變壓器直流偏磁場路耦合計算中的磁化曲線擬合

潘 超,王夢純,蔡國偉,姜言金,李鐵峰

（1.東北電力大學(xué) 電氣工程學(xué)院,吉林 吉林 132021；2.吉林市供電公司,吉林 吉林 132001）

0 引言

近年來，高壓直流（HVDC）與地磁感應(yīng)電流GIC（Geomagnetic Induced Current）環(huán)境中變壓器的直流偏磁問題備受關(guān)注[1-2]，包括變壓器非線性磁場、電流畸變、渦流損耗等備受關(guān)注，其中，勵磁非線性的研究分析是解決上述問題的關(guān)鍵[3-5]。

利用J-A磁滯模型可以有效模擬變壓器的勵磁特性，但參數(shù)獲取困難，計算復(fù)雜，且磁滯回線易受直流偏磁水平影響[6]。文獻[7]采用單段雙曲正切函數(shù)擬合飽和段磁化曲線，簡化計算，結(jié)果與實驗相比誤差較小，但未考慮磁化曲線不飽和段對變壓器勵磁的影響。文獻[8]建立三相變壓器模型分析鐵芯損耗，考慮磁滯效應(yīng)模擬變壓器電磁場分布。文獻[9-10]基于諧波有限元建立場路模型，計算變壓器直流偏磁問題。上述方法均采用二維模型，具有較高的精度和效率，缺點是僅可作為局部場域的近似處理，只能用于特定運行方式或模型特性的分析。

另一方面，傳統(tǒng)變壓器磁場數(shù)值計算以穩(wěn)態(tài)電磁場分析為基礎(chǔ)，時域求解有限元微分方程，數(shù)據(jù)運算規(guī)模龐大、效率低[11]。本文建立三維變壓器磁場模型，采用時域場路耦合模型將變壓器瞬態(tài)電磁場計算分解為場和路的耦合計算，利用場模型計算動態(tài)電感，利用路模型求解瞬態(tài)過程，從而降低求解難度，提高計算效率；在此基礎(chǔ)上計算變壓器直流偏磁，分段擬合飽和段與不飽和段磁化曲線；最后對比分析不同方法對變壓器在正常運行和直流偏磁時耦合參數(shù)和伏安特性的影響，并總結(jié)其規(guī)律。

1 時域場路耦合方法

單相三柱式雙繞組變壓器直流偏磁的場路模型見圖1。圖中，Φa、Φb和Φ0分別為鐵芯主磁通和繞組漏磁通；L1、L2和M分別為自感和互感；UDC為直流電壓源。

圖1 變壓器基本電磁關(guān)系Fig.1 Electromagnetic relation of transformer

利用時域場路耦合模型分析變壓器直流偏磁問題時，動態(tài)電感和瞬態(tài)電流為關(guān)鍵耦合參數(shù)[12]。棱邊有限元法采用矢量磁位A，假設(shè)導(dǎo)磁介質(zhì)各向同性，得到非線性磁場方程：

對式（1）應(yīng)用格林定理，得伽遼金加權(quán)余量方程：

其中，m，n∈N+；｛Mm｝、｛Mn｝分別為基函數(shù)和權(quán)函數(shù)序列，且｛Mn｝與｛Mm｝相同；An為單元的標(biāo)量磁位；m、n為單元編號；V為體積分變量。把權(quán)函數(shù)代入式（2），針對全部權(quán)函數(shù)，將加權(quán)余量方程離散形成代數(shù)方程組，求解可得所有棱邊上的A，進而計算其他場量。

變壓器實際運行時鐵芯工作于接近飽和區(qū)，直流偏磁時處于飽和區(qū)，傳統(tǒng)方法計算時通常采用雙曲正弦函數(shù)對飽和段磁化曲線進行擬合[7]。本文考慮到實際磁化曲線可分為不飽和段與飽和段，對磁化曲線進行分段處理，曲線擬合及誤差公式分別為：

其中，B、H分別為磁感應(yīng)強度和磁場強度數(shù)值；C1、C2、C3、C4為擬合參數(shù)，根據(jù)實際變壓器硅鋼片材料確定；ε 為均方根誤差；Bj為實際磁感應(yīng)強度；B′j為磁感應(yīng)強度擬合值；K為統(tǒng)計總數(shù)。

