MATLAB軟件可視化效果在大學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

孫 欣, 馮 艷, 吳志丹, 王 濤

(1. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034; 2. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部, 沈陽(yáng) 110034)

MATLAB軟件可視化效果在大學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

孫 欣1, 馮 艷2, 吳志丹2, 王 濤2

(1. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034; 2. 沈陽(yáng)師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)部, 沈陽(yáng) 110034)

與傳統(tǒng)的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教育相比較,MATLAB這種計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)語(yǔ)言將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或計(jì)算結(jié)果用圖形的方式直觀地顯示出來(lái),可以將難以顯示的隱含數(shù)直接用曲線描繪出來(lái),在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中有效地解決了數(shù)學(xué)的高度抽象性問(wèn)題。在大學(xué)數(shù)學(xué)公共課的教學(xué)實(shí)踐中,利用MATLAB軟件提供的數(shù)學(xué)語(yǔ)句在線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及高等數(shù)學(xué)3門(mén)課上繪制圖形,幫助學(xué)生有效理解、掌握大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中較為生澀、抽象的概念、定義、定理及推論。將教學(xué)實(shí)踐成果加以整理,以實(shí)例演示說(shuō)明MATLAB軟件的可視化在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境,提高學(xué)習(xí)效率,取得事半功倍的效果。

MATLAB軟件; 可視化效果; 大學(xué)數(shù)學(xué)

0 引 言

MATLAB是一種用于科學(xué)工程計(jì)算的高效率高級(jí)語(yǔ)言,原是提供使用LINPACK(線性代數(shù)軟件包)和EISPACK(基于特征值計(jì)算的軟件包)軟件包接口的,后來(lái)逐漸發(fā)展成通用科學(xué)計(jì)算、圖視交互系統(tǒng)和程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言。與BASIC、FORTRAN、C/C++等語(yǔ)言相比,MATLAB的語(yǔ)法規(guī)則簡(jiǎn)單,更貼近人的思維方式,被稱(chēng)為“演算紙式的”科學(xué)工程算法語(yǔ)言[1]。MATLAB應(yīng)用在數(shù)值計(jì)算、數(shù)字信號(hào)處理、系統(tǒng)識(shí)別、自動(dòng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、動(dòng)態(tài)仿真系統(tǒng)、特殊函數(shù)和圖像領(lǐng)域。MATLAB也廣泛應(yīng)用在高等應(yīng)用問(wèn)題的求解中,如:微積分問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解、線性代數(shù)問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解、代數(shù)方程與最優(yōu)化問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解、微分方程問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的計(jì)算機(jī)求解等[2]。MATLAB的繪圖功能具有非常強(qiáng)的實(shí)用性和可視性[3],繪圖命令不僅簡(jiǎn)單明了,而且控制和表現(xiàn)數(shù)據(jù)圖形的能力強(qiáng)。

1 MATLAB可視化效果在線性代數(shù)上的應(yīng)用

線性代數(shù)是大學(xué)本科計(jì)算機(jī)、工程、管理、經(jīng)濟(jì)各專(zhuān)業(yè)必修的基礎(chǔ)課,由于本課程具有較強(qiáng)的抽象性,所以教學(xué)中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的演示有助于對(duì)課程內(nèi)容的理解。本文以二次型的教學(xué)為例,說(shuō)明MATLAB可視化效果的應(yīng)用。通常,國(guó)內(nèi)各種教材通常利用線性變換等知識(shí)來(lái)講解二次型;而國(guó)外教材[4]利用數(shù)、形結(jié)合的方法,即用可視化的圖形將所學(xué)的內(nèi)容直觀呈現(xiàn)出來(lái),將形象思維和抽象思維結(jié)合起來(lái),這符合認(rèn)知規(guī)律。本文從2個(gè)方面說(shuō)明MATLAB可視化效果在線性代數(shù)上的應(yīng)用。

