有理真分式部分分式分解的證明及系數(shù)公式

傅鶯鶯

(北京工商大學(xué)理學(xué)院，北京100048)

1 引 言

在高等數(shù)學(xué)中，經(jīng)常遇到計(jì)算有理函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)、冪級(jí)數(shù)展開、以及不定積分等問題. 除了極其簡單或特殊情況以外，這類問題都要用有理真分式的部分分式分解來解決. 然而，數(shù)學(xué)教材中通常只介紹分解定理的結(jié)果而不提證明，并且對(duì)于如何確定分解系數(shù)都只給出了單一的待定系數(shù)法[1,2]，有待進(jìn)一步討論的問題很多.

對(duì)于有理真分式的部分分式分解定理，文獻(xiàn)[3]給出了一個(gè)基于數(shù)學(xué)分析技巧和方法的證明，文獻(xiàn)[4]通過對(duì)分母多項(xiàng)式的次數(shù)歸納進(jìn)行證明，過程都較繁瑣. 本文擬用多項(xiàng)式知識(shí)構(gòu)造性地完成其證明，過程較簡單. 至于分解系數(shù)的確定，文獻(xiàn)[5-8]等展開了研究，其中有的針對(duì)某些特殊有理函數(shù)，有的單從某一角度提出了某種算法，有的提出用泰勒公式、留數(shù)等概念進(jìn)行計(jì)算. 所用的方法看似很多，但本質(zhì)不外乎待定系數(shù)法、賦值法、極限法和求導(dǎo)法；得到的公式雖然很多，但形式不統(tǒng)一且結(jié)果不完整. 有鑒于此，本文完整地給出了運(yùn)用賦值法、極限法與導(dǎo)數(shù)法求分解系數(shù)的計(jì)算公式.

2 有理真分式部分分式分解的存在唯一性證明

證顯然只需證明s=2的情形，當(dāng)s>2時(shí)遞歸應(yīng)用s=2的結(jié)論即可.

設(shè)Q(x)=Q1(x)Q2(x)且Q1,Q2互素，則存在多項(xiàng)式S1(x),S2(x)使得1=S1Q1+S2Q2，從而

令PS2,PS1分別除以Q1,Q2得PS2=R1Q1+P1,PS1=R2Q2+P2，則

下證分解的唯一性. 若另有T1(x),T2(x)滿足

從而Q2(P1-T1)=Q1(T2-P2). 又因?yàn)镼1,Q2互素，所以Q1(P1-T1). 注意到P1-T1的次數(shù)低于Q1，故P1=T1. 同理可證P2=T2.

Q(x)=(x-a1)λ1…(x-as)λs(x2+p1x+q1)μ1…(x2+ptx+qt)μt,

(1)

其中等式右側(cè)分式均為真分式. 根據(jù)多項(xiàng)式基本知識(shí)(事實(shí)上是多項(xiàng)式除法)，每一Pi(i=1,…,s) 可唯一地寫作

Pi=Ai,1(x-ai)λi-1+Ai,2(x-ai)λi-2+…+Ai,λi-1(x-ai)+Ai,λi;

引理1及定理2構(gòu)造性地給出了有理真分式部分分式分解的方法，下面給出例子.

例1求下列有理真分式的部分分式分解：

步驟1 求多項(xiàng)式S1(x),S2(x)使S1Q1+S2Q2=1. 對(duì)Q1,Q2作輾轉(zhuǎn)相除，得到

Q2=1·Q1+(2x-2),

其余項(xiàng)即為

3 有理真分式部分分式分解的系數(shù)公式

例1的上述分解過程計(jì)算量較大，當(dāng)分母Q(x)的標(biāo)準(zhǔn)分解包含兩種以上因式時(shí)情況更棘手. 所幸定理 2確定了有理真分式部分分式分解的形式 (1)，分解系數(shù)Aij,Bij,Cij完全可以借助他法來求解. 系數(shù)的計(jì)算主要有待定系數(shù)法、賦值法、極限法和求導(dǎo)法. 當(dāng)然，算法各有優(yōu)劣，為了最快速簡便地求解系數(shù)，各算法常交叉使用.

3.1 待定系數(shù)法

將 (1) 式右端所有部分分式通分，其分子恒等于P(x). 于是由同冪項(xiàng)系數(shù)相等可得關(guān)于Aij,Bij,Cij的線性方程組，其方程個(gè)數(shù)恰等于待定系數(shù)的個(gè)數(shù)deg(Q). 根據(jù)定理 2，該方程組有且僅有唯一解，求解該方程組即得全部系數(shù). 該方法思路簡單，但往往有較大計(jì)算量.