將擬合磁化曲線數(shù)據(jù)代入磁場方程中，即可進行磁場求解計算。

變壓器磁鏈方程為：

其中，ψ為線圈磁鏈向量；LS為靜態(tài)電感矩陣。

由u=dψ/dt，推導(dǎo)電路系統(tǒng)的瞬態(tài)微分方程：

其中，LD為動態(tài)電感矩陣，需由磁場模型計算。

由式（5）推導(dǎo)存在直流源時變壓器電路微分方程的矩陣形式：

其中，UDC1、UDC2分別為變壓器兩側(cè)提供直流的電壓源。

根據(jù)文獻[13]中能量擾動的思想，當(dāng)繞組線圈電流增量為Δi，引起的電路能量增量為：

由電流增量Δi引起的場矢量變化為ΔH、ΔB，計算線圈體電流分布磁場系統(tǒng)的能量增量：

能量方程式（7）、（8）相等，則可計算動態(tài)電感 LD。

采用四階龍格庫塔法對上式求解，由tk時刻的線圈電流 i（k）計算 tk+1時刻的電流 i（k+1）：

其中，h為步長；s1—s4為步長內(nèi)的計算斜率。

2 直流偏磁計算與分析

圖2 變壓器直流偏磁的時域場路耦合模型Fig.2 Time-domain field-circuit coupling model

采用時域場路耦合模型計算變壓器非線性時變場問題，模型如圖2所示，編譯四階龍格庫塔法程序求解電路模型的瞬態(tài)響應(yīng)方程，利用ANSYS軟件建立三維有限元模型，基于棱邊有限元法求解非線性磁場模型，場與路的耦合通過時域迭代實現(xiàn)。對實際單相變壓器BK300進行直流偏磁實驗和仿真計算，具體參數(shù)如表1所示。

表1 實際變壓器參數(shù)Tab.1 Parameters of an actual transformer

變壓器鐵芯硅鋼片型號為DW360-50，疊片系數(shù)α 取 0.95[13]，磁化曲線擬合結(jié)果如圖 3所示，虛線框中為不飽和區(qū)。

圖3 磁化曲線擬合Fig.3 Magnetization curve fitting

變壓器運行時工作于飽和狀態(tài)或不飽和狀態(tài)，通過圖3對比，說明采用分段擬合法分段擬合勵磁曲線，能更準確地反映出實際勵磁的變化情況。結(jié)合表2參數(shù)，應(yīng)用時域場路耦合方法計算分析變壓器空載直流偏磁。

表2 曲線擬合參數(shù)Tab.2 Parameters of curve fitting

2.1 計算方法1

采用單段雙曲正弦函數(shù)擬合磁化曲線的飽和段，變壓器空載運行時引入直流源，計算直流電流IDC分別為 0、50%I0、100%I0、200%I0時的偏磁情況（I0為空載電流有效值）。

分析變壓器交流勵磁受到直流擾動IDC的影響，結(jié)果如圖4（a）所示，空載運行時原邊電流i1即為勵磁電流ie，由的電磁耦合關(guān)系可知，ie為對稱波。當(dāng)注入直流時，ie發(fā)生畸變，并且隨著IDC的升高而增大，ie波形畸變情況一致；無直流時，動態(tài)電感L1在勵磁的正負半周為對稱波形，其變化規(guī)律與ie對應(yīng)，ie增大時勵磁飽和程度加深，電感減小，ie減小時勵磁趨于不飽和，電感增大。存在直流時，L1受直流偏磁水平影響，正負半周不對稱。由圖4（b）可以確定動態(tài)電感變化與勵磁非線性的對應(yīng)關(guān)系，L1的波峰區(qū)與波谷區(qū)分別表示鐵芯勵磁處于非飽和區(qū)與飽和區(qū)。ie接近零時，鐵芯勵磁處于非飽和區(qū)，L1數(shù)值趨于最大；當(dāng)ie達到各半周內(nèi)極值時，勵磁飽和程度最深，L1數(shù)值最小。分析結(jié)果表明，隨著直流電流增大，變壓器勵磁飽和程度加深，ie波形畸變，L1在正負半周不對稱。

