例說洛比達(dá)法則在求極限中的應(yīng)用

喻禮才

摘 要：洛比達(dá)法則對于有些不能運(yùn)用常規(guī)方法求解的極限運(yùn)算，是一種簡便有效的方法。如對“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等七種未定式極限運(yùn)算。本文通過例題，針對各種未定型極限函數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行了深入的分析，以期提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：洛比達(dá)法則；未定式極限；求解；應(yīng)用

我們已經(jīng)掌握了一些求極限的方法，對于有些不能運(yùn)用常規(guī)方法求解的極限運(yùn)算，如對“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等未定式極限運(yùn)算，本文介紹并分析一種簡便、有效的計算函數(shù)極限的方法——洛比達(dá)（LHospital）法則及其應(yīng)用。

把兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限稱為“■”型或“■”型未定式的極限。洛比達(dá)法則就是以導(dǎo)數(shù)為工具求未定式的極限方法。

洛比達(dá)法則：若f（x）、g（x）滿足：

（1）■f（x）=■g（x）=0或（∞）；

（2）在a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g'（x）≠0；

（3）■■=A（A可為常數(shù)，也可為無窮大），則

■■=■■=A

這種在一定條件下，通過分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛比達(dá)法則。

一、洛比達(dá)法則在求未定式■極限中的應(yīng)用

例1.求極限■■

提示：這是求x→a時未定式■的極限。

解：原式=■■=■■=■■=■

例2.求極限■■

提示：這是求x→∞時未定式■的極限。

解：原式=■■=■■=■■=1

小結(jié)：求“■”型未定式的極限直接利用洛比達(dá)法則，若利用一次還是“■”型未定式，可以多次利用洛比達(dá)法則，直至得出結(jié)果。

二、洛比達(dá)法則在求未定式■極限中的應(yīng)用

例3.求極限■■

提示：這是求x→a時未定式■的極限。

解：原式=■■=-■■■

=-■■■=2■cos2x=-2

小結(jié)：（1）■及■型不定式在使用洛比達(dá)法則后，可能相互轉(zhuǎn)化，可多次利用洛比達(dá)法則，直至得出結(jié)果。

（2）洛比達(dá)法則是求未定式極限的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用，能化簡時應(yīng)盡可能先化簡。

三、洛比達(dá)法則在求未定式∞-∞，0·∞極限中的應(yīng)用

對于∞-∞，0·∞型未定式極限的計算，通常將它們化為■型或■型后，再利用洛比達(dá)法則求解，下面通過例題加以說明。

例4.求極限■（■-■）

提示：這是求x→a時未定式∞-∞的極限。

解：原式=■■=■■）

=■■=■■=■

小結(jié)：本題是求未定式∞-∞的極限，可先化為■或■未定式，再利用洛比達(dá)法則求解。

例5.求極限■xln（■）（a≠0）

提示：這是求x→∞時未定式∞·0的極限。

解：原式=■■=■■

=■■=■■=2a

小結(jié)：（1）未定式∞·0可化為∞·■=■或■·0=■，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。

