有限觀測下的結(jié)構(gòu)損傷實(shí)時(shí)在線診斷

雷 鷹，周 歡

（廈門大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，福建 廈門 361005）

近年來，基于結(jié)構(gòu)振動(dòng)數(shù)據(jù)的系統(tǒng)辨識(shí)和損傷識(shí)別方法的研究受到了廣泛的關(guān)注，產(chǎn)生了許多識(shí)別理論與方法［1－6］。當(dāng)災(zāi)害發(fā)生時(shí)，通過觀測的數(shù)據(jù)對結(jié)構(gòu)的損傷進(jìn)行實(shí)時(shí)的診斷顯得越來越重要。目前，在時(shí)域范圍內(nèi)，對因結(jié)構(gòu)損傷產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)參數(shù)改變的實(shí)時(shí)識(shí)別主要通過在最小二乘法或者卡爾曼濾波方法中引入一個(gè)常數(shù)遺忘因子［7－8］，但是用這種方法識(shí)別的結(jié)果跟遺忘因子大小有關(guān)，遺忘因子越小，追蹤能力比較好，但是對噪聲比較敏感，若遺忘因子較大，接近于1，識(shí)別結(jié)果雖然對噪聲不很敏感，但是追蹤能力又不好。Yang和Lin等在文獻(xiàn)［9－12］中提出了一個(gè)基于最小二乘算法的自適應(yīng)追蹤方法來識(shí)別多層剪切框架的損傷情況，但是需要對結(jié)構(gòu)的速度，位移和加速度進(jìn)行全觀測，在實(shí)際的工程中很難實(shí)現(xiàn)。本文作者提出了在部分觀測結(jié)構(gòu)響應(yīng)的情況下，基于擴(kuò)展卡爾曼濾波／預(yù)測對剪切框架和大型結(jié)構(gòu)的損傷診斷的方法［13－15］，但這些方法不能應(yīng)用于對結(jié)構(gòu)損傷的實(shí)時(shí)診斷。Yang等［16］又提出了基于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法的自適應(yīng)追蹤損傷的方法，只需對加速度部分觀測，用一個(gè)遺忘因子矩陣代替單個(gè)的遺忘因子來進(jìn)行損傷識(shí)別。但自適應(yīng)因子矩陣存在較繁瑣與多解等問題。

本文研究一種基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的結(jié)構(gòu)損傷實(shí)時(shí)診斷算法，在外荷載已知的情況下，該方法只需要對加速度進(jìn)行部分的觀測，就能夠達(dá)到實(shí)時(shí)地追蹤結(jié)構(gòu)參數(shù)以及診斷其損傷。通過對比觀測加速度與預(yù)測加速度，可以判斷出結(jié)構(gòu)損傷的時(shí)間以及可能發(fā)生損傷的位置，再通過一個(gè)優(yōu)化函數(shù)，對可能損傷的剛度進(jìn)行優(yōu)化，以減少兩個(gè)加速度之間的誤差，從而達(dá)到對損傷的位置以及程度的識(shí)別。

1 損傷診斷算法

對于m個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程可以表示為：

其中：x（t）是 m維的位移向量。M表示質(zhì)量矩陣，F(xiàn)c［，θ］和Fs［x，θ］分別為耗散力和恢復(fù)力向量。f表示外部激勵(lì)，B為力的位置矩陣。

本文提出的損傷實(shí)時(shí)診斷算法共分為三個(gè)階段。

1．1 第一階段

第一階段是識(shí)別結(jié)構(gòu)的未知參數(shù)。由于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法需要一定的時(shí)間才能收斂，因此第一階段是算法本身的收斂階段，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)的參數(shù)是不變的，即損傷不會(huì)發(fā)生在此階段。

引入一個(gè)2m＋n維的向量：

其中：x是位移向量是速度向量，θT是n個(gè)未知的結(jié)構(gòu)參數(shù)。動(dòng)力方程（1）可以被寫成以下形式，

通常情況下，結(jié)構(gòu)的加速度只能部分觀測到。因此擴(kuò)展卡爾曼濾波中的觀測方程可以表示為

其中：h（Xk＋1，fk＋1）＝DM－1［－Fcx，θ）－Fs（x，θ）＋Bf］，yk＋1是觀測向量，D是和加速度傳感器放置位置有關(guān)的矩陣。vk＋1為測量噪聲。

