單頻較少歷元下GPS整周模糊度的快速解算

李林澤

[摘 要]鑒于大多數(shù)使用的GPS接收機(jī)都為單頻載波相位L1，整周模糊度的解算需要大量衛(wèi)星大量歷元，使得求解十分困難而且無法快速準(zhǔn)確求解，滿足不了實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)相對(duì)定位的需要而且解算整周模糊度精度不是很高。可以通過較好能快速檢驗(yàn)出是否有周跳的情況下采用QR矩陣分解差分觀測(cè)量矩陣減少未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，以及通過Cholesky下三角陣分解方差陣，降低其相關(guān)性的方法能在單頻接收機(jī)較少歷元的情況下改善整周模糊度浮點(diǎn)解，減少模糊度的搜索空間，快速有效實(shí)現(xiàn)整周模糊度的解算過程。

[關(guān)鍵詞]單頻 雙差多普勒頻移 周跳QR分解Cholesky分解

[中圖分類號(hào)] P228.4 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2014）15-0163-02

一、前言

現(xiàn)階段GPS接收機(jī)中最為常用的為L(zhǎng)1單頻波段的載波相位，而載波相位中最為重要求解的內(nèi)容即為其整周模糊度。目前世界上有許多整周模糊度的解算方法，較為常用的有快速模糊度確定方法（FARA）和最小二乘相關(guān)分解法（LAMBDA）。比較這兩種方法則：FARA的基本思想是以數(shù)理統(tǒng)計(jì)的參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)為基礎(chǔ)，利用初始平差的解向量以及其協(xié)因數(shù)陣、單位權(quán)中誤差等，并確定一個(gè)置信區(qū)間，在該區(qū)間內(nèi)逐次找尋整周模糊度的組合，將平差結(jié)果中驗(yàn)后方差最小的一組作為其最佳的估值。而采用LAMBDA方法包含兩個(gè)部分：整數(shù)變換和基于目標(biāo)函數(shù)分解的搜索方法 [1] [2]。

二、新方法

前面兩種方法普遍存在觀測(cè)時(shí)間長(zhǎng)，無法快速解算整周模糊度、較難在搜索區(qū)間內(nèi)快速找到最小二乘解、觀測(cè)量之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性無法精確合理的提供浮點(diǎn)模糊度協(xié)方差矩陣的問題 [3] [4]。而本文則采用新方法來快速解算整周模糊度，通過單頻載波相位，利用雙差，在去相關(guān)性的權(quán)陣中快速求取整周模糊度，具體解法為：先通過QR矩陣分解變換消去觀測(cè)方程中坐標(biāo)參數(shù)信息，在此基礎(chǔ)上利用Cholesky分解進(jìn)行降相關(guān)處理，再利用最小二乘即可減少搜索區(qū)域快速求解整周模糊度。

三、周跳檢測(cè)

相位測(cè)量中存在如果信號(hào)失鎖，相位測(cè)量就必須從新開始，這種現(xiàn)象稱為整周跳變 [5] [6]。周跳的檢測(cè)可以保證模糊度參數(shù)的修正，本文主要介紹一種合理有效地周跳檢測(cè)方法。

用多普勒觀測(cè)量探測(cè)周跳存在的方法：

假設(shè)發(fā)射標(biāo)準(zhǔn)頻率為f，則衛(wèi)星相對(duì)于接收機(jī)的徑向速度為Vρ=■·■ρ=|V|cosα。式中■為衛(wèi)星相對(duì)于接收機(jī)的速度矢量，V=|■|，■ρ為接收機(jī)相對(duì)于衛(wèi)星的單位矢量α，為矢量■在■ρ上的投射角，ρ為接收機(jī)與衛(wèi)星之間的距離。則接收信號(hào)頻率為：

則多普勒頻移為： fr=f（1+■）-1≈f（1-■）

fd=f- fr≈f■=■=■

如果時(shí)間間隔選擇足夠小，則多普勒計(jì)數(shù)等于瞬時(shí)多普勒頻移即：

D=■≈■

在不考慮其他誤差的情況下：

■≈■

φ■■（tr）=■-f（δtr-δts）+N■■-■+■+■+■+ε （1）

D=■-■+ε （2）

其中（1）式中為載波相位的相位觀測(cè)量，δtide表示潮汐和海水負(fù)荷潮汐效應(yīng)，δmul表示多路徑效應(yīng)，δrel表示相對(duì)論效應(yīng)，ε 表示殘差。

（2）式則為（1）式對(duì)于時(shí)間的求導(dǎo)，因?yàn)闅v元采樣率時(shí)間較短，在短時(shí)間內(nèi)電離層、對(duì)流層等影響因素的差值誤差較少則舍去。

則對(duì)（1）、（2）式方程積分可得：

λjΔtΦj=Δtρ-Δt（δtr-δts）c+λjΔtNj+εj （3）

則（3）-（4）得

λj■Djdt=Δt ρ-Δt （δtr-δts）c+εp （4）

則（3）-（4）得

λjΔtNj=λjΔtΦj-λj■Djdt+ε1 （5）

相位觀測(cè)是通過對(duì)局部相位保持跟蹤和累計(jì)整周數(shù)測(cè)量的，如果期間發(fā)生信號(hào)失鎖，整周數(shù)錯(cuò)誤，即發(fā)生了周跳。因此，該積分可以通過首先將多普勒值調(diào)整為適當(dāng)多項(xiàng)式，然后在一定時(shí)間內(nèi)完成積分。

四、單頻GPS動(dòng)態(tài)定位中的模糊度浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算

