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      N維陣研究及其地學(xué)應(yīng)用

      2014-09-21 19:21:37申維

      基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41172302,40672196)

      摘要:提出了N維陣的概念和常用的幾種定義和運(yùn)算,包括N維陣的加減、方括號(hào)乘法和Hadamard積,給出了其性質(zhì)及相應(yīng)的說(shuō)明;指出立體陣是N維陣的一個(gè)特例。N維陣方法的優(yōu)勢(shì)在于對(duì)多維數(shù)據(jù)表示更加簡(jiǎn)潔,理論分析較方便。最后,通過(guò)江紹拼合帶中西段CuZnAbAgSnAs元素組合異常研究和浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦預(yù)測(cè),說(shuō)明了N維陣在實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用中的方法及步驟。N維陣在處理地學(xué)多維數(shù)據(jù)方面有著重要的應(yīng)用前景。

      關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)地質(zhì);N維陣;方括號(hào)乘法;Hadamard積;立體陣;元素組合;成礦預(yù)測(cè)

      中圖分類號(hào):P628;O189.12文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

      Study of Ndimensional Matrices and Its Application in Geology

      SHEN Wei

      (State Key Laboratory of Geological Processes and Mineral Resources, China University of

      Geosciences, Beijing 100083, China)

      Abstract: A new basic concept of Ndimensional matrices was presented by the cubic matrices conception. The definition and arithmetic (including addsubtract, bracket multiplication and Hadamard product) of Ndimensional matrices were studied and proved. The cubic matrices was a special case of Ndimensional matrices. The multidimensional data were expressed more brief and facility in theoretical analysis by the method of Ndimensional matrices. The geological examples, which included the research on CuZnAbAgSnAs element combination anomalies in the middlewest of JiangshanShaoxing matching belt and the metallogenic prediction of copper polymetallic ore in the western of Zhejiang, were given to illustrate the method and procedure of Ndimensional matrices in geological application.The method of Ndimensional matrices is considered as a good tool in exploration and forecast.

      Key words: mathematical geology; Ndimensional matrices; bracket multiplication; Hadamard product; cubic matrices; element combination; metallogenic prediction

      0引言

      在地學(xué)研究中,經(jīng)常遇到多維數(shù)據(jù),例如對(duì)于許多復(fù)雜的地質(zhì)現(xiàn)象,要考慮全局范圍各個(gè)方向的平穩(wěn)性,即區(qū)別各向同性或各向異性分布規(guī)律,同時(shí)它們包含多個(gè)因變量和層次,每個(gè)因變量和層次具有不同的統(tǒng)計(jì)特征,必須用多變量與多個(gè)參數(shù)(即多維數(shù)據(jù)信息)來(lái)描述,才能全面刻畫其特征。在礦床預(yù)測(cè)研究中經(jīng)常遇到以下難題:礦質(zhì)運(yùn)移及其空間展布具有多維性;礦床演變與控礦構(gòu)造具有多層次、多階段性等[19]。目前,對(duì)于地質(zhì)模型研究常用方法有非線性邏輯回歸模型、多維對(duì)數(shù)線性模型、多維標(biāo)度法和數(shù)量化理論等[1011],但這些方法主要用于處理二維數(shù)據(jù),因此,提出和研究處理多維數(shù)據(jù)的新方法是非常必要的[12]。N維陣概念的提出和應(yīng)用,為研究多維數(shù)據(jù)提供了一個(gè)有力的工具。筆者提出了N維陣的概念、常用的幾種定義和運(yùn)算,包括N維陣的加減、方括號(hào)乘法和Hadamard積,同時(shí)研究了其性質(zhì),認(rèn)為N維陣在處理地學(xué)多維數(shù)據(jù)中有重要應(yīng)用前景。

      1N維陣的定義

      定義1.1稱r1×r2×…×rn的n維數(shù)組S為N維陣,S=(si1i2…in),1≤i1≤r1,1≤i2≤r2,…,1≤in≤rn。

      例如,當(dāng)n=4時(shí),i4、i3分別表示橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)(或經(jīng)緯度),i2表示高度(或高程),si1i2i3i4表示第i1種地球化學(xué)元素(如金)在三維坐標(biāo)(i2,i3,i4)處的數(shù)值,i1=1,2,…,r1。

      定義1.2設(shè)S和T均為r1×r2×…×rn的N維陣,定義S與T之和(差)為S±T=(si1i2…in±ti1i2…in) ,1≤i1≤r1,1≤i2≤r2,…,1≤in≤rn。

      例如,當(dāng)n=4時(shí),si1i2i3i4+ti1i2i3i4表示兩類地質(zhì)變量數(shù)據(jù)(如物探數(shù)據(jù)和化探數(shù)據(jù))si1i2i3i4與ti1i2i3i4在三維坐標(biāo)(i2,i3,i4)處的數(shù)值之和,i1=1,2,…,r1。

      定義1.3設(shè)A為m×r1階矩陣,S為r1×r2×…×rn的N維陣,定義A與S的方括號(hào)乘法T=[A][S]為一個(gè)m×r2×…×rn的N維陣,即tsi2i3…in=∑r1 k=1askski2i3…in,1≤s≤m,1≤i2≤r2,1≤i3≤r3,…,1≤in≤rn。

