拋物線(xiàn)中過(guò)定點(diǎn)的一個(gè)推廣

容升軍

我們知道拋物線(xiàn)中有一個(gè)過(guò)定點(diǎn)定理：過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)O（0，0）作兩條垂直的直線(xiàn)OP、OQ分別交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，則直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)B（2p，0）.如果把定理中的“頂點(diǎn)”改為“拋物線(xiàn)上一特殊點(diǎn)A（a，b）”，那么直線(xiàn)PQ又會(huì)過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)呢？

【例題】（2013年吉安市一?？荚囋囶}）已知拋物線(xiàn)y2=4x上的一個(gè)點(diǎn)A（1，2），過(guò)A作兩條垂直的直線(xiàn)AP、AQ分別交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，則原點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的最大距離為.

解析：設(shè)P（y2114，y1），Q（y2214，y2），由AP·AQ=0.

得（y2114-1，y1-2）·（y2214-1，y2-2）=0.

∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0.

即y1y2+2（y1+y2）+20=0.

直線(xiàn)PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y21141y2214-y2114=4x-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=4x1y2+y1+y1y21y2+y1=4x1y2+y1+-2（y1+y2）-201y2+y1=41y2+y1（x-5）-2.

故直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)B（5，-2），所以原點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的最大距離為52+（-2）2=29.

如果把定理中的“頂點(diǎn)”改為“拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)A（m，n）”，那么直線(xiàn)PQ又會(huì)過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)呢？

解析：由A（m，n）在拋物線(xiàn)上得m=n212p，則

A（n212p，n），設(shè)P（y2112p，y1），Q（y2212p，y2）.

由AP·AQ=0得（y2112p-n212p，y1-n）·（y2212p-n212p，y2-n）=0.

∴（y1-n）（y2-n）[（y1+n）（y2+n）+4p2]=0，即y1y2+n（y1+y2）+4p2+n2=0.

而直線(xiàn)PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y2112p1y2212p-y2112p=2px-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=2px1y2+y1+y1y21y2+y1=2px1y2+y1+-n（y1+y2）-4p2-n21y2+y1=2p1y2+y1[x-（2p+n212p）]-n.

顯然PQ直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)B（2p+n212p，-n），

即B（2p+m，-n）.

得出定理：過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)A（m，n）作兩條垂直的直線(xiàn)AP、AQ分別交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，則直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)B（2p+m，-n）.

對(duì)于拋物線(xiàn)的其他形式也有相似的結(jié)論.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）

3.學(xué)生自學(xué)之后，開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí).由于學(xué)生的個(gè)體差異，在自學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度各不一樣.因此學(xué)生自學(xué)完后，教師不要急于講解，應(yīng)留一定的時(shí)間，讓學(xué)生針對(duì)自學(xué)過(guò)程中所遇到的問(wèn)題互相交流、互相探討，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

四、把握評(píng)價(jià)的有效性

1.評(píng)價(jià)要自然、真誠(chéng).教育需要賞識(shí)，發(fā)現(xiàn)孩子身上的閃光點(diǎn)，要肯定孩子的優(yōu)點(diǎn).只有發(fā)自肺腑的表?yè)P(yáng)，才能觸動(dòng)學(xué)生的心靈，喚起他們積極向上的人生態(tài)度.

2.評(píng)價(jià)要?jiǎng)?chuàng)新、多變.單一重復(fù)的評(píng)價(jià)語(yǔ)會(huì)讓學(xué)生感到厭倦乏味.所以教師最好能廣泛收集，加強(qiáng)積累，使評(píng)價(jià)用語(yǔ)不斷更換，常用常新.課堂上使用起來(lái)信手拈來(lái)，機(jī)智善變，時(shí)時(shí)給學(xué)生于不同時(shí)空、不同情境、不同對(duì)象、不同表現(xiàn)而迥異的評(píng)價(jià)語(yǔ)，讓學(xué)生聽(tīng)而不厭.