（2）更加復(fù)雜的未定式的極限，一般還是可先化為■或■未定式，再利用洛比達(dá)法則求極限。

四、洛比達(dá)法則在求未定式1∞、00、∞0極限中的應(yīng)用

對于1∞、00、∞0型未定式極限的運(yùn)算，通常要進(jìn)行對數(shù)恒等變形或采用取對數(shù)再求極限的方法，下面通過例題加以說明。

例6.求極限■（x+■）■

提示：這是求x→∞時未定式∞0的極限，可以先求自然對數(shù)，再利用洛比達(dá)法則求極限。

解：令y=（x+■）■，等式兩邊取自然對數(shù)，則

lny=ln（x+■）■=■

因為■■=■■（1+■）

=■■=0

即■lny=0，得y=1

所以■（x+■）■=1

例7.求極限■（sinx）x

提示：此極限屬00型，可以運(yùn)用對數(shù)恒等變形y=elny，再對limlny求解。

解：■（sinx）x=■exlnsinx=e■xlnsinx，其中■xlnsinx

=■■=■■=-■■，

當(dāng)x→0+時，x～sinx，因此，上式=-■xcosx=0

所以■（sinx）x=e0=1

小結(jié)：在求解過程中，可以應(yīng)用等價無窮小替代，這樣可以使運(yùn)算簡化。

例8.求極限■（1+3x）■

解：此極限屬1∞型，由對數(shù)恒等式得（1+3x）■=e■ln（1+3x）

因為■■ln（1+3x）=■■=■■=3

所以■（1+3x）■=e3

小結(jié)：求1∞、00、∞0型未定式極限要先取自然對數(shù)，再化為■或■型。具體如下：

（1）未定式1∞可以先取自然對數(shù)，化為ln1∞，而ln1∞=∞·ln1

=∞·0，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。若ln1∞極限為a，則1∞極限為ea。

（2）未定式00可以先取自然對數(shù)，化為ln00，而ln00=0·ln0

=0·∞，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。若ln00極限為a，則00極限為ea。

（3）未定式∞0可以先取自然對數(shù)，化為ln∞0，而ln∞0=0·ln∞，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。若ln∞0極限為a，則∞0極限為ea。

總之，洛比達(dá)法則則適用于“■”型或“■”型未定式的極限運(yùn)算，“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等各種未定式極限可以通過其他計算手段轉(zhuǎn)化為“■”型或“■”型。在運(yùn)算過程中，可多次使用洛比達(dá)法則，直至成為定式極限，若極限已存在，則可直接得出結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉志高，胡章柱，主編.高等數(shù)學(xué)[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2013.

[2]汪志宏，田俊峰，胡貴安.高等數(shù)學(xué)學(xué)考指要（上冊）[M].西安：西北大學(xué)工業(yè)出版社，2006.

摘 要：洛比達(dá)法則對于有些不能運(yùn)用常規(guī)方法求解的極限運(yùn)算，是一種簡便有效的方法。如對“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等七種未定式極限運(yùn)算。本文通過例題，針對各種未定型極限函數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行了深入的分析，以期提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：洛比達(dá)法則；未定式極限；求解；應(yīng)用

我們已經(jīng)掌握了一些求極限的方法，對于有些不能運(yùn)用常規(guī)方法求解的極限運(yùn)算，如對“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等未定式極限運(yùn)算，本文介紹并分析一種簡便、有效的計算函數(shù)極限的方法——洛比達(dá)（LHospital）法則及其應(yīng)用。

把兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限稱為“■”型或“■”型未定式的極限。洛比達(dá)法則就是以導(dǎo)數(shù)為工具求未定式的極限方法。

洛比達(dá)法則：若f（x）、g（x）滿足：

（1）■f（x）=■g（x）=0或（∞）；

（2）在a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g'（x）≠0；

（3）■■=A（A可為常數(shù)，也可為無窮大），則

■■=■■=A

這種在一定條件下，通過分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛比達(dá)法則。

一、洛比達(dá)法則在求未定式■極限中的應(yīng)用

例1.求極限■■

提示：這是求x→a時未定式■的極限。

解：原式=■■=■■=■■=■

例2.求極限■■

提示：這是求x→∞時未定式■的極限。

解：原式=■■=■■=■■=1

小結(jié)：求“■”型未定式的極限直接利用洛比達(dá)法則，若利用一次還是“■”型未定式，可以多次利用洛比達(dá)法則，直至得出結(jié)果。

二、洛比達(dá)法則在求未定式■極限中的應(yīng)用

例3.求極限■■

提示：這是求x→a時未定式■的極限。

解：原式=■■=-■■■

=-■■■=2■cos2x=-2

小結(jié)：（1）■及■型不定式在使用洛比達(dá)法則后，可能相互轉(zhuǎn)化，可多次利用洛比達(dá)法則，直至得出結(jié)果。

（2）洛比達(dá)法則是求未定式極限的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用，能化簡時應(yīng)盡可能先化簡。

三、洛比達(dá)法則在求未定式∞-∞，0·∞極限中的應(yīng)用

對于∞-∞，0·∞型未定式極限的計算，通常將它們化為■型或■型后，再利用洛比達(dá)法則求解，下面通過例題加以說明。

例4.求極限■（■-■）

提示：這是求x→a時未定式∞-∞的極限。

解：原式=■■=■■）

=■■=■■=■

小結(jié)：本題是求未定式∞-∞的極限，可先化為■或■未定式，再利用洛比達(dá)法則求解。

例5.求極限■xln（■）（a≠0）

提示：這是求x→∞時未定式∞·0的極限。

解：原式=■■=■■

=■■=■■=2a

小結(jié)：（1）未定式∞·0可化為∞·■=■或■·0=■，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。

