降雨在時(shí)間分布的多重分形特征及對(duì)泥石流預(yù)測(cè)的指示

王春山

(成都地質(zhì)礦產(chǎn)研究所，中國(guó)成都 610081)

定量研究降雨的時(shí)空分布特征是泥石流發(fā)生時(shí)預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)的基礎(chǔ).雖然泥石流的時(shí)空預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)一直都是研究者的關(guān)注點(diǎn)，并且取得了豐富的研究成果［1-4］，但在泥石流的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)實(shí)踐中其準(zhǔn)確性仍然是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題，尤其是在時(shí)間的預(yù)測(cè)方面.這主要是由于降雨在時(shí)空的不均勻性和隨機(jī)性造成的.如何才能在無(wú)序的降雨過(guò)程中總結(jié)出觸發(fā)泥石流的規(guī)律呢?上世紀(jì)70年代中期由伯努瓦·B·曼德布羅特創(chuàng)立的分形理論［5］將為解決這一問(wèn)題提供一條好的途徑.分形理論的研究對(duì)象為自然界和社會(huì)活動(dòng)中廣泛存在的無(wú)序而具有自相似性的系統(tǒng)，分形理論借助相似性原理為人們提供了一種新方法.但在大多數(shù)的物理現(xiàn)象中一致分形的描述過(guò)于簡(jiǎn)單化，一些復(fù)雜的系統(tǒng)的行為主要取決于某個(gè)物理量的空間(時(shí)間)分布，它表現(xiàn)的自相似性特征也是局域性的，具有空間(時(shí)間)分布的特征，如本文要討論的降雨.因此多重分形理論便孕育而生，它是多個(gè)單分形在空間上的纏結(jié)、鑲嵌，是分形科學(xué)的重要發(fā)展.許多學(xué)者在近三十年間將多重分形在環(huán)境學(xué)［6-7］、經(jīng)濟(jì)學(xué)［8-9］、地震學(xué)［10］和巖石力學(xué)［11-13］等領(lǐng)域中進(jìn)行了深入的研究和應(yīng)用，并取得了重要的進(jìn)展和豐碩的成果，但在泥石流預(yù)測(cè)預(yù)警中的應(yīng)用還處于起步階段.分析特定溝谷降雨活動(dòng)的多重分形性質(zhì)，可以為我們揭示泥石流系統(tǒng)孕育、生長(zhǎng)、觸發(fā)的動(dòng)態(tài)演化特征.本文采用多重分形指數(shù)譜來(lái)描述泥石流發(fā)生前后降雨活動(dòng)在時(shí)間分布的分形結(jié)構(gòu)，探討了泥石流多重分形的預(yù)測(cè)意義.

1 多重分形的理論及計(jì)算方法

1.1 分形和多重分形

如果第i個(gè)盒子包含有一個(gè)α類型奇異性，則［pi(l)］q≈lqα.

因?yàn)棣令愋推娈愋允嵌x在具有分形維數(shù)f(α)的幾何上，包含這類奇異性的盒子數(shù)目應(yīng)當(dāng)滿足分項(xiàng)分部，及隨 lf(α)而變化.定義 n(α，l)為尺寸 l的盒子內(nèi)含 α 類型奇異性的密度，則n(α，l)dα =p(α)l－f(α)dα，其中ρ(α)dα為分割尺寸變化時(shí)分形子集變化的數(shù)目.由此便可通過(guò)積分計(jì)算出函數(shù)z(q，l)，z(q，l)=∑［每個(gè)含 α 類型奇異性盒子的概率］q= ∫ρ(α)dαl－f(α)lτ(q).