3.評(píng)價(jià)要指明改進(jìn)方向.課堂評(píng)價(jià)，應(yīng)以學(xué)生為本，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，發(fā)揮評(píng)價(jià)的矯正功能，促使學(xué)生在原有水平上提高和發(fā)展.要有所發(fā)展，就須明確改進(jìn)的方向.對(duì)學(xué)生課堂表現(xiàn)優(yōu)劣的判定是需要的，但提出相應(yīng)的改進(jìn)或調(diào)整的方法更為重要.

4.評(píng)價(jià)要肯定、準(zhǔn)確.有時(shí)，教師為了樹(shù)立下等生的自信心，在教學(xué)過(guò)程中給他們一些表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，從而給予鼓勵(lì)性的評(píng)價(jià).教師在作出評(píng)價(jià)時(shí)，一定要實(shí)事求是，不能夸大其詞，而且要語(yǔ)言準(zhǔn)確，忌模糊不清.

通過(guò)這幾年的教學(xué)實(shí)踐與合理的分組實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力都有不同程度的提高，今后筆者將繼續(xù)關(guān)注如何提高小組合作學(xué)習(xí)的有效性，讓課堂真正成為全體學(xué)生的課堂，讓每個(gè)學(xué)生都成為課堂的主人，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī).

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint

我們知道拋物線(xiàn)中有一個(gè)過(guò)定點(diǎn)定理：過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)O（0，0）作兩條垂直的直線(xiàn)OP、OQ分別交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，則直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)B（2p，0）.如果把定理中的“頂點(diǎn)”改為“拋物線(xiàn)上一特殊點(diǎn)A（a，b）”，那么直線(xiàn)PQ又會(huì)過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)呢？

【例題】（2013年吉安市一?？荚囋囶}）已知拋物線(xiàn)y2=4x上的一個(gè)點(diǎn)A（1，2），過(guò)A作兩條垂直的直線(xiàn)AP、AQ分別交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，則原點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的最大距離為.

解析：設(shè)P（y2114，y1），Q（y2214，y2），由AP·AQ=0.

得（y2114-1，y1-2）·（y2214-1，y2-2）=0.

∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0.

即y1y2+2（y1+y2）+20=0.

直線(xiàn)PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y21141y2214-y2114=4x-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=4x1y2+y1+y1y21y2+y1=4x1y2+y1+-2（y1+y2）-201y2+y1=41y2+y1（x-5）-2.

故直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)B（5，-2），所以原點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的最大距離為52+（-2）2=29.

如果把定理中的“頂點(diǎn)”改為“拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)A（m，n）”，那么直線(xiàn)PQ又會(huì)過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)呢？

解析：由A（m，n）在拋物線(xiàn)上得m=n212p，則

A（n212p，n），設(shè)P（y2112p，y1），Q（y2212p，y2）.

由AP·AQ=0得（y2112p-n212p，y1-n）·（y2212p-n212p，y2-n）=0.

∴（y1-n）（y2-n）[（y1+n）（y2+n）+4p2]=0，即y1y2+n（y1+y2）+4p2+n2=0.

而直線(xiàn)PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y2112p1y2212p-y2112p=2px-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=2px1y2+y1+y1y21y2+y1=2px1y2+y1+-n（y1+y2）-4p2-n21y2+y1=2p1y2+y1[x-（2p+n212p）]-n.

顯然PQ直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)B（2p+n212p，-n），

即B（2p+m，-n）.

得出定理：過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)A（m，n）作兩條垂直的直線(xiàn)AP、AQ分別交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，則直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)B（2p+m，-n）.

