宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)占據(jù)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)主導(dǎo)地位的組合規(guī)模臨界值為：

=E（Var（Yi|φt））Var（E（Yi|φt） （13）

（二）基于Bootstrap仿真的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度

本文建立的狀態(tài)空間模型，由于時(shí)變參數(shù)κ1t和κ2t的預(yù)測(cè)值存在誤差（狀態(tài)方程存在不穩(wěn)定性），因此，未來(lái)死亡率預(yù)測(cè)不穩(wěn)定性稱為宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)或過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)。量測(cè)方程的擬合準(zhǔn)確度帶來(lái)的未來(lái)死亡率預(yù)測(cè)不確定性對(duì)應(yīng)的是參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)。

由于死亡率數(shù)據(jù)屬于小樣本，考慮到Bootstrap仿真方法在小樣本情形下滿足樣本的相合性和分位點(diǎn)的漸進(jìn)正態(tài)性，結(jié)合Bootstrap仿真技術(shù)與生存年金組合折現(xiàn)模型來(lái)測(cè)度長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的重要性，具體可以歸納為五個(gè)步驟：第一步，利用卡爾曼濾波法對(duì)模型參數(shù)κ1t和κ2t進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)，得到對(duì)應(yīng)的測(cè)量殘差序列rx，t。記Rt是由元素rx，t構(gòu)成的N×T維矩陣。

第二步，對(duì)rx，t進(jìn)行有放回的抽樣，得到新的殘差矩陣Rt（b）。并利用量測(cè)方程得到重構(gòu)樣本數(shù)據(jù)qx，t。

第三步，基于重構(gòu)樣本，再次利用卡爾曼濾波估計(jì)得到待估計(jì)參數(shù)的新值和對(duì)應(yīng)殘差矩陣，得到對(duì)應(yīng)的隨機(jī)死亡率φt。第四步，利用公式（2）得到時(shí)變參數(shù)的預(yù)測(cè)值，并根據(jù)式（1）對(duì)未來(lái)死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)。第五步，重復(fù)上述步驟5000次，可以得到隨機(jī)死亡率的經(jīng)驗(yàn)分布F（b）。

基于上述分析，分三種情形對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的具體內(nèi)容進(jìn)行測(cè)度：（1）量測(cè)方程和狀態(tài)方程誤差項(xiàng)Vt和Wt均取值0，利用公式（11）測(cè)度微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。

（2）量測(cè)方程誤差項(xiàng)Vt取值0，狀態(tài)方程誤差項(xiàng)為正態(tài)分布εt～N（0，Q）的隨機(jī)值，利用公式（12）同時(shí)測(cè)度微觀和宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)。（3）量測(cè)方程和狀態(tài)方程誤差項(xiàng)分別為正態(tài)分布et～N（0，R）和εt～N（0，Q）的隨機(jī)值，利用公式（12）同時(shí)測(cè)度微觀、宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)。

四、實(shí)證研究

（一）樣本的選取及預(yù)處理

考慮到數(shù)據(jù)的可獲得性，選取1996～2011年分年齡、性別50～90歲死亡率的每一歲歷史數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，并將末組確定為90，所有數(shù)據(jù)均來(lái)源于《中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒》（1997～2012年）。

（二）死亡率實(shí)證結(jié)果

利用兩因子狀態(tài)空間模型對(duì)中國(guó)死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，結(jié)果見(jiàn)圖1。其中，男性兩時(shí)變參數(shù)漂移項(xiàng)分別為-0.01203和-0.00023，女性兩時(shí)變參數(shù)漂移項(xiàng)分別為-0.01376和0.00019。關(guān)于女性死亡率的建模，傳統(tǒng)CBD模型和兩因子狀態(tài)空間模型相差不大，但對(duì)于男性死亡率存在較大差異。這些差異來(lái)源于兩者對(duì)于時(shí)變因子處理的不同，傳統(tǒng)CBD模型對(duì)于時(shí)變參數(shù)的擬合受限于“初始值”，而狀態(tài)空間模型則根據(jù)全局最優(yōu)進(jìn)行求解。

假定死亡人數(shù)服從泊松分布，采用貝葉斯信息準(zhǔn)則對(duì)模型優(yōu)劣進(jìn)行判別。結(jié)果顯示，傳統(tǒng)CBD模型BIC值為-3512，兩因子狀態(tài)空間模型BIC值為-3349，后者略優(yōu)于前者。

