關(guān)于德布羅意波中幾個(gè)速度問(wèn)題的討論

張凱　桑芝芳　高雷

法國(guó)物理學(xué)家德布羅意受光的波粒二象性理論的啟發(fā)，在1924年提出物質(zhì)波假說(shuō)，即實(shí)物粒子也具有波粒二象性：一個(gè)質(zhì)量為m的微觀粒子，以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，一方面可以用能量E和動(dòng)量p來(lái)描述其粒子性，另一方面又可以用頻率ν和波長(zhǎng)λ描述其波動(dòng)性.其能量E和動(dòng)量p與頻率v和波長(zhǎng)λ之間的關(guān)系為

E=hν（1）

p=h/λ（2）

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程（甚至一些教輔資料）中常常出現(xiàn)以下問(wèn)題：

（1）往往把粒子的運(yùn)動(dòng)速度v和德布羅意波的波長(zhǎng)和頻率聯(lián)系起來(lái)，得到λ=v1ν；

（2）直接將光的波粒二象性規(guī)律遷移到德布羅意波關(guān)系式中，得到E=hν=hc1λ.

這里涉及到微觀粒子的運(yùn)動(dòng)速度，波傳播的相速度和群速度，這些問(wèn)題學(xué)生容易混淆，本文將對(duì)物質(zhì)波的相速度、群速度以及它們與粒子運(yùn)動(dòng)速度之間的關(guān)系進(jìn)行討論，以便學(xué)生能更好地理解物質(zhì)波的內(nèi)涵.

1相速度

相速度是波在傳播過(guò)程中相同相點(diǎn)的移動(dòng)速度，即對(duì)于一個(gè)以頻率為ν和波長(zhǎng)λ運(yùn)動(dòng)的平面波的運(yùn)動(dòng)方程為

ψ（x，t）=Acos（2πνt-kx），

其中k=2π/λ為波數(shù).相同相點(diǎn)位于同一等相面上，等相面的表達(dá)式為：

2πνt-kx=const，

兩邊對(duì)t求導(dǎo)得vp=dx1dt=λν（3）

根據(jù)德布羅意關(guān)系可得

vp=λν=E/p（4）

（3）、（4）式為相速度vp的表達(dá)式，即將物質(zhì)波的頻率ν和波長(zhǎng)λ聯(lián)系起來(lái)的是相速度.根據(jù)（4）式，結(jié)合E=mc2，p=mv可得它和粒子運(yùn)動(dòng)速度v之間的關(guān)系為

vp=E1p=c21v（5）

可見(jiàn)物質(zhì)波的相速度是可以大于光速的，它并不是粒子的運(yùn)動(dòng)速度，也不是光速.若對(duì)于光子v=c，則有vp=c，故光波相速度為c.

2群速度

事實(shí)上，在討論微觀粒子的波粒二象性時(shí)，既不是經(jīng)典物理意義下的粒子，也不是經(jīng)典物理意義下的波，它既不是代表介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的傳遞過(guò)程，也不是代表經(jīng)典的場(chǎng)量，而是一種比較抽象的幾率幅波.在量子力學(xué)中，不可能任意精確地同時(shí)測(cè)量微觀粒子的坐標(biāo)和相應(yīng)的動(dòng)量.如果粒子x坐標(biāo)的不確定范圍是Δx，粒子相應(yīng)動(dòng)量分量的不確定范圍是Δpx.那么，根據(jù)不確定關(guān)系，有

ΔxΔpx≥h12π.

因此，與粒子相聯(lián)系的波不可能是在空間上無(wú)限擴(kuò)展的單色平面波，而應(yīng)該是有限擴(kuò)展的波包.波包越小，粒子的位置就越準(zhǔn)確，而動(dòng)量的不確定范圍就越大；反之，若波包越大，粒子的位置不確定范圍就越大，而動(dòng)量的不確定范圍就越小.可以證明，波包是由很多頻率相接近的單色平面波疊加而成的.現(xiàn)考慮兩列振幅A相同，角頻率相差小量Δω，波數(shù)相差小量Δk的正弦波疊加的情形，它們疊加后形成周期性波包，波包（包絡(luò)）的傳播速度就是群速度.兩列波的波函數(shù)分別為

ψ1（x，t）=Asin（ωt-kx），

ψ2（x，t）=Asin[（ω+Δω）t-（k+Δk）x]，

進(jìn)行疊加后得

ψ（x，t）=Asin[（ω+Δω12）t-（k+Δk12）x]cos（Δωt-Δkx）（6）

其中，正弦部分的相位與原來(lái)相近，稱為載波；余弦部分稱為調(diào)制波，它的傳播速度就是群速度，要計(jì)算某個(gè)狀態(tài)下的群速度，需滿足在時(shí)間變化Δt，位移變化Δx時(shí)相位保持不變，即Δωt-Δkx=const，兩邊對(duì)t求導(dǎo)即可得

vg=dω1dk=dE1dp.

此即群速度的表達(dá)式.

根據(jù)E2=（pc）2+E20，其中E0為靜能量，兩邊求導(dǎo)得

vg=dE1dp=pc21E=mvc21mc2=v（8）

可以看出整個(gè)波包移動(dòng)的群速度等于粒子運(yùn)動(dòng)速度.若對(duì)于光子v=c，則有vg=c，故光波群速度也為c.

3結(jié)論

綜上所述，與自由運(yùn)動(dòng)粒子相聯(lián)系的德布羅意波以波包的形式和粒子運(yùn)動(dòng)速度相等的群速度前行.而波包則是由一系列頻率相近的單色平面波疊加而成，單色平面波的運(yùn)動(dòng)速度表現(xiàn)為相速度，相速度可以大于光速.對(duì)于光子v=c，則有vp=vg=c，即對(duì)于光波恒有λv=c，無(wú)論頻率值多大，相速度c為常數(shù)，各種頻率不同的波疊加，其波包前行的速度（傳遞速度）當(dāng)然為c.因此，對(duì)于靜質(zhì)量不為零的微觀粒子的德布羅意關(guān)系（1）和（2）式雖然和光子的波粒二象性公式形式上相同，但在波長(zhǎng)和頻率的聯(lián)系方式上有重要差別.

【基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度課題（D/2013/01/105），中國(guó)教育學(xué)會(huì)物理教學(xué)專業(yè)委員會(huì)2013-2016年全國(guó)物理教育科研重點(diǎn)課題和蘇州大學(xué)大學(xué)生課外學(xué)術(shù)項(xiàng)目的研究成果之一.】