1.2 多重分形的計(jì)算方法

多重分形函數(shù)的計(jì)算方法有很多，如矩方法、直方圖法、小波法、乘數(shù)法，以及二次維矩方法等，而矩方法是其中最常用的方法［14］.本研究采用矩方法進(jìn)行計(jì)算，具體步驟如下:

(1)對(duì)不同尺度下的數(shù)據(jù)構(gòu)建測(cè)度函數(shù)μ=pi(l)/∑pi(l)，其中pi為某一劃分尺度下第i個(gè)劃分區(qū)間內(nèi)雨量的總和，∑pi(l)為評(píng)價(jià)之間段內(nèi)總雨量;

(3)求解質(zhì)量指數(shù)τ(q)，將z(ε)與ε在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上繪出映射圖，圖形斜率就是質(zhì)量指數(shù)τ(q);

(4)計(jì)算Holder奇異指數(shù)α(q)=dτ(q)/dq;

(5)利用公式1計(jì)算分形譜f(α).

1.3 降雨資料的多重分形處理

為研究降雨的變化特征與多重分形維數(shù)演化特征的關(guān)系，將研究時(shí)間段內(nèi)的降雨量按照自然時(shí)間單位進(jìn)行劃分，即7 d、1 d、12 h、6 h、3 h、1 h、30 min和10 min，然后對(duì)各尺度內(nèi)的雨量分布特征進(jìn)行多重分形維數(shù)計(jì)算.因此本文中某日的降雨多重分形值是指由當(dāng)日之前7天(包括當(dāng)日)內(nèi)雨量值計(jì)算的多重分形值.

2 降雨時(shí)間分布的自相似性分析

謝和平在專著《分形-巖石力學(xué)導(dǎo)論》［12］中引出多重分形學(xué)時(shí)，利用了具有密度和質(zhì)量的初始元重新構(gòu)造了Cantor集，在質(zhì)量守恒的情況下按照一定規(guī)則分割、壓縮初始元，形成一個(gè)多重分形集.而某一時(shí)間段的降雨情況則與Cantor集的情形相似，按照不同的時(shí)間間隔對(duì)雨量進(jìn)行劃分，可得到雨量的多重分形集.圖1為2013年7月12日的雨量多重分形集，由此可以看出在特定時(shí)間內(nèi)的降雨量具有多重分形特征.

圖1 7月12日降雨量的多重分形集Fig.1 Multi fractal set rainfall in 12th July

3 降雨多重分形演化及泥石流演化預(yù)測(cè)

3.1 研究區(qū)概況及泥石流災(zāi)害

研究區(qū)域熱水溝位于四川省甘孜州海螺溝風(fēng)景區(qū)的中上游，溝口處為二號(hào)營(yíng)地及熱水溝溫泉游泳池.最高點(diǎn)為5 888 m，最低點(diǎn)為2 425 m，相對(duì)高差為3 463 m，主溝床平均縱比降為343.3‰.山坡坡度一般為30°～36°，最大達(dá)53°.洪水期一般為每年的6～9月.上游主要分布中細(xì)粒似斑狀黑云母花崗巖，中下游主要分布二疊系及第四系地層，主要為下二疊統(tǒng)中段灰?guī)r、白云巖、石英片巖，下二疊統(tǒng)上段大理巖夾云母石英片巖，上二疊統(tǒng)綠片巖、石英巖夾板巖、大理巖及冰川堆積.受磨西斷裂帶的影響，區(qū)內(nèi)構(gòu)造較為復(fù)雜.

7月12日23點(diǎn)30分至13日0點(diǎn)左右，瀘定縣磨西鎮(zhèn)海螺溝風(fēng)景區(qū)的3號(hào)營(yíng)地發(fā)生了泥石流，該次泥石流規(guī)模較大，約12萬(wàn)m3，雖無(wú)人員傷亡，但造成了嚴(yán)重的損失.此次泥石流的發(fā)生主要是由連續(xù)的長(zhǎng)時(shí)間降雨引起山體滑坡潰壩導(dǎo)致.由于在熱水溝流域布置了監(jiān)測(cè)設(shè)備，因此完整地記錄了該次泥石流發(fā)生時(shí)以及之前半個(gè)月的雨量資料.從7月8日到7月12日23點(diǎn)40分累計(jì)降雨達(dá)173.3 mm，其中7月10日24小時(shí)降雨量為60.7 mm，7月11日為33 mm，7月12日截至泥石流發(fā)生時(shí)降雨為26.9 mm.