結(jié)合模型解釋能力和模型檢驗(yàn)結(jié)果，狀態(tài)空間模型不僅實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)CBD模型擬合階段和預(yù)測(cè)階段的統(tǒng)一建模，同時(shí)對(duì)于隨機(jī)死亡率時(shí)變特征的刻畫(huà)相對(duì)更為精確，兩因子狀態(tài)空間模型要優(yōu)于傳統(tǒng)CBD模型。（三）長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度結(jié)果

基于兩因子狀態(tài)空間模型，利用Bootstrap仿真技術(shù)和生存年金組合折現(xiàn)模型，分別考察年金組合規(guī)模N=10，100，1000，10000四種不同組合規(guī)模情形下變異系數(shù)變動(dòng)情況，以對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)重要性進(jìn)行測(cè)度。以60歲男性和女性為例，表1為微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度結(jié)果，表2為微觀和宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)綜合測(cè)度結(jié)果，表3為微觀、宏觀和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)綜合測(cè)度結(jié)果。

由表1不難看出，隨著年金組合規(guī)模的擴(kuò)大，由個(gè)體死亡率帶來(lái)的微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)逐漸減小，當(dāng)規(guī)模達(dá)到10000時(shí)，對(duì)于60歲男性和女性而言，變異系數(shù)僅有0.004和0.003。換言之，微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)可以通過(guò)大數(shù)法則進(jìn)行分散化處理。根據(jù)年金組合現(xiàn)值可知，女性的未來(lái)生存成本要高于男性，這與中國(guó)現(xiàn)狀“女性的壽命高于男性”相符合。

根據(jù)表2可知，考慮宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)后，隨著組合規(guī)模的擴(kuò)大，年金現(xiàn)值的變異系數(shù)有顯著減少，原因在于個(gè)體死亡率的風(fēng)險(xiǎn)在不斷減小。但是當(dāng)樣本規(guī)模達(dá)到10000以上時(shí)，變異系數(shù)的變動(dòng)已經(jīng)很小，男性和女性分別約等于0.016和0.019，這就是由時(shí)變參數(shù)不確定性帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。由此可見(jiàn)，宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)是不能通過(guò)組合規(guī)模的擴(kuò)大來(lái)消除的。

同時(shí)考慮微觀、宏觀和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)后，與表1和表2一致，變異系數(shù)剛開(kāi)始隨著組合規(guī)模的增加而加速減小。但當(dāng)達(dá)到10000時(shí)，組合規(guī)模的擴(kuò)大并不能帶來(lái)變異系數(shù)的顯著減小，男性和女性變異系數(shù)均約為0.200。與僅考慮微觀和宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的情形相比，表3的結(jié)果要大些，這歸咎于參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)的存在。剔除宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的影響，可以得到男性和女性不同性別下參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn)率約為25%和5%。

綜合上述分析可知，年金組合規(guī)模的擴(kuò)大可以消除微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，但不能消除宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)。同時(shí)，宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)占據(jù)著不可分散風(fēng)險(xiǎn)的主導(dǎo)地位。進(jìn)一步，利用公式（13）計(jì)算得到不可分散風(fēng)險(xiǎn)占據(jù)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)主導(dǎo)地位的年金組合規(guī)模臨界值。對(duì)于男性而言，宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)占據(jù)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)主導(dǎo)地位的年金組合規(guī)模為380，對(duì)于女性而言則為248，這與表1“微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)隨著組合規(guī)模遞減速率高于男性”是一致的。

五、結(jié)束語(yǔ)

長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的測(cè)度的關(guān)鍵在于對(duì)未來(lái)死亡率的預(yù)測(cè)和長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法的選擇?；趥鹘y(tǒng)CBD模型，通過(guò)引入狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波估計(jì)，能避免傳統(tǒng)死亡率預(yù)測(cè)模型的一系列弊端。此外，參數(shù)估計(jì)結(jié)果模型整體檢驗(yàn)表明，兩因子狀態(tài)空間模型值得信賴。進(jìn)一步，結(jié)合Bootstrap仿真技術(shù)處理小樣本的優(yōu)勢(shì)，采用生存年金折現(xiàn)模型對(duì)不同性別情形下長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的重要性分別測(cè)度，結(jié)果顯示，微觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)可以通過(guò)組合規(guī)模的擴(kuò)大加以消除，而宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)不可分散。同時(shí)，宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)占據(jù)不可分散風(fēng)險(xiǎn)的主導(dǎo)地位，貢獻(xiàn)率高達(dá)75%（男性）和95%（女性）。

因此，年金產(chǎn)品定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)管理要充分考慮長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，特別是宏觀長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)，年金的價(jià)格應(yīng)該包含這部分風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。

參考文獻(xiàn)：

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[17]Babbs S H， Nowman K B. Kalman filtering of generalized vasicek term structure models [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1999，（34）： 115-130.