（2）更加復(fù)雜的未定式的極限，一般還是可先化為■或■未定式，再利用洛比達(dá)法則求極限。

四、洛比達(dá)法則在求未定式1∞、00、∞0極限中的應(yīng)用

對于1∞、00、∞0型未定式極限的運(yùn)算，通常要進(jìn)行對數(shù)恒等變形或采用取對數(shù)再求極限的方法，下面通過例題加以說明。

例6.求極限■（x+■）■

提示：這是求x→∞時未定式∞0的極限，可以先求自然對數(shù)，再利用洛比達(dá)法則求極限。

解：令y=（x+■）■，等式兩邊取自然對數(shù)，則

lny=ln（x+■）■=■

因為■■=■■（1+■）

=■■=0

即■lny=0，得y=1

所以■（x+■）■=1

例7.求極限■（sinx）x

提示：此極限屬00型，可以運(yùn)用對數(shù)恒等變形y=elny，再對limlny求解。

解：■（sinx）x=■exlnsinx=e■xlnsinx，其中■xlnsinx

=■■=■■=-■■，

當(dāng)x→0+時，x～sinx，因此，上式=-■xcosx=0

所以■（sinx）x=e0=1

小結(jié)：在求解過程中，可以應(yīng)用等價無窮小替代，這樣可以使運(yùn)算簡化。

例8.求極限■（1+3x）■

解：此極限屬1∞型，由對數(shù)恒等式得（1+3x）■=e■ln（1+3x）

因為■■ln（1+3x）=■■=■■=3

所以■（1+3x）■=e3

小結(jié)：求1∞、00、∞0型未定式極限要先取自然對數(shù)，再化為■或■型。具體如下：

（1）未定式1∞可以先取自然對數(shù)，化為ln1∞，而ln1∞=∞·ln1

=∞·0，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。若ln1∞極限為a，則1∞極限為ea。

（2）未定式00可以先取自然對數(shù)，化為ln00，而ln00=0·ln0

=0·∞，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。若ln00極限為a，則00極限為ea。

（3）未定式∞0可以先取自然對數(shù)，化為ln∞0，而ln∞0=0·ln∞，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。若ln∞0極限為a，則∞0極限為ea。

總之，洛比達(dá)法則則適用于“■”型或“■”型未定式的極限運(yùn)算，“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等各種未定式極限可以通過其他計算手段轉(zhuǎn)化為“■”型或“■”型。在運(yùn)算過程中，可多次使用洛比達(dá)法則，直至成為定式極限，若極限已存在，則可直接得出結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉志高，胡章柱，主編.高等數(shù)學(xué)[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2013.

[2]汪志宏，田俊峰，胡貴安.高等數(shù)學(xué)學(xué)考指要（上冊）[M].西安：西北大學(xué)工業(yè)出版社，2006.

摘 要：洛比達(dá)法則對于有些不能運(yùn)用常規(guī)方法求解的極限運(yùn)算，是一種簡便有效的方法。如對“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等七種未定式極限運(yùn)算。本文通過例題，針對各種未定型極限函數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行了深入的分析，以期提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞：洛比達(dá)法則；未定式極限；求解；應(yīng)用

我們已經(jīng)掌握了一些求極限的方法，對于有些不能運(yùn)用常規(guī)方法求解的極限運(yùn)算，如對“■”型、“■”型、“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等未定式極限運(yùn)算，本文介紹并分析一種簡便、有效的計算函數(shù)極限的方法——洛比達(dá)（LHospital）法則及其應(yīng)用。

把兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限稱為“■”型或“■”型未定式的極限。洛比達(dá)法則就是以導(dǎo)數(shù)為工具求未定式的極限方法。