對(duì)于拋物線(xiàn)的其他形式也有相似的結(jié)論.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）

3.學(xué)生自學(xué)之后，開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí).由于學(xué)生的個(gè)體差異，在自學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度各不一樣.因此學(xué)生自學(xué)完后，教師不要急于講解，應(yīng)留一定的時(shí)間，讓學(xué)生針對(duì)自學(xué)過(guò)程中所遇到的問(wèn)題互相交流、互相探討，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

四、把握評(píng)價(jià)的有效性

1.評(píng)價(jià)要自然、真誠(chéng).教育需要賞識(shí)，發(fā)現(xiàn)孩子身上的閃光點(diǎn)，要肯定孩子的優(yōu)點(diǎn).只有發(fā)自肺腑的表?yè)P(yáng)，才能觸動(dòng)學(xué)生的心靈，喚起他們積極向上的人生態(tài)度.

2.評(píng)價(jià)要?jiǎng)?chuàng)新、多變.單一重復(fù)的評(píng)價(jià)語(yǔ)會(huì)讓學(xué)生感到厭倦乏味.所以教師最好能廣泛收集，加強(qiáng)積累，使評(píng)價(jià)用語(yǔ)不斷更換，常用常新.課堂上使用起來(lái)信手拈來(lái)，機(jī)智善變，時(shí)時(shí)給學(xué)生于不同時(shí)空、不同情境、不同對(duì)象、不同表現(xiàn)而迥異的評(píng)價(jià)語(yǔ)，讓學(xué)生聽(tīng)而不厭.

3.評(píng)價(jià)要指明改進(jìn)方向.課堂評(píng)價(jià)，應(yīng)以學(xué)生為本，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，發(fā)揮評(píng)價(jià)的矯正功能，促使學(xué)生在原有水平上提高和發(fā)展.要有所發(fā)展，就須明確改進(jìn)的方向.對(duì)學(xué)生課堂表現(xiàn)優(yōu)劣的判定是需要的，但提出相應(yīng)的改進(jìn)或調(diào)整的方法更為重要.

4.評(píng)價(jià)要肯定、準(zhǔn)確.有時(shí)，教師為了樹(shù)立下等生的自信心，在教學(xué)過(guò)程中給他們一些表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，從而給予鼓勵(lì)性的評(píng)價(jià).教師在作出評(píng)價(jià)時(shí)，一定要實(shí)事求是，不能夸大其詞，而且要語(yǔ)言準(zhǔn)確，忌模糊不清.

通過(guò)這幾年的教學(xué)實(shí)踐與合理的分組實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力都有不同程度的提高，今后筆者將繼續(xù)關(guān)注如何提高小組合作學(xué)習(xí)的有效性，讓課堂真正成為全體學(xué)生的課堂，讓每個(gè)學(xué)生都成為課堂的主人，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī).

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）endprint

我們知道拋物線(xiàn)中有一個(gè)過(guò)定點(diǎn)定理：過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的頂點(diǎn)O（0，0）作兩條垂直的直線(xiàn)OP、OQ分別交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，則直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)B（2p，0）.如果把定理中的“頂點(diǎn)”改為“拋物線(xiàn)上一特殊點(diǎn)A（a，b）”，那么直線(xiàn)PQ又會(huì)過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)呢？

【例題】（2013年吉安市一?？荚囋囶}）已知拋物線(xiàn)y2=4x上的一個(gè)點(diǎn)A（1，2），過(guò)A作兩條垂直的直線(xiàn)AP、AQ分別交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，則原點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的最大距離為.

解析：設(shè)P（y2114，y1），Q（y2214，y2），由AP·AQ=0.

得（y2114-1，y1-2）·（y2214-1，y2-2）=0.

∴（y1-2）（y2-2）[（y1+2）（y2+2）+16]=0.

即y1y2+2（y1+y2）+20=0.

直線(xiàn)PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y21141y2214-y2114=4x-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=4x1y2+y1+y1y21y2+y1=4x1y2+y1+-2（y1+y2）-201y2+y1=41y2+y1（x-5）-2.

故直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)B（5，-2），所以原點(diǎn)O到直線(xiàn)PQ的最大距離為52+（-2）2=29.

如果把定理中的“頂點(diǎn)”改為“拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)A（m，n）”，那么直線(xiàn)PQ又會(huì)過(guò)哪個(gè)定點(diǎn)呢？

解析：由A（m，n）在拋物線(xiàn)上得m=n212p，則

A（n212p，n），設(shè)P（y2112p，y1），Q（y2212p，y2）.