通過擴(kuò)展卡爾曼濾波，可以得到t＝（k＋1）×Δt時(shí)刻的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)向量：

其中＾k＋1k是 Xk＋1在 t＝k×Δt時(shí)刻的估計(jì)值，Kk是卡爾曼增益矩陣。

1．2 第二階段

在第一階段結(jié)構(gòu)的狀態(tài)和物理參數(shù)收斂后，就是判斷結(jié)構(gòu)剛度突變的時(shí)刻，以及可能發(fā)生損傷的位置。

結(jié)構(gòu)某一層的損傷，會(huì)對安置在相鄰兩層的加速度響應(yīng)產(chǎn)生瞬時(shí)影響，但對較遠(yuǎn)的加速度響應(yīng)，影響則晚一點(diǎn)。如圖1所示，數(shù)值模擬n層剪切框架，受到一個(gè)頂部白噪聲的荷載作用結(jié)構(gòu)第i層剛度在第2．5 s突然發(fā)生了損傷。結(jié)構(gòu)的每層的剛度和質(zhì)量都相同，為ki＝12 kN／m，mi＝60 kg（i＝1，2，…，n），阻尼為黏滯阻尼 ci＝200 Ns／m。圖2（a）～2（d）是數(shù)值模擬得到的損傷附近層的樓層加速度響應(yīng)在損傷前后時(shí)程變化與結(jié)構(gòu)不發(fā)生損傷情況的樓層加速度響應(yīng)時(shí)程的對比。

圖1 n層剪切框架Fig．1 An n－story shear building

圖2 損傷位置附近樓層加速度變化Fig．2 Deviations of floor acceleration responses near locations of structural damage

可以看出，在第2．5 s的突變只影響到了和，而和則與無損時(shí)相比沒有明顯的變化，因?yàn)閕層的剛度損傷需要一定的時(shí)間才能對其他層產(chǎn)生影響。對于多層剪切框架，加速度傳感器從第一層開始隔層放置，這樣就可以確保每一層的損傷，都能被觀測到。

第t＝（k＋1）×Δt時(shí)刻，加速度的誤差可以表示為：

yi，k＋1表示（k＋1）×Δt時(shí)刻的觀測加速度是t＝kΔt時(shí)刻預(yù)測的加速度，由下式算出：

結(jié)構(gòu)的損傷不能發(fā)生在結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別收斂之前，否則該算法不能對損傷情況進(jìn)行診斷。定義時(shí)刻t＝（k＋1）Δt的加速度誤差平方和為：

其中：i表示加速度傳感器放置的樓層位置。m為放置的傳感器個(gè)數(shù)。

δ表示穩(wěn)定后得到的加速度差平方和的最大值。由圖2（a）～（d）可知，結(jié)構(gòu)的第 i和 i＋1層可能發(fā)生了損傷。

1．3 第三階段

第三階段通過優(yōu)化處理，來識(shí)別出結(jié)構(gòu)剛度損傷的具體位置和損傷的程度。

假設(shè)：

Δθi，Δθi＋1為待識(shí)別的結(jié)構(gòu)剛度參數(shù)的變化。利用MATLAB中的優(yōu)化函數(shù)FMINCON，該函數(shù)的作用是使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，將修正過的θ′＝θ－Δθ代入到擴(kuò)展卡爾曼濾波算法中，循環(huán)之前的計(jì)算過程。

目標(biāo)函數(shù)定義成以下的形式：

其中：j表示可能損傷的單元，p為可能損傷單元的總數(shù)。

約束函數(shù)定義為：

以上的優(yōu)化問題需要對每個(gè)可能損傷的單元進(jìn)行單獨(dú)的優(yōu)化。優(yōu)化的過程是不斷代入可能的剛度損傷的位置和程度，使得目標(biāo)函數(shù)最小，因?yàn)橹挥姓鎸?shí)的剛度損傷值才能符合觀測值與預(yù)測值相等，這樣就可以得到準(zhǔn)確的損傷的位置和損傷的程度。然后再實(shí)時(shí)的更新結(jié)構(gòu)的剛度參數(shù)，以便能對結(jié)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行連續(xù)的識(shí)別追蹤。

