基于原子分解和行波自然頻率的單端故障測距方法

徐 高，龔慶武，李 勛，張英杰

（武漢大學(xué) 電氣工程學(xué)院，湖北 武漢 430072）

0 引言

隨著電力系統(tǒng)規(guī)模越來越大，高壓、遠(yuǎn)距離輸電得到越來越多的應(yīng)用。受環(huán)境、自然災(zāi)害、人為因素等影響，電力系統(tǒng)易發(fā)生各種類型的短路故障，準(zhǔn)確快速地排除短路故障將大幅提高電力系統(tǒng)的供電可靠性。為此，學(xué)者們提出了很多方法[1-6]。其中廣泛應(yīng)用的是基于暫態(tài)行波的故障測距方法[5-6]，該類方法測距精度高、穩(wěn)定性好，但易受過渡電阻及行波色散的影響，其難點(diǎn)在于如何準(zhǔn)確捕獲行波波頭[7]。

20世紀(jì)70年代Swift發(fā)現(xiàn)線路終端為理想開路或者短路，線路發(fā)生短路時(shí)故障電流中主頻率成分與故障距離存在線性關(guān)系[8]。 文獻(xiàn)[9-15]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上對這一現(xiàn)象進(jìn)行了深入的研究，提出了利用行波主自然頻率進(jìn)行故障定位的方法，分析了系統(tǒng)參數(shù)、故障距離與行波主自然頻率的關(guān)系，使得該方法進(jìn)一步成熟。利用行波主自然頻率進(jìn)行故障定位的關(guān)鍵在于如何準(zhǔn)確地捕捉短路后的行波主自然頻率值。文獻(xiàn)[13]利用離散傅里葉變換（DFT）對故障頻譜進(jìn)行分析，但是受限于DFT分辨率，該方法很難在測距精度上有很好的表現(xiàn)，尤其是在故障距離較長、主自然頻率較低時(shí)[9]。小波分析和多信號分析方法也可用于行波主自然頻率的提取，但是這些信號處理方法很難從本質(zhì)上反映故障行波的頻譜，其提取出的行波主自然頻率值均存在一定的誤差[11，15]。此外，以往學(xué)者在仿真時(shí)往往將輸電線路系統(tǒng)母線端的阻抗理想化，沒有考慮系統(tǒng)端等效阻抗較大時(shí)對測距精度的影響。

Mallat和 Zhang在匹配追蹤MP（Matching Pursuit）算法的基礎(chǔ)上提出利用構(gòu)造的原子庫進(jìn)行信號處理的辦法，稱為原子分解法[16]。該方法在暫態(tài)行波信號處理方面有很好的自適應(yīng)性，具有較強(qiáng)的時(shí)頻分辨能力，能夠?qū)π盘栠M(jìn)行準(zhǔn)確的分析。原子分解算法已在電力系統(tǒng)中的電能質(zhì)量分析[17-18]、低頻振蕩模式辨識[19-20]以及自適應(yīng)重合閘判定[21]等領(lǐng)域有較為廣泛的應(yīng)用。本文方法利用原子分解法對故障行波信號進(jìn)行處理，能準(zhǔn)確獲取行波主自然頻率值，從而精確測量故障點(diǎn)位置。仿真結(jié)果表明，該測距方法具有較強(qiáng)的魯棒性和準(zhǔn)確性，基本不受故障類型、故障距離、過渡電阻的影響。

1 原子分解

1.1 基本概念

傅里葉變換和小波變換都能較好地對信號進(jìn)行分析處理，但二者都沒有從信號本身的特征出發(fā)，僅僅利用一組固定的函數(shù)或向量集合來表示任意信號[17-20]。固定的函數(shù)組或向量集合能展開的函數(shù)是有限的，其表達(dá)信號的能力范圍也是有限的。要想完整地表達(dá)各類信號，函數(shù)的展開基應(yīng)該從具體信號的特征出發(fā)選取，這就需要構(gòu)建一個超完備的展開函數(shù)集合。這種超完備集合中的基稱為原子，由原子組成的展開函數(shù)集合稱為原子庫[17]。