洛比達(dá)法則：若f（x）、g（x）滿足：

（1）■f（x）=■g（x）=0或（∞）；

（2）在a的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g'（x）≠0；

（3）■■=A（A可為常數(shù)，也可為無窮大），則

■■=■■=A

這種在一定條件下，通過分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛比達(dá)法則。

一、洛比達(dá)法則在求未定式■極限中的應(yīng)用

例1.求極限■■

提示：這是求x→a時未定式■的極限。

解：原式=■■=■■=■■=■

例2.求極限■■

提示：這是求x→∞時未定式■的極限。

解：原式=■■=■■=■■=1

小結(jié)：求“■”型未定式的極限直接利用洛比達(dá)法則，若利用一次還是“■”型未定式，可以多次利用洛比達(dá)法則，直至得出結(jié)果。

二、洛比達(dá)法則在求未定式■極限中的應(yīng)用

例3.求極限■■

提示：這是求x→a時未定式■的極限。

解：原式=■■=-■■■

=-■■■=2■cos2x=-2

小結(jié)：（1）■及■型不定式在使用洛比達(dá)法則后，可能相互轉(zhuǎn)化，可多次利用洛比達(dá)法則，直至得出結(jié)果。

（2）洛比達(dá)法則是求未定式極限的一種有效方法，但最好能與其他求極限的方法結(jié)合使用，能化簡時應(yīng)盡可能先化簡。

三、洛比達(dá)法則在求未定式∞-∞，0·∞極限中的應(yīng)用

對于∞-∞，0·∞型未定式極限的計算，通常將它們化為■型或■型后，再利用洛比達(dá)法則求解，下面通過例題加以說明。

例4.求極限■（■-■）

提示：這是求x→a時未定式∞-∞的極限。

解：原式=■■=■■）

=■■=■■=■

小結(jié)：本題是求未定式∞-∞的極限，可先化為■或■未定式，再利用洛比達(dá)法則求解。

例5.求極限■xln（■）（a≠0）

提示：這是求x→∞時未定式∞·0的極限。

解：原式=■■=■■

=■■=■■=2a

小結(jié)：（1）未定式∞·0可化為∞·■=■或■·0=■，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。

（2）更加復(fù)雜的未定式的極限，一般還是可先化為■或■未定式，再利用洛比達(dá)法則求極限。

四、洛比達(dá)法則在求未定式1∞、00、∞0極限中的應(yīng)用

對于1∞、00、∞0型未定式極限的運(yùn)算，通常要進(jìn)行對數(shù)恒等變形或采用取對數(shù)再求極限的方法，下面通過例題加以說明。

例6.求極限■（x+■）■

提示：這是求x→∞時未定式∞0的極限，可以先求自然對數(shù)，再利用洛比達(dá)法則求極限。

解：令y=（x+■）■，等式兩邊取自然對數(shù)，則

lny=ln（x+■）■=■

因為■■=■■（1+■）

=■■=0

即■lny=0，得y=1

所以■（x+■）■=1

例7.求極限■（sinx）x

提示：此極限屬00型，可以運(yùn)用對數(shù)恒等變形y=elny，再對limlny求解。

解：■（sinx）x=■exlnsinx=e■xlnsinx，其中■xlnsinx

=■■=■■=-■■，

當(dāng)x→0+時，x～sinx，因此，上式=-■xcosx=0

所以■（sinx）x=e0=1

小結(jié)：在求解過程中，可以應(yīng)用等價無窮小替代，這樣可以使運(yùn)算簡化。

例8.求極限■（1+3x）■

解：此極限屬1∞型，由對數(shù)恒等式得（1+3x）■=e■ln（1+3x）

因為■■ln（1+3x）=■■=■■=3

所以■（1+3x）■=e3

小結(jié)：求1∞、00、∞0型未定式極限要先取自然對數(shù)，再化為■或■型。具體如下：

（1）未定式1∞可以先取自然對數(shù)，化為ln1∞，而ln1∞=∞·ln1

=∞·0，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。若ln1∞極限為a，則1∞極限為ea。

（2）未定式00可以先取自然對數(shù)，化為ln00，而ln00=0·ln0

=0·∞，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。若ln00極限為a，則00極限為ea。

（3）未定式∞0可以先取自然對數(shù)，化為ln∞0，而ln∞0=0·ln∞，此處“0”為無窮小，“∞”為無窮大。若ln∞0極限為a，則∞0極限為ea。

總之，洛比達(dá)法則則適用于“■”型或“■”型未定式的極限運(yùn)算，“0·∞”型、“∞-∞”型、“1∞”型、“∞0”型、“00”型等各種未定式極限可以通過其他計算手段轉(zhuǎn)化為“■”型或“■”型。在運(yùn)算過程中，可多次使用洛比達(dá)法則，直至成為定式極限，若極限已存在，則可直接得出結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉志高，胡章柱，主編.高等數(shù)學(xué)[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2013.

[2]汪志宏，田俊峰，胡貴安.高等數(shù)學(xué)學(xué)考指要（上冊）[M].西安：西北大學(xué)工業(yè)出版社，2006.