地方自媒體已然成為縣級媒體建設(shè)中的活躍者，在兩微一端平臺(tái)發(fā)展迅速。以微信公眾號為例，某些縣甚至出現(xiàn)了百個(gè)城市的地方自媒體內(nèi)容矩陣公司，地方自媒體的高速發(fā)展獲取了相當(dāng)一部分內(nèi)容流量和本地商機(jī)。互聯(lián)網(wǎng)公司最近幾年普遍嘗試下沉到四五線城市，下沉效應(yīng)帶來用戶數(shù)量的快速上升，這將無可避免地對傳統(tǒng)媒體格局造成巨大沖擊。2014年以來的微博用戶月活超過4億，2018年快手用戶日活過億，這些用戶很大程度上來自下沉縣級市場的小鎮(zhèn)青年。鮮活的案例與龐大的數(shù)字無不昭示著一批蓄勢待發(fā)的潛力受眾，勢必在縣級融媒體建設(shè)進(jìn)程中扮演著至關(guān)重要的角色。

2 數(shù)值算例

本文采用的是一個(gè)四層的剪切框架模型，如圖3。

圖3 四層剪切框架及部分加速度觀測Fig．3 A four-storey shear building with partial accleration observations

結(jié)構(gòu)的各個(gè)參數(shù)分別為：m1＝3 452 kg，m2＝m3＝2 652 kg，m4＝1 810 kg，k1＝k2＝k3＝k4＝67 900 kN／m，c1＝c2＝c3＝c4＝54．3 kN·s／m。結(jié)構(gòu)的質(zhì)量已知，加速度和外荷載可以通過觀測得到，加速度傳感器放置在結(jié)構(gòu)的第一層和第三層。所以需要識(shí)別的未知量為以下幾個(gè)量：X＝［x1，…，x4，x1，…，，k1，…，k4，c1，…，c4］T。通過上面介紹的擴(kuò)展卡爾曼濾波的算法和損傷追蹤監(jiān)測的方法，就可以識(shí)別出結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼，以及剛度因損傷產(chǎn)生的突變。

假設(shè)，結(jié)構(gòu)第一層剛度在第2．5 s發(fā)生突變，此時(shí)k1從67 900 kN／m降到了40 000 kN／m。用本文提出的方法對結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行實(shí)時(shí)診斷，假設(shè)觀測加速度受到10%的白噪聲影響。數(shù)值模擬的過程及結(jié)果如下。

第一階段：用擴(kuò)展卡爾曼濾波識(shí)別系統(tǒng)的時(shí)不變參數(shù)。假設(shè)算法在1 s之后趨于穩(wěn)定。

圖4 觀測與計(jì)算估計(jì)加速度誤差平方和Fig．4 Sum of quadratic errors between observed and predicted accelerations

第二階段：判斷損傷發(fā)生的時(shí)間以及可能的位置。

圖5 突變時(shí)各觀測層加速度誤差平方Fig．5 Quadratic errors of each observed and predicted acceleration at the time of abrupt change

通過對圖4的分析，可以發(fā)現(xiàn)，第2．5 s結(jié)構(gòu)的加速度誤差平方和發(fā)生突變，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了1 s穩(wěn)定之后的最大值，說明結(jié)構(gòu)的某一位置發(fā)生了某種損傷。圖5則說明突變主要是由第一層加速度誤差產(chǎn)生的，所以可以判斷出可能發(fā)生損傷的位置為第一層和第二層。

第三階段：確定損傷的程度以及準(zhǔn)確的位置。

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)可以確定損傷的位置和大小。圖6～圖9是各層剛度的收斂圖，據(jù)此可以得出本文中提出的基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的結(jié)構(gòu)損傷實(shí)時(shí)診斷的算法，可以準(zhǔn)確的判斷出剛度突變的時(shí)間，并且能夠計(jì)算出突變的位置和突變的程度。