3.2 降雨的多重分形譜特征

對(duì)于降雨時(shí)間段的劃分，不同學(xué)者有不同的劃分方法［15-16］，為了使本次的研究與前人的成果具有對(duì)比性，作者借鑒已有的劃分方法，利用多重分形的矩方法按照10 min、30 min、1 h、3 h、6 h、12 h和24 h這7個(gè)時(shí)間尺度對(duì)雨量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算.進(jìn)而得出7天內(nèi)熱水溝降雨量的多重分形特征譜曲線.然后以7天內(nèi)的降雨量作為初始元，由泥石流發(fā)生之日起向前推進(jìn)便可得到泥石流發(fā)生前不同時(shí)間段內(nèi)降雨的多重分形特征譜曲線.研究不同降雨情況的特征譜曲線，便可得到泥石流發(fā)生時(shí)的預(yù)測(cè)預(yù)警特征值.所以下文提到的某日降雨多重分形譜其實(shí)為該日和其前6日的降雨情況多重分形.

不同的q值表示不同的概率測(cè)度μi在分配函數(shù)z(ε)中所具有的比重.當(dāng)q為正值時(shí)，q越大則概率測(cè)度μi較大的部分所占的權(quán)重越大，是描述密集區(qū);當(dāng)q為負(fù)值時(shí)，q的絕對(duì)值越大則概率測(cè)度μi較小的部分所占的權(quán)重越大，是描述稀疏區(qū)［12］.在監(jiān)測(cè)預(yù)警中，最需要關(guān)注的是集中降雨過(guò)程(密集區(qū))特征，而對(duì)未降雨階段(稀疏區(qū))則可忽略，所以應(yīng)選擇q＞0的部分.已有學(xué)者論證得到了多重分形奇異譜的判定準(zhǔn)則，認(rèn)為合理的奇異譜曲線應(yīng)當(dāng)和直線f(α)=α相切［16］，即q=1.為此本研究的q值取1～99的正整數(shù)，通過(guò)計(jì)算得到6月22日～7月12日各7天時(shí)間段內(nèi)降雨的多重分形特征譜曲線(圖2).

按照熱水溝降雨分布圖(圖3)可將降雨分為分散降雨、小幅集中降雨、降雨停頓和臨災(zāi)降雨4種情況.

(1)分散降雨:6月29日和6月30日前降雨量較為分散，且雨量較少，在多重分形譜曲線上顯示有拖尾的特征.因此可以認(rèn)為再出現(xiàn)此種類型的多重分形譜圖形時(shí)將不會(huì)發(fā)生泥石流(圖4).

(2)小幅集中降雨:7月1—3日和7月4—5日出現(xiàn)了小幅集中降雨，由多重分形譜可以看出，曲線發(fā)生明顯的變化，已經(jīng)沒(méi)有拖尾的現(xiàn)象且曲線斜率變大(圖5).

圖2 數(shù)天雨量多重分形譜Fig.2 The curve with the fractal spectrums of rainfall of several days

圖3 熱水溝雨量曲線圖(10 min)Fig.3 The rainfall curve of Hot-water gully(10 minutes)

圖4 分散降雨多重分形譜Fig.4 The curve of scattered rainfal

圖5 小幅集中降雨多重分形譜Fig.5 The curve of small-scale rainfall

(3)降雨停頓:7月3日、7月6—7日為晴天，降雨量為零的情況，多重分形譜則近于重合.由此可以看出多重分形可以很好地表現(xiàn)降雨間歇時(shí)的情況(圖6).

(4)臨災(zāi)降雨:從7月8日下午4點(diǎn)開(kāi)始，集中的降雨開(kāi)始，期間并有短暫間歇.通過(guò)多重分形譜(圖7)可以看出，7月8—11日，其降雨特點(diǎn)較為相似，而分形譜也表現(xiàn)出相似的趨勢(shì)，只是隨著降雨時(shí)間的持續(xù)，赫德指數(shù)α逐漸變大;7月12日晚10點(diǎn)的集中降雨導(dǎo)致泥石流的發(fā)生，此時(shí)多重分形譜較其他曲線更接近線性.