當(dāng)分別安置在基準(zhǔn)站和流動(dòng)站的兩臺(tái)單頻GPS接收機(jī)共視n+1顆衛(wèi)星時(shí)，每一個(gè)歷元可以組成n個(gè)相位雙差觀測(cè)方程。則對(duì)不同歷元i建立線性化后的雙差觀測(cè)方程為（根據(jù)（1）式中單頻相位的計(jì)算方程）

？塄ΔLi=Bi δXi+λL1？塄ΔN+εi （6）

公式簡(jiǎn)化為：Li=Bi δXi+λNi+ε （6-1）

式中？塄ΔLi為單頻雙差實(shí)測(cè)值即流動(dòng)站與基準(zhǔn)站之間雙差測(cè)量值的差值；Ai為雙差方程的系數(shù)陣；Xi為坐標(biāo)分量改正數(shù)；？塄ΔN為整周模糊度差值改正數(shù)；εi為隨機(jī)誤差。

此時(shí)如果直接使用間接平差即V=Bx-l模型則會(huì)暴漏一些問題：

（1） 該方程中明顯位置系數(shù)高于已知參數(shù)，求解則需要大量歷元（至少200個(gè)）來解算，這樣不僅不能達(dá)到 實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位，高維矩陣方程中求逆等解算過程也是十分復(fù)雜。

（2）法方程系數(shù)的制約數(shù)為誤差方程系數(shù)陣制約數(shù)的平方，即

（k（B））2=k（BTB）

因此，當(dāng)誤差方程系數(shù)陣B的制約數(shù)較大時(shí)增加了對(duì)舍入誤差的敏感性。

（3）矩陣系數(shù)BTB帶來的誤差，當(dāng)k（BTB）比較大的時(shí)候不能保證計(jì)算BTB的正定性。

（4）矩陣B的稀疏性不一定能保證BTB的稀疏性。

所以針對(duì)上述存在的問題，應(yīng)該采用QR方法，將公式（6）中矩陣B分解為正交矩陣Q和對(duì)角線都為正數(shù)的上三角矩陣R。

具體分解步驟如下：

（1）將ji分解為QR，即：Bi=Qi Ri，Qi為n*n價(jià)矩陣，Ri為n*3價(jià)矩陣；

（2）對(duì)矩陣Qi分解為Q■■，Q■■即

Q■■=[Q■■+Q■■]；

（3）提取子矩陣Q■■，并求其轉(zhuǎn)置（Q■■）T；

（4）對(duì)公式（6-1）兩邊左乘（Q■■）T，可以證明（Q■■）T*Bi=0，此時(shí)可以消除位置參數(shù)，只剩下模糊度參數(shù)：

（Q■■）T*Li=（Q■■）T*λNi+（Q■■）T*ε （7）

Ni=（Li-ε）/λ

從而可以求出整周模糊度Ni。

使用該方法可以有效降低未知參數(shù)的個(gè)數(shù)，方便快速解算整周模糊度，對(duì)于通視效果較好的衛(wèi)星可以選擇較好的4-6顆衛(wèi)星作為主組建立搜索空間，其余衛(wèi)星用于模糊度的檢測(cè)，可以極大的減少對(duì)歷元數(shù)的需要，盡量快速高效準(zhǔn)確求得整周模糊度。

五、降相關(guān)分解及搜索固定

實(shí)際應(yīng)用中雙差處理模糊度浮點(diǎn)數(shù)間會(huì)產(chǎn)生很大的相關(guān)性，所以模糊度方差陣不為對(duì)角陣。同時(shí)強(qiáng)相關(guān)性會(huì)使得模糊度搜索區(qū)域拉伸而效果很差，較為浪費(fèi)時(shí)間，所以應(yīng)該降低模糊度的相關(guān)性，本文給出將方差陣變換為下三角陣（Cholesky）來降低其間模糊度的相關(guān)性。

Cholesky 公式如下：

■

通過該公式減小方差陣的強(qiáng)相關(guān)性，解算結(jié)果更加精確。

六、設(shè)定置信區(qū)間進(jìn)行整周模糊度的索搜

在距離較短的基準(zhǔn)站流動(dòng)站可以測(cè)量出基線向量的大概方位和長(zhǎng)度，所以在此基礎(chǔ)上可以建立較為精確的整周模糊度求解的置信區(qū)間，在該區(qū)間中通過最小二乘法尋找出最佳整周模糊度，大大節(jié)省了觀測(cè)時(shí)間，歷元個(gè)數(shù)并且得到了精度較高的解值。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 李淑慧，劉經(jīng)南.整周模糊度搜素方法的效率比較和分析[J].測(cè)繪通報(bào)，2003（10）：1-3.

[2] 劉寧，熊永良，馮威，徐韶光.單頻GPS動(dòng)態(tài)定位中整周模糊度的一種快速解算方法[J].2013（2）：211-217.

[3] 趙麗，劉建業(yè)，范勝利.基于QR矩陣的快速解算初始整周模糊度方法的研究[J].南京航空航天大學(xué)校報(bào)，2004（2）：249-253.

[4] 魯定鐵，周世健，朱煜峰，張立婷.間接平差與矩陣QR分解[J].華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2009（4）：381-384.

[5] 劉立龍，劉基余，李光成.單頻GPS整周模糊度動(dòng)態(tài)快速求解的研究[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)，2005（10）：885-887.

[6] Guochang Xu著.GPS理論、算法與應(yīng)用（第二版）[M].北京：清華大學(xué)出版社，2011.

[責(zé)任編輯：黃緊德]