要提高對信號的分析辨識能力，原子庫必須是高度冗余的，這使得分解結(jié)果非常稀疏，這個過程即稱為稀疏分解[18]。實(shí)現(xiàn)稀疏分解的關(guān)鍵在于如何建立一個合適的原子庫以及如何從原子庫中尋找到最優(yōu)匹配信號[20]。

1.2 原子庫的構(gòu)建及MP算法

原子分解算法中較常用的是Gabor原子，本文構(gòu)建Gabor原子庫。Gabor原子的實(shí)數(shù)表達(dá)式為[16]：

其中，g（t）為高斯窗函數(shù)；Kγ，φ為原子歸一化因子；s為尺度因子；τ為位移因子；ξ為頻率因子；φ為相位因子；原子的索引 γ=（s，τ，ξ，φ）。 為使原子庫的規(guī)模不至于過大而影響到計(jì)算速度，對長度為N的信號，采用如下的離散化原則[16]：

其中，Δτ為時(shí)間間隔；Δξ為頻率間隔。

索引 γ 經(jīng)離散處理后為 γ=（aj，pajΔτ，ka-jΔξ，φ），其中，a為伸縮因子，a＞ 1；j＜logN2；0＜p＜N·2-j+1；0＜k＜2j+1。 取 a=2、Δτ=1 /2、ξ=π。

離散后的Gabor原子庫形式為：

其中，n=0，1，…，N-1。

原子分解的核心是MP算法。利用MP算法迭代處理信號fR，m時(shí)，每次都會從原子庫中尋找一個最佳匹配原子gγm，并從信號中抽取出最佳原子的能量〈fR，m，gγm〉gγm（＜·，·＞表示求內(nèi)積運(yùn)算），形成新的殘余信號fR，m+1，直到殘余信號的能量小于設(shè)定值或達(dá)到迭代次數(shù)而終止。最佳原子的選取條件是該原子與待處理信號的內(nèi)積值最大，即：

其中，sup表示取最大值；gγ為原子庫中的原子；gγ0為最優(yōu)原子；λ為優(yōu)化因子，0＜λ＜1；f為待處理信號；γ為gγ的索引；Γ為原子庫集合。N次迭代后f為：

其中，fR，m為經(jīng)m-1次迭代分解后得到的殘余信號；fR，N+1為經(jīng) N 次迭代分解后得到的殘余信號；gγm為第m次迭代的最優(yōu)匹配原子。這樣就完成了對信號的稀疏分解，原子的特征參數(shù)也就代表了信號中所含成分的相關(guān)信息。

2 基于原子分解和行波自然頻率的故障測距算法

2.1 測距原理及步驟

一簡單雙端供電系統(tǒng)如圖1所示，ZA、ZB分別為雙端供電系統(tǒng)兩端母線處的系統(tǒng)阻抗，線路全長為L，在離母線A端d處發(fā)生短路故障。故障距離與行波主自然頻率存在以下關(guān)系[9]：

其中，θ1為母線A端的行波反射角，vA為相應(yīng)頻率下的行波模波速，反射角θ1和行波模波速vA可根據(jù)文獻(xiàn)[22]求出；f為行波主自然頻率。

圖1 雙端供電系統(tǒng)簡圖Fig.1 Simplified schematic diagram of dual-end power supply system

算法流程如圖2所示。

圖2 算法流程圖Fig.2 Flowchart of algorithm

一般f和f1差別不大，但測距精度依賴于行波主自然頻率的準(zhǔn)確性，在故障距離較長時(shí)該影響尤為明顯[10]，采用反饋濾波方式會更有利。

2.2 行波主自然頻率值的辨識

2.2.1 應(yīng)用原子分解的主自然頻率辨識方法

故障電流中主自然頻率成分的出現(xiàn)，是行波在線路兩端來回反射及有限長度線路的延時(shí)效應(yīng)共同作用的結(jié)果[14]，其在故障電流信號中表現(xiàn)為一種穩(wěn)定的諧波頻率成分，其幅值和能量與高次諧波相比均要大得多，即便是在遠(yuǎn)距離故障情況下主自然頻率值較低時(shí)，也能較為明顯地與諧波成分區(qū)別開來。故障模電流經(jīng)初始濾波處理后主要是行波主自然頻率成分，其幅值很大，占信號總能量的比例最大。應(yīng)用原子分解算法辨識主自然頻率值的具體步驟如下：