      特別地,當(dāng)n=4時(shí),當(dāng)A等于a,為一個(gè)r1維向量時(shí),T=[A][S]為r2×r3×r4的三維陣,即ti2i3i4=∑r1 k=1akski2i3i4,1≤i2≤r2,1≤i3≤r3,1≤i4≤r4。例如,a=(a1,a2,…,ar1),其中,ak是權(quán)數(shù),∑r1 k=1ak=1,ti2i3i4表示r1種地球化學(xué)元素(如金)si1i2i3i4在三維坐標(biāo)(i2,i3,i4)處的加權(quán)數(shù)值之和,i1=1,2,…,r1。

      方括號(hào)乘法的基本性質(zhì)為

      [A±B][S]=[A][S]±[B][S](1)

      [A][S±T]=[A][S]±[A][T](2)

      式中:A、B為m×r1階矩陣。

      定義1.4設(shè)S和T均為r1×r2×…×rn的N維陣,定義S與T的Hadamard積ST=(si1i2…in·ti1i2…in),1≤i1≤r1,1≤i2≤r2,…,1≤in≤rn。

      Hadamard積的基本性質(zhì)為

      ST=TS(3)

      (ST)U=S(TU)(4)

      (S+T)U=SU+TU(5)

      式中:S、T、U均為r1×r2×…×rn的N維陣。

      定義1.5設(shè)k為一個(gè)常數(shù),S為r1×r2×…×rn的N維陣,定義T=kS=(ksi1i2…in),為r1×r2×…×rn的N維陣,1≤i1≤r1,1≤i2≤r2,…,1≤in≤rn。

      2立體陣的定義

      立體陣的概念及運(yùn)算最早由Bates等在1980年提出[13],1983年Tsai在博士論文中對(duì)其進(jìn)行了初步整理,1989年中國(guó)學(xué)者韋博成在Tsai博士論文的基礎(chǔ)上進(jìn)行了系統(tǒng)總結(jié)和擴(kuò)充[14]。立體陣在非線性模型的非線性強(qiáng)度度量中有廣泛的應(yīng)用,在估計(jì)非線性模型的固有曲率和參數(shù)效應(yīng)曲率時(shí),起著關(guān)鍵的作用,在非線性回歸分析、搏弈論與經(jīng)濟(jì)學(xué)等中都有廣泛的應(yīng)用前景。實(shí)際上,立體陣是N維陣的一個(gè)特例(n=3)。

      定義2.1定義n×p×q的三維數(shù)組X=(xkij)為立體陣[13],1≤k≤n,1≤i≤p,1≤j≤q。其表達(dá)式為

      X=X1

      X2

      Xn(6)

      其中Xk=xk11 … xk1q

      

      xkp1 … xkpq

      例如,j、i分別表示橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)(或經(jīng)緯度),xkij表示第k種地球化學(xué)元素(如金)在坐標(biāo)(i,j)處的數(shù)值,k=1,2,…,n。

      定義2.2設(shè)X和Y均為n×p×q立體陣,定義X與Y之和(差)為X±Y=(xkij±ykij)[15] ,1≤k≤n,1≤i≤p,1≤j≤q。

      例如,xkij+ykij表示兩類地質(zhì)變量數(shù)據(jù)(如物探數(shù)據(jù)和化探數(shù)據(jù))xkij與ykij在坐標(biāo)(i,j)處的數(shù)值之和,k=1,2,…,n。

      定義2.3設(shè)A為m×n階矩陣,X為n×p×q立體陣,定義A與X的方括號(hào)乘法Y=[A][X][15],為一個(gè)m×p×q的立體陣,即ysij=∑n k=1askxkij,1≤s≤m,1≤i≤p,1≤j≤q。

      特別地,當(dāng)A=a,為一個(gè)n維向量時(shí),Y=[a][X]為p×q階矩陣,即yij=∑n k=1akxkij,1≤i≤p,1≤j≤q。例如,a=(a1,a2,…,an),其中ak是權(quán)數(shù),∑n k=1ak=1,yij表示n種地球化學(xué)元素(xkij)在坐標(biāo)(i,j)處的加權(quán)數(shù)值之和,k=1,2,…,n,1≤i≤p,1≤j≤q。

      方括號(hào)乘法的基本性質(zhì)(立體陣)

      [C±D][X]=[C][X]±[D][X](7)

      [C][X±Y]=[C][X]±[C][Y](8)

      式中:X、Y為2個(gè)n×p×q立體陣;C、D為m×n階矩陣。

      定義2.4設(shè)X和Y均為n×p×q立體陣,定義X與Y的Hadamard積XY=(xkijykij) [16],1≤k≤n,1≤i≤p,1≤j≤q。

      Hadamard積的基本性質(zhì)(立體陣)

      XY= YX(9)

      (XY)Z=X(YZ)(10)

      (X+Y)Z=XZ+YZ(11)