3.2 賦值法

定理3設(shè)P(x),Q(x)同定理2，則分解式(1) 中的系數(shù)滿足

(2)

(3)

其中α為x2+pix+qi=0的復(fù)根，且

證將 (1)式兩端同乘以Q(x)，得

(2),(3)兩式給出了一部分分解系數(shù)(共s+2t個(gè))的計(jì)算公式. 以例1為例，設(shè)

則

3.3 極限法

(4)

(5)

(6)

證觀察 (1)式，注意到P/Q與Ai,λi/(x-ai)λi(i=1,…,s)為x→ai時(shí)的等價(jià)無窮大，故(4)式得證. 此外還已知P/Q-Ai,λi/(x-ai)λi與Ai,λi-1/(x-ai)λi-1為x→ai時(shí)的等價(jià)無窮大，故(5)式得證. 依此類推可以求得Ai,λi-2,…,Ai,1.

類似地，設(shè)x=α為x2+pix+qi=0 (i=1,…,t)的復(fù)根，則P/Q與(Bi,μix+Ci,μi)/(x2+pix+qi)μi為x→α?xí)r的等價(jià)無窮大(注意這里將極限推廣至復(fù)數(shù)域顯然是可以接受的)，故(6)式得證. 參照Aij的處理方法還可依次求得Bi,μi-1,Ci,μi-1,…,Bi,1,Ci,1.

極限法提供了計(jì)算全部分解系數(shù)的方法(其中Ai,λi與Bi,μi,Ci,μi的公式與賦值法本質(zhì)上相同)，以例1為例，有

3.4 求導(dǎo)法

(7)

i=1,…,t;k=0,…,μi-1.

(8)

證(1)式兩端同乘以 (x-ai)λi(i=1,…,s)，可寫作

其中R1為某有理函數(shù).

上式兩端求k(0≤k<λi) 階導(dǎo)并代入x=ai，得(7)式.

類似地，(1)式兩端同乘以 (x2+pix+qi)μi(i=1,…,t)，可寫作

其中R2為某有理函數(shù).

上式兩端求k(1≤k<μi) 階導(dǎo)，注意到

含有因式 (x2+pix+qi)k+1，故其k階導(dǎo)可寫作R3(x)(x2+pix+qi)，其中R3為有理函數(shù).

又因?yàn)?/p>

[(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)(x2+pix+qi)k](k)

=(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)[(x2+pix+qi)k](k)+k·Bi,μi-k·[(x2+pix+qi)k](k-1)

可以寫作

k!(2x+pi)k(Bi,μi-kx+Ci,μi-k)+R4(x)(x2+pix+qi),

其中R4為某多項(xiàng)式，所以

代入x=α，整理即得(8)式. 顯然(8)式中令k=0恰為(3)式，據(jù)此可以遞推地計(jì)算Bi,μi-1,Ci,μi-1,…,Bi,1,Ci,1.

根據(jù)(7),(8)兩式可以較快地算出全部分解系數(shù). 以下述分解為例.

其中

4 結(jié)論與啟示

本文構(gòu)造性地證明了有理函數(shù)具有部分分式分解形式(1)，并且基于賦值、極限和求導(dǎo)的思想分別給出了分解系數(shù)的計(jì)算公式(2)-(8). 結(jié)果表明，極限法與導(dǎo)數(shù)法都能求出全部分解系數(shù),相對(duì)而言,導(dǎo)數(shù)法的計(jì)算公式(7)與(8)形式更簡潔、更易于計(jì)算.

對(duì)于大多數(shù)高等數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)分析課程，有理函數(shù)部分分式分解的教學(xué)都出現(xiàn)在不定積分這一章中. 以往學(xué)生只是單純接受教材上的既有結(jié)論和固定方法，其能力僅僅是掌握如何按部就班地進(jìn)行計(jì)算. 考慮到學(xué)生此前已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式、極限與導(dǎo)數(shù)等方面的知識(shí)，教師可以將這部分教學(xué)內(nèi)容擴(kuò)展開來，引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)和啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)思考定理的證明、充分拓展系數(shù)計(jì)算的方法、甚至借助Matlab等數(shù)學(xué)軟件自行實(shí)現(xiàn)算法. 這有助于學(xué)生將極限、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)融會(huì)貫通，并且對(duì)訓(xùn)練他們的邏輯思維與推演能力、培養(yǎng)科研能力與動(dòng)手能力，都有著重要意義.

[參 考 文 獻(xiàn)]

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