圖4 方法1的計算結(jié)果Fig.4 Calculative results of method 1

2.2 計算方法2

采用雙段函數(shù)分別擬合磁化曲線的飽和區(qū)與非飽和區(qū)，直流偏磁實驗與計算結(jié)果對比如下。

如圖5所示，方法2與方法1的勵磁變化情況相似，鐵芯飽和程度受直流影響，IDC增大，i1與L1波形在正負半周不對稱程度加劇。與實驗結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，測量的結(jié)果為非對稱波形，而仿真計算的電流為對稱波形，其原因可能是未考慮磁滯效應(yīng)。分析結(jié)果表明，發(fā)生直流偏磁時，計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)誤差較小。說明利用本文所采用的磁化曲線擬合方法可以有效計算變壓器直流偏磁問題，結(jié)果較為準確。

2.3 方法比較

對比2種方法的計算結(jié)果，方法1的動態(tài)電感在半個周期內(nèi)的波形為單峰波，方法2則為鞍形波，這與磁化曲線的擬合情況有關(guān)。方法1采用單段曲線擬合，磁化曲線在勵磁不飽和區(qū)單調(diào)變化，當(dāng)勵磁電流接近為零時，動態(tài)電感達到最大值，然后隨著電流增大，動態(tài)電感逐漸減小。方法2采用分段曲線擬合，考慮了磁化曲線在不飽和區(qū)的實際特性，因此在勵磁電流過零時存在增大減小增大的情況。

2種方法計算的勵磁電流對比（IDC=200%I0）如圖6所示，相同直流擾動下2種方法的計算電流基本相同，在電流過零時波形略有區(qū)別。

圖5 方法2的計算結(jié)果Fig.5 Calculative results of method 2

圖6 勵磁電流對比Fig.6 Comparison of exciting currents

分析變壓器空載運行時的伏安特性。首先通過實驗調(diào)節(jié)電壓激勵，其有效值范圍為[0.5UN，1.5UN]（UN為額定電壓有效值），測量勵磁電流有效值I。然后根據(jù)本文方法計算電流，并與實驗測量數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同擬合方法的U-I比較Fig.7 Comparison of U-I among different fitting methods

不同方法的結(jié)果均符合實際變壓器的非線性電磁耦合關(guān)系。不考慮疊壓系數(shù)α，伏安特性與實際情況有較大誤差。計及α?xí)r，采用不同方法擬合磁化曲線，由于不飽和區(qū)的勵磁非線性，方法2的計算準確性高于方法1，這與前面的分析結(jié)果一致。綜上所述，2種擬合方法都能模擬變壓器的U-I特性，但方法2考慮不飽和區(qū)的勵磁特性，結(jié)果更為準確。

研究表明，分段模擬磁化曲線的方法可以充分反映出變壓器勵磁的變化情況。若采用多段擬合的方法可能在模擬勵磁非線性的準確性方面有所提高，這類方法擬合不飽和區(qū)磁化曲線時精度較高，但對應(yīng)的動態(tài)電感數(shù)值較大，因此對計算電流的結(jié)果影響并不明顯。

文中在改進磁化曲線擬合方法的基礎(chǔ)上建立變壓器三維時域場路耦合模型，對其不同勵磁特性下的直流偏磁問題進行了仿真計算，并與實驗結(jié)果對比，總結(jié)其規(guī)律。針對實際變壓器，根據(jù)其相關(guān)信息，如銘牌數(shù)據(jù)、線圈與鐵芯參數(shù)、勵磁非線性等，就可以對直流偏磁問題進行瞬時場路的計算分析。

3 結(jié)論

通過對單相三柱式變壓器直流偏磁的研究分析，得出以下結(jié)論。

a.利用時域場路耦合模型計算變壓器直流偏磁時的動態(tài)電感和瞬態(tài)電流，能夠反映出變壓器磁場與電路等效參數(shù)在直流擾動下的變化規(guī)律，實驗結(jié)果證明用該方法計算變壓器直流偏磁是正確可行的。

b.擬合磁化曲線的方法可以簡化磁場模型求解，提高計算效率。不同分段擬合方法都能有效模擬變壓器的電壓電流特性與直流偏磁時的飽和勵磁特性，兩者的計算結(jié)果一致。由于本文方法考慮了不飽和勵磁的非線性，與實際情況更為接近，結(jié)果更為準確。