      式中:Z為n×p×q立體陣。

      定義2.5設(shè)k為一個(gè)常數(shù),X為n×p×q立體陣,定義Y=kX=kX1

      kX2

      kXn為n×p×q立體陣。

      3應(yīng)用實(shí)例

      3.1江紹拼合帶中西段CuZnAbAgSnAs元素組合異常研究

      江紹拼合帶中西段1∶200 000地球化學(xué)元素Cu、Zn、Ab、Ag、Sn和As的數(shù)據(jù)(每個(gè)元素的數(shù)據(jù)量為5 544個(gè))可以組成6×56×99的三維數(shù)組X=(xkij),即立體陣,1≤k≤6,1≤i≤56,1≤j≤99。通過(guò)成礦及伴生元素共生組合規(guī)律研究,確定相關(guān)性較強(qiáng)的元素組合。以相關(guān)性較強(qiáng)元素的地球化學(xué)觀測(cè)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),計(jì)算多元素的累加指數(shù)值,定量表示和研究地球化學(xué)元素組合異常及其空間分布規(guī)律。最常用的方法是通過(guò)多元相關(guān)分析方法,確定成礦元素組合,然后用元素累加指數(shù)制作元素組合異常等值線圖(圖1)。

      累加指數(shù)計(jì)算公式為

      (zij)=∑6 k=1xkij ∑56 i=1∑99 j=1xkij/(56×99)=[a][X](12)

      其中a=∑56 i=1∑99 j=1x1ij/(56×99)

      ∑56 i=1∑99 j=1x2ij/(56×99)

      ∑56 i=1∑99 j=1x6ij/(56×99),

      1≤i≤56,1≤j≤99。

      3.2浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦預(yù)測(cè)

      根據(jù)浙西地區(qū)1∶200 000地質(zhì)圖和相關(guān)礦種分布圖,在對(duì)區(qū)域地質(zhì)背景深入分析的基礎(chǔ)上,針對(duì)

      圖1CuZnPbAgSnAs元素組合異常等值線

      Fig.1Contour Map of CuZnAbAgSnAs Element Combination Anomalies

      需要預(yù)測(cè)礦種與地質(zhì)背景的關(guān)系,提取以下信息作為地質(zhì)預(yù)測(cè)變量(圖層):有利地層面積百分比(X1);地層組合熵(X2);同熔型及重熔型花崗巖存在與否(X3);燕山期巖體存在與否(X4);斷裂等密度(X5);斷裂交點(diǎn)數(shù)(X6);銀礦點(diǎn)數(shù)(X7);金礦點(diǎn)數(shù)(X8);鉛鋅礦點(diǎn)數(shù)(X9);鐵礦點(diǎn)數(shù)(X10);成礦元素簇團(tuán)因子異常得分(X11)。

      將研究區(qū)劃分為5 km×5 km的網(wǎng)格單元,共1 755個(gè)單元,每個(gè)單元可以看作平面上的一個(gè)點(diǎn),計(jì)算11個(gè)地質(zhì)預(yù)測(cè)變量(圖層)的每個(gè)單元成礦有利度(即銅多金屬礦發(fā)生的條件概率),其中安徽、江西單元部分(共301個(gè))的有利度設(shè)為0。這樣,11個(gè)地質(zhì)預(yù)測(cè)變量(圖層)Xk的成礦有利度可以組成11×39×45的三維數(shù)組X=(xkij),即立體陣,1≤k≤11,1≤i≤39,1≤j≤45。其中,i、j表示單元的坐標(biāo)。將11個(gè)地質(zhì)預(yù)測(cè)變量(圖層)的成礦有利度加權(quán)平均,得到浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦有利度等值線圖(圖2)。

      成礦有利度加權(quán)平均值為

      (yij)=∑11 k=1akxkij=[a][X](13)

      其中X=X1

      X2

      X11,1≤i≤39,1≤j≤45

      a=(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11)=(012,0.08,0.05,0.09,0.06,0.01,0.19,021,0.01,0.05,0.13)

      式中:ak為相應(yīng)的地質(zhì)預(yù)測(cè)變量(圖層)權(quán)數(shù),∑11 k=1ak=1。

      4結(jié)語(yǔ)

      (1)提出了N維陣的概念、常用的幾種定義和

      圖2銅多金屬礦成礦有利度等值線

      Fig.2Contour Map of Oreforming Favorability of Copper Polymetallic Deposit

      運(yùn)算,包括N維陣的加減、方括號(hào)乘法和Hadamard積,并給出了其性質(zhì)及相應(yīng)的說(shuō)明。

      (2)通過(guò)江紹拼合帶中西段CuZnAbAgSnAs元素組合異常研究與浙西地區(qū)銅多金屬礦成礦預(yù)測(cè),說(shuō)明N維陣在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用的方法及步驟,認(rèn)為N維陣在處理地學(xué)多維數(shù)據(jù)中有著重要的應(yīng)用前景。

      (3)N維陣方法的優(yōu)勢(shì)在于對(duì)多維數(shù)據(jù)表示與分析更加簡(jiǎn)潔與方便。N維陣也是處理空間和時(shí)間地質(zhì)空間多維數(shù)據(jù)的有效工具。

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