基于觀測(cè)器的LMI振動(dòng)控制算法

王露健，周星德，秦飛馬，張 翔，李勇直

(河海大學(xué)土木與交通學(xué)院，江蘇南京 210098)

振動(dòng)主動(dòng)控制中的系統(tǒng)模型只是實(shí)際物理系統(tǒng)的一個(gè)近似，模型誤差存在必然會(huì)降低控制系統(tǒng)的功能;由于系統(tǒng)的狀態(tài)不可測(cè)或不易觀測(cè)，測(cè)量結(jié)果可能受噪聲干擾，必須采用觀測(cè)器來進(jìn)行狀態(tài)變量估計(jì)［1-3］?；谟^測(cè)器的狀態(tài)變量估計(jì)是振動(dòng)主動(dòng)控制技術(shù)應(yīng)用于實(shí)際的關(guān)鍵，而觀測(cè)變量個(gè)數(shù)往往少于狀態(tài)變量個(gè)數(shù)，導(dǎo)致狀態(tài)變量估計(jì)值出現(xiàn)較大誤差。為了實(shí)現(xiàn)振動(dòng)主動(dòng)控制的目的，控制器設(shè)計(jì)需滿足穩(wěn)定性要求。目前，多數(shù)控制器設(shè)計(jì)利用Lyapunov穩(wěn)定性原理來保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性［4-5］。此外，控制器設(shè)計(jì)還要滿足一定的性能指標(biāo)及約束條件。隨著振動(dòng)控制策略研究的深入，設(shè)計(jì)中往往存在多個(gè)約束條件，同時(shí)各個(gè)約束條件之間相互制約，因而線性矩陣不等式(LMI)得到了應(yīng)用［6-11］。但在實(shí)際的應(yīng)用過程中，含多個(gè)未知參數(shù)的LMI求解存在缺陷，因此，筆者以文獻(xiàn)［12］作為參考對(duì)基準(zhǔn)建筑物進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并對(duì)由約束條件及性能指標(biāo)構(gòu)造的含2個(gè)未知參數(shù)的LMI求解做出改進(jìn)。

1 控制器設(shè)計(jì)

建立狀態(tài)方程如下:

式中:xp——2r×1維狀態(tài)矢量;t——時(shí)間變量;A——2r×2r維矩陣;D——2r×g 維矩陣;u——作動(dòng)器控制力向量;E——2r×1維矩陣——地震波加速度。

以位移作為控制輸出矢量:

式中:H——q×2r維輸出矩陣(q為控制輸出的狀態(tài)變量數(shù)目)。

采用Kalman濾波器進(jìn)行狀態(tài)變量估計(jì)，設(shè)測(cè)量方程與控制輸出方程一致，最優(yōu)估計(jì)如下:

其中

由于地震波是未知的，在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)采用不考慮地震外激勵(lì)的模式。誤差函數(shù)定義為

其導(dǎo)數(shù)為

對(duì)照文獻(xiàn)［12］，本文不存在參考模型，故將控制力的表達(dá)式定義為

式中:γ——正數(shù);P——相應(yīng)維數(shù)的正定矩陣。

為保證控制力作用下系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構(gòu)建Lyapunov函數(shù)

對(duì)其求導(dǎo)，簡(jiǎn)記為如下二次型形式:

其中

Basher［12］提出基于觀測(cè)器的LMI控制方法，要求矩陣Q＜0，滿足穩(wěn)定性，但未給出P和γ的確定方法。同時(shí)確定P和γ是很困難的，此外，考慮到‖P‖和γ的數(shù)量級(jí)問題，本文提出如下優(yōu)化模型:

在求解策略方面，提出通過給定P來優(yōu)化γ的方案;為了保證‖P‖和γ數(shù)量級(jí)一致，可以對(duì)角矩陣的方式給出初值P;筆者通過調(diào)試，發(fā)現(xiàn)采用單位矩陣作為初值P是一個(gè)較優(yōu)的選擇。具體求解過程如下:(a)令P=I(I為相應(yīng)維數(shù)的單位矩陣);(b)通過式(9)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，確定目標(biāo)函數(shù)J;(c)利用式(6)確定控制力，在進(jìn)行仿真分析時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)u=γDTPxz不能達(dá)到很好的控制效果，進(jìn)而根據(jù)實(shí)際控制要求來確定調(diào)節(jié)因子β。最終得到控制力的表達(dá)式為

2 實(shí)例分析

有關(guān)3層基準(zhǔn)建筑物的詳細(xì)定義、截面尺寸及節(jié)點(diǎn)劃分可參閱文獻(xiàn)［13］。

每個(gè)節(jié)點(diǎn)考慮水平、豎直和轉(zhuǎn)動(dòng)共3個(gè)自由度，整個(gè)結(jié)構(gòu)共計(jì)60個(gè)自由度，去掉約束后還有45個(gè)自由度。在地震作用下的振動(dòng)方程可表示為

式中:M、C、K——建筑物質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，均為45×45階矩陣;?！卣鹱饔玫奈恢镁仃?¨xg——地震波加速度;B——作動(dòng)器定位矩陣，為45×p階矩陣;u——p×1維控制力矢量(p為作動(dòng)器數(shù)目)［14］。

為了驗(yàn)證本文方法的可行性，對(duì)3層基準(zhǔn)建筑物進(jìn)行仿真。地震波采用Kobe波，時(shí)間歷程取為50 s。樓層1布置2個(gè)相同的作動(dòng)器，樓層2和樓層3各布置1個(gè)作動(dòng)器?？刂戚敵鰳菍?和樓層3的位移。