（責(zé)任編輯：毋 虞）

A Two Factor State space Model for Stochastic

Mortality and Longevity Risk Measurement

HE Ying yuan1， 2，LIU Guan chun1

（1.School of Business， Central South University， Changsha， Hunan 410083，China；

2. Department of Business Administration， Changsha University， Changsha， Hunan 410085，China）

Abstract：To model the fitting and forecasting stages of traditional CBD method jointly， we formulate a state space framework， and use the Kalman filtering technique to estimate it. Further， considering the small sample characteristics of mortality data， we propose an approach to measuring longevity risk by combining Bootstrap simulation and portfolios of life annuities. Specifically， longevity risk includes micro /macro longevity risk， and parameter risk. Empirical results of Chinese mortality show that the new model is superior to the traditional CBD model in terms of model explanation power， estimation accuracy and normal distribution tests for errors. The expansion of annuity portfolio can eliminate the micro longevity risk， but it cannot eliminate the macro longevity risk and the parameter risk.Meanwhile， the macro longevity risk dominates the non removable risk.

Key words：State space model； Kalman filtering； Bootstrap simulation； Longevity risk

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[17]Babbs S H， Nowman K B. Kalman filtering of generalized vasicek term structure models [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1999，（34）： 115-130.

（責(zé)任編輯：毋 虞）

A Two Factor State space Model for Stochastic

Mortality and Longevity Risk Measurement

HE Ying yuan1， 2，LIU Guan chun1

（1.School of Business， Central South University， Changsha， Hunan 410083，China；

2. Department of Business Administration， Changsha University， Changsha， Hunan 410085，China）

Abstract：To model the fitting and forecasting stages of traditional CBD method jointly， we formulate a state space framework， and use the Kalman filtering technique to estimate it. Further， considering the small sample characteristics of mortality data， we propose an approach to measuring longevity risk by combining Bootstrap simulation and portfolios of life annuities. Specifically， longevity risk includes micro /macro longevity risk， and parameter risk. Empirical results of Chinese mortality show that the new model is superior to the traditional CBD model in terms of model explanation power， estimation accuracy and normal distribution tests for errors. The expansion of annuity portfolio can eliminate the micro longevity risk， but it cannot eliminate the macro longevity risk and the parameter risk.Meanwhile， the macro longevity risk dominates the non removable risk.

Key words：State space model； Kalman filtering； Bootstrap simulation； Longevity risk

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[16]張穎， 黃順森. 基于隨機(jī)死亡率與利率模型下的生存年金組合風(fēng)險(xiǎn)分析[J]. 系統(tǒng)工程， 2010， 28（9）： 15-19.

[17]Babbs S H， Nowman K B. Kalman filtering of generalized vasicek term structure models [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1999，（34）： 115-130.

（責(zé)任編輯：毋 虞）

A Two Factor State space Model for Stochastic

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（1.School of Business， Central South University， Changsha， Hunan 410083，China；

2. Department of Business Administration， Changsha University， Changsha， Hunan 410085，China）

Abstract：To model the fitting and forecasting stages of traditional CBD method jointly， we formulate a state space framework， and use the Kalman filtering technique to estimate it. Further， considering the small sample characteristics of mortality data， we propose an approach to measuring longevity risk by combining Bootstrap simulation and portfolios of life annuities. Specifically， longevity risk includes micro /macro longevity risk， and parameter risk. Empirical results of Chinese mortality show that the new model is superior to the traditional CBD model in terms of model explanation power， estimation accuracy and normal distribution tests for errors. The expansion of annuity portfolio can eliminate the micro longevity risk， but it cannot eliminate the macro longevity risk and the parameter risk.Meanwhile， the macro longevity risk dominates the non removable risk.

Key words：State space model； Kalman filtering； Bootstrap simulation； Longevity risk