3.3 泥石流演化預(yù)測(cè)分析

有學(xué)者［17］采用多重分形譜f(α)中的3個(gè)參數(shù)(B、Δα和Δf)研究了大氣污染物各年的多重分形譜的變化.其中Δα反映了標(biāo)度不變的情況下，整個(gè)分形結(jié)構(gòu)上概率測(cè)度分布不均勻性的程度和過(guò)程的復(fù)雜性，刻畫了數(shù)據(jù)集的波動(dòng)幅度，Δα越大，歸一化指數(shù)概率測(cè)度分布越不均勻，數(shù)據(jù)波動(dòng)越劇烈，對(duì)于降雨而言則表示降雨過(guò)程越強(qiáng)烈.Δf體現(xiàn)了標(biāo)度不變的情況下，歸一化指標(biāo)處于波峰、波谷位置數(shù)目的比例，Δf＜0表示歸一化指數(shù)更多地處于波谷，即晴天情況;Δf＞0，表示歸一化指數(shù)更多地處于波峰，即降雨階段，Δf越大則歸一化指數(shù)越接近波峰.B反映曲線的不對(duì)稱程度，由于本次研究的為曲線的一部分，不涉及曲線的對(duì)稱性.所以本次采用Δα和Δf來(lái)進(jìn)行多重分形譜的分析.本文中Δα和Δf為選取q為1和90兩個(gè)數(shù)值時(shí)α和f(α)的差值.

將6月29日至7月12日降雨過(guò)程得到的多重分形進(jìn)行計(jì)算得到Δα和Δf(表1).由表1可知，隨著降雨強(qiáng)度波動(dòng)幅度加大，Δα有逐漸變大的趨勢(shì)，前期的Δα的數(shù)值較大是因?yàn)樵缙谟休^為強(qiáng)烈的降雨過(guò)程，為此還需要參考Δf值.由Δf的變化可以看出隨著降雨強(qiáng)度的不斷加大，Δf值也在逐漸升高，中間受到幾個(gè)晴天的影響而略有起伏，直到泥石流爆發(fā)時(shí)Δf值突然猛增到0.8.由此可認(rèn)為熱水溝在Δα大于0.2，Δf接近0.8時(shí)將會(huì)發(fā)生泥石流災(zāi)害.

為了闡述的需要，文中的各條奇異譜曲線的時(shí)間間隔為24 h，在實(shí)際的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)中可以根據(jù)需要將該間隔縮短到1 h，甚至為10 min，進(jìn)而達(dá)到實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)的目的.

表1 Δα和Δf值統(tǒng)計(jì)表Tab.1 Statistical table of Δα and Δf

4 結(jié)論

本文利用多重分形理論對(duì)四川省甘孜州海螺溝風(fēng)景區(qū)中熱水溝7.12泥石流發(fā)生前近半個(gè)月的雨量資料進(jìn)行了整理計(jì)算，得到以下結(jié)論:

(1)降雨過(guò)程在有限的尺度內(nèi)具有自相似的特征，可以利用多重分形理論進(jìn)行研究和分析;

(2)不同的降雨過(guò)程會(huì)呈現(xiàn)不同的多重分形譜，其Δα和Δf值也將隨之發(fā)生變化，具有很好的規(guī)律性，僅對(duì)熱水溝而言，當(dāng)Δα大于0.2，Δf接近0.8時(shí)將會(huì)發(fā)生泥石流災(zāi)害;

(3)利用雨量進(jìn)行泥石流預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)應(yīng)立足于詳細(xì)地質(zhì)調(diào)查的基礎(chǔ)上，不同地區(qū)的泥石流發(fā)生時(shí)的多重分形特征將有所不同.

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