由AP·AQ=0得（y2112p-n212p，y1-n）·（y2212p-n212p，y2-n）=0.

∴（y1-n）（y2-n）[（y1+n）（y2+n）+4p2]=0，即y1y2+n（y1+y2）+4p2+n2=0.

而直線(xiàn)PQ的方程：y-y11y2-y1=x-y2112p1y2212p-y2112p=2px-y211（y2+y1）（y2-y1）.

∴y=2px1y2+y1+y1y21y2+y1=2px1y2+y1+-n（y1+y2）-4p2-n21y2+y1=2p1y2+y1[x-（2p+n212p）]-n.

顯然PQ直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)B（2p+n212p，-n），

即B（2p+m，-n）.

得出定理：過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）上任意一點(diǎn)A（m，n）作兩條垂直的直線(xiàn)AP、AQ分別交拋物線(xiàn)于P、Q兩點(diǎn)，則直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)B（2p+m，-n）.

對(duì)于拋物線(xiàn)的其他形式也有相似的結(jié)論.

（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）

3.學(xué)生自學(xué)之后，開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí).由于學(xué)生的個(gè)體差異，在自學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度各不一樣.因此學(xué)生自學(xué)完后，教師不要急于講解，應(yīng)留一定的時(shí)間，讓學(xué)生針對(duì)自學(xué)過(guò)程中所遇到的問(wèn)題互相交流、互相探討，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

四、把握評(píng)價(jià)的有效性

1.評(píng)價(jià)要自然、真誠(chéng).教育需要賞識(shí)，發(fā)現(xiàn)孩子身上的閃光點(diǎn)，要肯定孩子的優(yōu)點(diǎn).只有發(fā)自肺腑的表?yè)P(yáng)，才能觸動(dòng)學(xué)生的心靈，喚起他們積極向上的人生態(tài)度.

2.評(píng)價(jià)要?jiǎng)?chuàng)新、多變.單一重復(fù)的評(píng)價(jià)語(yǔ)會(huì)讓學(xué)生感到厭倦乏味.所以教師最好能廣泛收集，加強(qiáng)積累，使評(píng)價(jià)用語(yǔ)不斷更換，常用常新.課堂上使用起來(lái)信手拈來(lái)，機(jī)智善變，時(shí)時(shí)給學(xué)生于不同時(shí)空、不同情境、不同對(duì)象、不同表現(xiàn)而迥異的評(píng)價(jià)語(yǔ)，讓學(xué)生聽(tīng)而不厭.

3.評(píng)價(jià)要指明改進(jìn)方向.課堂評(píng)價(jià)，應(yīng)以學(xué)生為本，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，發(fā)揮評(píng)價(jià)的矯正功能，促使學(xué)生在原有水平上提高和發(fā)展.要有所發(fā)展，就須明確改進(jìn)的方向.對(duì)學(xué)生課堂表現(xiàn)優(yōu)劣的判定是需要的，但提出相應(yīng)的改進(jìn)或調(diào)整的方法更為重要.

4.評(píng)價(jià)要肯定、準(zhǔn)確.有時(shí)，教師為了樹(shù)立下等生的自信心，在教學(xué)過(guò)程中給他們一些表現(xiàn)的機(jī)會(huì)，從而給予鼓勵(lì)性的評(píng)價(jià).教師在作出評(píng)價(jià)時(shí)，一定要實(shí)事求是，不能夸大其詞，而且要語(yǔ)言準(zhǔn)確，忌模糊不清.

通過(guò)這幾年的教學(xué)實(shí)踐與合理的分組實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)能力都有不同程度的提高，今后筆者將繼續(xù)關(guān)注如何提高小組合作學(xué)習(xí)的有效性，讓課堂真正成為全體學(xué)生的課堂，讓每個(gè)學(xué)生都成為課堂的主人，全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī).

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