第一個重要極限的幾種證明及其應(yīng)用

路玉梅

（亳州師范高等專科學(xué)校，安徽 亳州 236800）

1 第一個重要極限重要意義

對于高等數(shù)學(xué)來說,極限是相當(dāng)重要,函數(shù)連續(xù)性的驗(yàn)證,單側(cè)導(dǎo)數(shù)的求取等多方面，都與其相關(guān)；在極限這一部分中, 第一個重要極限是要特別介紹的,第一個重要極限是可以作為結(jié)論直接使用的,下面就第一個重要極限在極限計算、導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)、近似計算和數(shù)列級數(shù)極限計算中的應(yīng)用簡單介紹。

（2）變形：

（3）推廣：

2 第一個重要極限的證明

（4）利用拉格朗日中值定理證明。令f（x）=sinx，易知f（x）在[0,x]上滿足lagarange 中值定理的條件，因此在區(qū)間（0，x）至少存在一點(diǎn)ξ，使得f，即。

3 第一個重要極限的應(yīng)用

（1）在極限計算中的應(yīng)用。第一個極限在一元函數(shù)和二元函數(shù)極限的計算中應(yīng)用非常廣泛，下面我將舉幾個例子說明它的應(yīng)用。

（2）在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用。求sinx 的導(dǎo)數(shù)，有導(dǎo)數(shù)的定義及三角函數(shù)和差化積公式得

例3 求sin30′和cos30′的近似值。

總之，第一個重要極限在高等數(shù)學(xué)中是一個非常重要的極限，它是一類含有三角函數(shù)的型極限，利用這個重要極限可以將很復(fù)雜的極限問題簡單化，因此深入研究第一個重要極限很有必要，今后我們將進(jìn)一步探索其在其他方面的應(yīng)用。

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