a.構(gòu)建Gabor原子庫，采用MP算法對信號進(jìn)行稀疏分解，得到最優(yōu)匹配原子及其索引；

b.每次迭代時(shí)均計(jì)算原子與殘余信號的內(nèi)積，利用偽牛頓法優(yōu)化原子特征參數(shù)γ，使其更準(zhǔn)確[19，21]；

c.存儲原子的特征參數(shù)，計(jì)算殘余信號能量，達(dá)到設(shè)定的次數(shù)時(shí)終止迭代。

經(jīng)原子分解法處理后的信號可近似表示為H個最優(yōu)原子的線性組合（H為設(shè)置的迭代次數(shù)）。根據(jù)原子分解算法尋找最優(yōu)原子的原則可知，第一次迭代產(chǎn)生的原子與信號的內(nèi)積值最大，其占信號總能量的比例最大，而行波主自然頻率成分正具有這一特征，因此該原子的特征參數(shù)就表示了主自然頻率成分的特征。根據(jù)步驟c中的頻率參數(shù)ξ可求得主自然頻率值f：

其中，fs為原始信號的采樣頻率。

2.2.2 反饋濾波

采用Clark變換對故障電流解耦處理后，得到的電流中主要成分是工頻分量和各次諧波，不經(jīng)濾波處理而直接分析其頻譜，將很難辨識出行波主自然頻率值。由于行波主自然頻率值未知，采用下限截止頻率較低的直接濾波方式不能理想地濾除故障電流中的低頻干擾成分。本文采用反饋濾波方式處理故障模電流，即先用截止頻率較低的FIR高通濾波器處理故障電流，再根據(jù)原子分解法所得行波主自然頻率粗略值反饋調(diào)整濾波參數(shù)，再對故障模電流重新濾波。行波主自然頻率值在線路長度小于400 km時(shí)不低于300 Hz，可設(shè)置濾波器的下限截止頻率fL=200 Hz，過渡帶寬200 Hz，根據(jù)所得主自然頻率粗略值f調(diào)整濾波器的下限截止頻率fL，如式（9）所示。對于行波主自然頻率值大于1000 Hz的情況，此時(shí)故障電流中絕大部分諧波的頻率均低于主自然頻率，設(shè)置濾波器下限截止頻率為800 Hz即有很好的濾波效果。

3 算例仿真

3.1 原子分解算法時(shí)頻分辨能力分析

本文方法的核心在于利用原子分解算法精確辨識主自然頻率值。為驗(yàn)證原子分解算法具有較強(qiáng)的時(shí)頻分辨能力，設(shè)置仿真測試信號s（t）為：

采樣頻率設(shè)為100 kHz，仿真時(shí)長0.04 s，在測試信號中加入信噪比為10 dB的高斯白噪聲，令原子分解法的迭代次數(shù)為5，迭代產(chǎn)生的前3個原子的幅值如圖 3 所示（A1、A2、A3分別為原子 1、原子 2、原子3的幅值），對應(yīng)的特征參數(shù)如表1所示，表中匹配度表示原子與原始信號的內(nèi)積值，該值的平方為原子占信號能量的比例。

由圖3、表1可知，原子1對應(yīng)信號中頻率值為6 600 Hz的成分。該成分占信號能量的比例最大，故第1次迭代時(shí)被分離出來。迭代產(chǎn)生的前3個原子的頻率值與原信號所含成分極相近，幾乎不受噪聲信號的干擾，充分說明原子分解算法有時(shí)頻分辨能力。