由于3層基準(zhǔn)建筑物的自由度數(shù)目比較多，本例中取前5階模態(tài)進(jìn)行降階計(jì)算［15-16］。前5階自然頻率為0.99 Hz、3.06 Hz、5.83 Hz、7.23 Hz、9.97 Hz。

式(1)的狀態(tài)方程中xp為10×1維狀態(tài)矢量，A、D、E分別為10×10、10×2、10×1維矩陣。式(2)中H為2 ×10 維輸出矩陣，其中 H(1，2)=1，H(2，3)=1，其余均為0。

通過求解器，得到Kalman濾波器的增益矩陣L，從而得到所有狀態(tài)變量的估計(jì)值。

再通過優(yōu)化模型(式(9))的求解，得到J=0.7。然后經(jīng)過反復(fù)調(diào)試，得到較優(yōu)的調(diào)節(jié)因子β=1013，從而得到最終的控制律α:

最后給出控制前后樓層2和樓層3的位移響應(yīng)及作動(dòng)器控制力的時(shí)程曲線，見圖1、圖2。

圖1 控制前后的位移時(shí)程曲線Fig.1 Displacement time histories before and after control

圖2 作動(dòng)器控制力時(shí)程曲線Fig.2 Control time histories of actuator

3 結(jié) 語

以3層基準(zhǔn)建筑物為研究對(duì)象，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定并滿足約束條件的限制下，建立了含有2個(gè)未知參數(shù)的線性矩陣不等式，通過對(duì)不等式求解，得到較優(yōu)的性能指標(biāo)，并在不斷的調(diào)試下得到最終的控制律。從仿真結(jié)果看，本文方法具有較好的控制效果。

［1］GONZALEZ R，F(xiàn)IACCHINI M，RODRIGUEZ F，et al.Adaptive control for a mobile robot under slip conditions using an LMI-based approach ［J］.European Journal of Control，2010，16(2):144-155.

［2］KARIMI H R.Observer-based mixed H2/H∞control design for linear systems with time-varying delays:an LMI approach［J］.International Journal of Control Automation and Systems，2008，6(1):1-14.

［3］韋俊青.基于狀態(tài)觀測(cè)器的不確定性線性系統(tǒng)魯棒控制研究［D］.廣州:廣東工業(yè)大學(xué)，2013.

［4］SATHANANTHAN S，KNAP M J，STRONG A，et al.Robust stability and stabilization of a class of nonlinear discrete time stochastic systems:an LMI approach［J］.Applied Mathematics and Computation，2012，219(4):1988-1997.

［5］YANG Xikai.Observer-based anti-windup compensator design for saturated control systems using an LMI approach［J］.Computer＆ Mathematics with Applications，2012，64(5):747-758.

［6］ZHANG Qingjiang，YE Sijun.An enhanced LMI approach for mixed H-2/H-infinity flight tracking control［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2011，24(3):324-328.

［7］ZHANG Kuanyu.Multi-objective control for stochastic model reference systems based on LMI approach and sliding mode control concept［J］.International Journal of Systems Science，2013，44(4):739-749.

［8］李文章，吳凌堯，郭雷.基于LMI的結(jié)構(gòu)振動(dòng)魯棒H∞控制［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2008，21(2):157-161.(LI Wenzhang，WU Lingyao，GUO Lei.Robust H∞ control of structural vibration based on LMI［J］.Journal of Vibration Engineering，2008，21(2):157-161.(in Chinese))

［9］KARIMI H R，GAO Huijun.LMI-based H-infinity synchronization of second-order neutral master-slave systems using delayed output feedback control［J］.International Journal of Control Automation and Systems，2009，7(3):371-380.

［10］BAI Mingchang.Robust control of uncertain time-delay systems via sliding mode control and LMI-H(infinity)technique［J］.Journal of Marine Science and Technology-Taiwan，2008，16(1):1-7.

［11］LIAN Changhua，YU Kewei.LMI optimization approach on robustness and H-infinity control analysis for observer-based control of uncertain systems［J］.Solitons ＆ Fractals，2008，36(3):617-627.

［12］BASHER H A.An LMI approach for observer based model reference control［C］//IEEE SoutheastCon-Proceedings.Jacksonville，F(xiàn)L:IEEE Jacksonville Sect，2013:1-5.

［13］OHTORI Y，CHRISTENSON R E，SPENCER B F，et al.Benchmark control problems for seismically excited nonlinear buildings［J］.Engineering Mechanics，2004，130(4):366-385.

［14］周星德，陳國榮.3層基準(zhǔn)建筑物地震激勵(lì)多目標(biāo)控制［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2006，19(3):394-398.(ZHOU Xingde，CHEN Guorong.Multiobjective control for earthquak-excited 3-storey benchmark buildings［J］.Journal of Vibration Engineering，2006，19(3):394-398.(in Chinese))

［15］周星德，姜冬菊.結(jié)構(gòu)振動(dòng)主動(dòng)控制［M］.北京:科學(xué)出版社，2009.

［16］蔣楊，周星德，王玉，等.基于分?jǐn)?shù)階的建筑結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)控制方法［J］.河海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，39(5):556-560.(JIANG Yang，ZHOU Xingde，WANG Yu，et al.Predictive control method of building structure based on fractional order［J］.Journal of Hohai University:Natural Sciences，2011，39(5):556-560.(in Chinese))