1.1利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)保持幾何形狀不變

例1 利用正交變換將二次型f(x,y)=x2-8xy-5y2化成標(biāo)準(zhǔn)型。

圖1 旋轉(zhuǎn)前后的雙曲線

注釋1 由圖1可以看出,二次曲線在正交變換的作用下幾何圖形保持不變,這是正交變換的意義。

1.2正(負(fù))定二次型的意義

教材[5]對(duì)正(負(fù))定二次型定義是這樣描述的:設(shè)有二次型f(x)=xTAx,A是對(duì)稱(chēng)矩陣,如果對(duì)于任意的x≠0,都有f(x)0 (f(x)<0),則稱(chēng)f(x)為正(負(fù))定二次型。這種從代數(shù)角度描述正(負(fù))定二次型理解起來(lái)較抽象,如果借助可視化,利用圖形演示直觀看到,有助于概念的理解。

圖2 正定二次型

例2 利用MATLAB三維圖形語(yǔ)句繪制正定二次型f(x,y)=3x2+7y2。

利用MATLAB三維圖形繪制語(yǔ)句[x,y]=meshgrid(-5∶0.1∶5,-5∶0.1∶5);z=3*x.^2+7*y.^2;mesh(x,y,z)畫(huà)出圖形,如圖2所示。

由圖2可以看出,當(dāng)(x,y)≠0時(shí),正定二次型3x2+7y20。

同理,利用MATLAB三維圖形語(yǔ)句繪制負(fù)定二次型f(x,y)=-3x2-7y2。

由圖3可以看出,當(dāng)(x,y)≠0時(shí),負(fù)定二次型-3x2-7y2<0。

利用MATLAB三維圖形語(yǔ)句繪制不定二次型f(x,y)=3x2-7y2。

由圖4可以看出,當(dāng)(x,y)≠0時(shí),不定二次型3x2-7y20或3x2-7y2<0。

圖3 負(fù)定二次型

圖4 不定二次型

注釋2 利用MATLAB可視化效果,對(duì)正(負(fù))定二次型概念有了清晰的認(rèn)識(shí)。

2 MATLAB可視化效果在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)上的應(yīng)用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是大學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)一門(mén)基礎(chǔ)課程。課程中一些抽象、生澀的概念和定義給學(xué)習(xí)帶來(lái)許多困難,國(guó)外教材[6-7]通常利用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生直觀可視的圖形和圖像幫助對(duì)知識(shí)的理解。本文作者在文獻(xiàn)[8]中從3個(gè)方面說(shuō)明MATLAB可視化效果在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用,詳細(xì)內(nèi)容見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

3 MATLAB可視化效果在高等數(shù)學(xué)上的應(yīng)用

MATLAB提供了一系列直觀、簡(jiǎn)單的繪圖命令與函數(shù),將高等數(shù)學(xué)中一些復(fù)雜函數(shù)用圖形顯示出來(lái),有助于分析和研究函數(shù)的性質(zhì)。下面從2個(gè)方面加以說(shuō)明。

3.1求函數(shù)的漸近線

圖5 曲線f(x)=及其鉛直漸近線

因?yàn)?/p>

所以x=0,x=1是曲線的兩條鉛直漸近線。

利用MATLAB語(yǔ)句:

ezplot(′x*(x-1)*y=1′,[-10 10])畫(huà)出圖形5。

圖6 曲線f(x)=及其水平漸近線

因?yàn)?/p>

所以y=0是曲線的一條水平漸近線。

利用MATLAB語(yǔ)句:x1=[0.001:0.01:200];y1=sin(x1)/x1;plot(x1,y1);hold onx2=[-200:0.01:-0.0001];y2=sin(x2)./x2;plot(x2,y2)畫(huà)出圖形6。

3.2將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)