3.2 仿真算例1

本仿真由EMTP聯(lián)合MATLAB進(jìn)行，在EMTP中搭建如圖1所示的仿真模型。線路為恒定參數(shù)類型，全長350km。A端電源等效參數(shù)為：電源幅值500kV，相角0°，等效阻抗ZA=2.11+j56.4 Ω。B端電源等效參數(shù)為：電源幅值 495 kV，相角 5°，等效阻抗 ZB=0.816+j23.6 Ω。輸電線路單位長度線模參數(shù)為：Lm=0.864 mH /km，Cm=0.01336 μF /km，Rm=0.018Ω /km。輸電線路單位長度零模參數(shù)為：Lm0=2.17 mH/km，Cm0=0.01 μF /km，Rm0=0.161 Ω /km[23]。 系統(tǒng)采樣頻率為 1 MHz。

圖3 原子分解提取的Gabor原子Fig.3 Gabor atoms extracted by atomic decomposition

表1 原子特征參數(shù)Tab.1 Characteristic parameters of atom

設(shè)置三相短路故障，故障點(diǎn)離A端30 km，接地電阻100 Ω，故障從0.04 s持續(xù)到0.07 s。選取從故障前5 ms開始的1個工頻周期A端三相電流數(shù)據(jù)，按照2.1節(jié)中的處理步驟，得直接濾波后的α模電流波形如圖4所示。用原子分解算法處理信號（由于數(shù)字濾波器會導(dǎo)致一定的延時(shí)，故分析時(shí)選取處理后的后半部分信號），迭代產(chǎn)生的原子特征如表2所示。查看第1次迭代產(chǎn)生的原子參數(shù)，其幅值為286.60，計(jì)算后的頻率值為2580.46 Hz，占信號總能量的比例接近50%，根據(jù)自然頻率辨識方法知行波主自然頻率值為2580.46 Hz。

圖4 直接濾波后的α模電流Fig.4 α-modular current after direct filtering

表2 原子特征參數(shù)Tab.2 Characteristic parameters of atom

根據(jù)反饋濾波方法，設(shè)置濾波器下限截止頻率為800 Hz并進(jìn)行濾波，濾波后的電流波形見圖5，原子特征參數(shù)見表3。顯然，反饋濾波后的電流成分更單一，低頻干擾信號基本濾除，原子1占總信號能量比例約為98%，可知主自然頻率為2 588.07 Hz。

圖5 反饋濾波后的α模電流Fig.5 α-modular current after feedback-modified filtering

表3 原子特征參數(shù)Tab.3 Characteristic parameters of atom

由系統(tǒng)端阻抗ZA=2.11+j2919.4 Ω、特征阻抗Zc=254.3-j0.163 Ω 可得系統(tǒng)端反射角 θ1=0.055π[9]，并計(jì)算得模波速為294333.6 km/s。代入式（7），得故障距離d=30.005 km。反饋濾波過程的引入強(qiáng)化了濾波器對干擾信號的濾除能力，有利于行波主自然頻率的精確辨識，提高了測距精度。

3.3 仿真算例2

反饋濾波過程的引入是為了更好地濾除故障電流中的諧波分量，從而更準(zhǔn)確地辨識主自然頻率值。為體現(xiàn)反饋濾波方式的效果，以三相對稱短路故障為例分析，設(shè)置10組不同的故障位置，仿真結(jié)果如圖6所示。由圖可見，本文方法對較大范圍內(nèi)的故障情況均能可靠定位，對比2種濾波后的定位結(jié)果可知，遠(yuǎn)距離故障情況下引入反饋濾波環(huán)節(jié)能得到更高的定位精度。因行波主自然頻率值隨著故障距離的增加而減小，故障距離較大時(shí)，諧波分量與行波主自然頻率值相差較小，對主自然頻率值的準(zhǔn)確辨識會產(chǎn)生較大影響，同時(shí)線路對端母線反射行波亦會干擾到本側(cè)母線處行波主自然頻率的準(zhǔn)確檢測[10]，使得測距算法在故障距離較大時(shí)的測距精度略有下降。而反饋濾波環(huán)節(jié)的引入能夠優(yōu)化濾波器的參數(shù)設(shè)置，在保留主自然頻率成分的同時(shí)更好地濾除諧波干擾分量，利于原子分解法分析信號。需要特別指出的是，故障距離為2.5 km時(shí)本文方法無法得到測距結(jié)果，主要原因在于此時(shí)的行波主自然頻率值接近30 kHz，且幅值較小，受濾波器的截止頻率門檻設(shè)置影響，主自然頻率成分易被低頻諧波分量所淹沒。