圖6 第一樓層剛度隨時(shí)間變化的識(shí)別Fig．6 Identification of time-variant k1

圖7 第二樓層剛度隨時(shí)間變化的識(shí)別Fig．7 Identification of time-variant k2

圖8 第三樓層剛度隨時(shí)間變化的識(shí)別Fig．8 Identification of time-variant k3

圖9 第四樓層剛度隨時(shí)間變化的識(shí)別Fig．9 Identification of time-variant k4

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證采用的是由臺(tái)灣大學(xué)的Weng等［17］在臺(tái)灣地震研究中心做的三層鋼框架結(jié)構(gòu)損傷實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。如圖10所示，該結(jié)構(gòu)底面積為3 m×2 m，層高3 m，梁柱節(jié)點(diǎn)為螺栓連接。一個(gè)鎖定系統(tǒng)用V形支撐安置在第一層框架上，在外界底部激勵(lì)作用下該鎖定結(jié)構(gòu)可以在任何瞬間釋放，用來模擬樓層剛度的突然變化。整個(gè)結(jié)構(gòu)放置在一個(gè)大型的振動(dòng)臺(tái)上，其可以提供底部作用力。

地震作用下，結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成：

圖10 第一層帶有鎖定系統(tǒng)的剪切框架Fig．10 Shear frame with lock-up system in the 1st floor

圖11 各時(shí)刻加速度誤差平方和Fig．11 Sum of quadratic errors between observed and predicted accelerations

其中：m1＝m2＝m3＝6 000 kg，無鎖定系統(tǒng)的框架自振頻率為1．07 Hz，3．17 Hz和4．97 Hz，相對應(yīng)的阻尼比為3．85%，0．01%和0．83%，無鎖定結(jié)構(gòu)的待識(shí)別樓層剛度為 1 568 kN／m（第一層），1 531 kN／m（第二層），1 616 kN／m（第三層）。對于加強(qiáng)剛度的結(jié)構(gòu)（在第一樓層安裝鎖定系統(tǒng)），樓層剛度為3 137 kN／m（第一層），1 515 kN／m（第二層），1 568 kN／m（第三層）。振動(dòng)臺(tái)提供峰值為0．15 g的地面激勵(lì)。在t＝16．35 s將鎖定結(jié)構(gòu)釋放即該剛性元件和第一樓層斷開連接，用來模擬第一樓層突然出現(xiàn)剛度損傷。對結(jié)構(gòu)的第一層和第三層的加速度進(jìn)行觀測，計(jì)算結(jié)果如圖11～圖15所示。

圖12 突變時(shí)各觀測層加速度誤差平方Fig．12 Quadratic errors of each observed and predicted acceleration at the time of abrupt change

圖13 第一樓層剛度隨時(shí)間變化的識(shí)別Fig．13 Identification of time-variant k1

圖14 第二樓層剛度隨時(shí)間變化的識(shí)別Fig．14 Identification of time-variant k2

圖15 第三樓層剛度隨時(shí)間變化的識(shí)別Fig．15 Identification of time-variant k3

通過以上這些圖可得，結(jié)構(gòu)的第一層剛度在16．35 s發(fā)生突變，突變程度與真實(shí)情況比較符合。綜上可得本文提出的基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的實(shí)時(shí)損傷診斷的算法，可以在部分觀測的基礎(chǔ)上較準(zhǔn)確地判斷出突變時(shí)間，同時(shí)計(jì)算出突變的位置和突變的程度，比較好地滿足實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文提出了一個(gè)基于擴(kuò)展卡爾曼濾波的結(jié)構(gòu)損傷實(shí)時(shí)診斷的方法用來識(shí)別結(jié)構(gòu)的參數(shù)以及診斷其損傷。結(jié)構(gòu)的損傷首先會(huì)對其相鄰兩層的加速度產(chǎn)生影響，基于該加速度的變化，文中提出一個(gè)優(yōu)化函數(shù)，通過對結(jié)構(gòu)的剛度參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，來使得預(yù)測加速度與觀測加速度之間的誤差最小，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對損傷的追蹤。通過對比已有文獻(xiàn)提出的算法，可以看出在對加速度部分觀測的基礎(chǔ)上，本文中提出的算法，對剛度進(jìn)行實(shí)時(shí)追蹤，原理清晰明了。數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明提出的方法具有較好的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性來識(shí)別損傷。但該算法對于相鄰兩層的剛度同時(shí)損傷、對其他較復(fù)雜線性結(jié)構(gòu)、非線性結(jié)構(gòu)等情況的實(shí)時(shí)損傷識(shí)別，都還有待于后續(xù)更深入的研究。

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