無(wú)窮級(jí)數(shù)是逼近理論中重要內(nèi)容,是研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的非常有用的數(shù)學(xué)工具。通常,多項(xiàng)式被選為比較簡(jiǎn)單的函數(shù)作為近似函數(shù),一是因?yàn)槎囗?xiàng)式函數(shù)形式簡(jiǎn)單規(guī)范,適合用計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算其值,二是這類(lèi)函數(shù)是連續(xù)的,并且具有各階導(dǎo)數(shù),具有極好的分析性質(zhì)。因此當(dāng)我們用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)近似地表示一個(gè)已知函數(shù)時(shí)很方便[9]。

例5 將函數(shù)f(x)=ex展成x的冪級(jí)數(shù)。

由高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)[10],得到

利用MATLAB語(yǔ)句:x=[-2:0.01:10];y1=exp(x);plot(x,y1);hold ony2=1+x+1/2*x.^2+1/6*x.^3;plot(x,y2);hold ony3=1+x+1/2*x.^2;plot(x,y3);hold ony4=1+x;plot(x,y4);畫(huà)出圖形7。

圖7 將函數(shù)ex展成x的冪級(jí)數(shù)比照?qǐng)D

注釋5 由圖7不難發(fā)現(xiàn),隨著多項(xiàng)式展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)的增加,在點(diǎn)(0,1)的局部范圍內(nèi),多項(xiàng)式函數(shù)越來(lái)越逼近ex,借助MATLAB可視化圖形,對(duì)冪級(jí)數(shù)理論有了直觀認(rèn)識(shí)。

4 結(jié)論與展望

遵循數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合的方法,以及抽象思維與形象思維相結(jié)合的認(rèn)知規(guī)律,本文研究了MATLAB可視化效果在大學(xué)三門(mén)重要的基礎(chǔ)課程:線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)和高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用,力求起到拋磚引玉的作用。MATLAB語(yǔ)言可以用一系列簡(jiǎn)單、直觀的繪圖語(yǔ)句將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和仿真結(jié)果用可視的方式顯示出來(lái)。若充分、恰當(dāng)?shù)貙ATLAB軟件的可視化引進(jìn)大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué),長(zhǎng)期堅(jiān)持會(huì)起到事半功倍的效果。

[ 1 ]尹澤明,丁春利. 精通MATLAB 6[M]. 北京:清華大學(xué)出版社, 2002.

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[ 5 ]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 工程數(shù)學(xué):線性代數(shù)[M]. 5版. 北京:高等教育出版社, 2007.

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[ 9 ]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 微積分:下冊(cè)[M]. 北京:高等教育出版社, 2003.

[10]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué):下冊(cè)[M]. 6版. 北京:高等教育出版社, 2007.

ApplicationofMATLABvisualizationeffectinuniversitymathematicsteaching

SUNXin1,FENGYan2,WUZhidan2,WANGTao2

(1. School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China; 2. Department of Computer and Mathematics Teaching, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Compared with the traditional class teaching of university mathematics, MATLAB called as a computer mathematical language can visualize the experimental data or the computation results into the graphics and draw the implicit function with the curve, which is efficient to solve the abstractness of mathematics. In the teaching practice of the university mathematics, applying the mathematical language via MATLAB into the drawing of Linear Algebra, Probability and Statistics and Calculus teaching, it is helpful for students to understand and grasp the obscure and abstract concepts, definitions, theorems and corollaries. Then the results of teaching practice are sorted out and the examples are illustrated to show that MATLAB visualization in university mathematics teaching is beneficial to create perfect study scene and increase study efficiency.

MATLAB software; visualization effect; university mathematics

2014-06-06。

遼寧省高等學(xué)校杰出青年學(xué)者成長(zhǎng)計(jì)劃(LJQ2011118); 遼寧省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201202201); 沈陽(yáng)師范大學(xué)教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(JG2012-YB042)。

孫 欣(1972-),女,遼寧沈陽(yáng)人,沈陽(yáng)師范大學(xué)副教授,博士。

1673-5862(2014)04-0549-04

G434

: A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2014.04.021