圖6 不同故障距離時(shí)的測距結(jié)果Fig.6 Fault location results for different fault distances

3.4 仿真算例3

設(shè)置不同類型的短路故障，分析本文算法的魯棒性。接地故障時(shí)過渡電阻設(shè)為100 Ω，相間短路故障過渡電阻設(shè)為10 Ω，故障點(diǎn)距離A端30 km，具體測距結(jié)果見表4。單相故障采用0模α模平均法[9]計(jì)算故障距離，表中僅示出α模量主自然頻率。由表可知，本文方法在兩相和三相短路故障時(shí)的測距精度較高，絕對誤差均小于50 m，對故障類型不敏感，表現(xiàn)出了較強(qiáng)的魯棒性。而單相故障的測距精度略有降低，原因在于單相故障時(shí)的模混雜現(xiàn)象會影響自然頻率的辨識，本文仿真模型采用的系統(tǒng)端等效阻抗較大，使得故障行波在系統(tǒng)端的反射偏角加大，導(dǎo)致?；祀s現(xiàn)象更加明顯。

表4 不同故障類型下的測距結(jié)果Tab.4 Fault location results for different fault types

3.5 仿真算例4

現(xiàn)將傅里葉算法與本文方法進(jìn)行對比。以BC兩相接地短路為例，分別設(shè)置不同的系統(tǒng)端等效阻抗、故障距離和接地電阻值進(jìn)行仿真分析。傅里葉算法的頻率分辨率與仿真的采樣頻率和總的采樣點(diǎn)數(shù)有直接關(guān)系[24]，為保證采用傅里葉算法計(jì)算故障距離時(shí)有較高的精度，共保留短路前后約1 s的數(shù)據(jù)，此時(shí)傅里葉算法的頻率分辨率約為1 Hz。由于采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)過多會影響計(jì)算效率，設(shè)置采樣頻率為100 kHz。2種方法的測距結(jié)果如表5所示。

由表5可知，當(dāng)系統(tǒng)端等效阻抗較理想且故障距離較近時(shí)，本文方法與傅里葉算法均能較準(zhǔn)確地獲取主自然頻率值并確定故障點(diǎn)的位置，而當(dāng)系統(tǒng)端等效阻抗較大或故障距離增大時(shí)，傅里葉算法測距誤差明顯增大，而本文方法顯示出較強(qiáng)的魯棒性，測距誤差變化較小且結(jié)果不受過渡電阻的影響。需要特別指出的是，在等效阻抗較大的條件下發(fā)生遠(yuǎn)端故障時(shí)，本文方法的測距精度將受到一定的影響。由于本文采用濾波性能較好地反饋濾波方式和具有較強(qiáng)時(shí)頻分辨能力的原子分解法，測距算法的抗差性能得到了顯著提高。總體而言，本文所提算法較傅里葉算法適應(yīng)能力更強(qiáng)，測距精度更高。

表5 測距結(jié)果對比Tab.5 Comparison of fault location results

4 結(jié)論

本文采用原子分解處理故障模電流，并結(jié)合反饋濾波方式有效提高了故障定位的精度。原子分解法具有較好的暫態(tài)信號處理能力，其分辨率較高，算法準(zhǔn)確穩(wěn)定。與現(xiàn)有的基于行波主自然頻率的測距算法相比，本文所提方法在系統(tǒng)端呈現(xiàn)較大阻抗時(shí)仍具有較高的測距精度，且基本不受過渡電阻、故障類型及故障距離的影響，優(yōu)于傅里葉算法。如何消除近端測距死區(qū)以及進(jìn)一步提高單相測距和遠(yuǎn)端故障測距精度，同時(shí)優(yōu)化原子庫的生成和計(jì)算速度以提高算法效率是下一步將要研究的內(nèi)容。