基于能控性和能觀性的基礎(chǔ)隔振裝置的優(yōu)化配置

王玉梅

（地震工程與工程振動重點實驗室 中國地震局工程力學(xué)研究所，哈爾濱 150080）

近年來在結(jié)構(gòu)振動控制方面發(fā)展了很多關(guān)于控制設(shè)備最優(yōu)配置的方法。對于減隔震建筑，減隔震裝置從廣義上看，可以視為附加于原結(jié)構(gòu)的被動激勵或被動控制裝置，于是其位置的最優(yōu)化問題就成為控制器位置的最優(yōu)化問題，最優(yōu)控制就是用最小代價最大限度地把結(jié)構(gòu)從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個預(yù)想的狀態(tài)。在現(xiàn)代控制學(xué)領(lǐng)域，最優(yōu)化問題有很多土木工程領(lǐng)域可以借鑒的思路，比如基于能控性和能觀性概念的思路。能控性和能觀性的概念多應(yīng)用于航空器控制領(lǐng)域和電氣自動化領(lǐng)域，作為自主導(dǎo)航和轉(zhuǎn)換機(jī)反饋機(jī)制的控制［1－2］，它們描述了動態(tài)系統(tǒng)的輸入 u（t）對狀態(tài) x（t）的控制能力和輸出y（t）對狀態(tài)x（t）的反應(yīng)能力，恰與振動方程的狀態(tài)空間表達(dá)式對系統(tǒng)的描述相對應(yīng)。改變控制器位置即改變了輸入的系數(shù)矩陣B，重塑了系統(tǒng)的動力性質(zhì)，因此改變了系統(tǒng)的能控性。例如，如果控制器和傳感器置于某振型的節(jié)點，即使控制器和傳感器性能再優(yōu)越，該位置也是既不能控也不能觀的。通過建立能控性和能觀性與振型的關(guān)系，就能建立相對振型的最優(yōu)控制［3－5］，其中 Hamdan and Nayfeh的辦法是在能控性和能觀性的向量空間中引進(jìn)一個廣義角［5］；Choi等［6］改進(jìn)了該方法，延伸到平衡坐標(biāo)系統(tǒng)，并引進(jìn)特征值的范數(shù)等衡量指標(biāo)。

本文介紹的方法是由 Panossian等［7］提出并由Gawronski［8］完善的方法。這個方法把每個裝備位置對特定振型的范數(shù)進(jìn)行計算，然后按在系統(tǒng)模態(tài)參與的程度進(jìn)行分級。它與LQR法的2－范數(shù)目標(biāo)函數(shù)的控制目標(biāo)相符。Silva等［9］采用了這個方法的H∞對他們的智能控制系統(tǒng)進(jìn)行了控制器和傳感器的選擇。本文用既能反應(yīng)能控性又能反應(yīng)能觀性，而且在線性變換中保持常數(shù)的Hankel奇異范數(shù)（Hankel singular norm，Hh）作為優(yōu)化指數(shù)的判據(jù)基礎(chǔ)。本文以基礎(chǔ)減隔震建筑的隔振墊的布置為例，來說明這個方法在土木工程中的應(yīng)用。

1 工程實例

這里以位于洛杉磯市的一幢八層RC建筑為例，研究最優(yōu)控制。這是由美國ASCE學(xué)會下的控制委員會為方便土木工程界學(xué)者比較結(jié)構(gòu)控制研究成果的應(yīng)用，委托 Rice大學(xué) Nagarajaiah等［10－11］以及 Erkus等［12］于2005年以洛杉磯市政廳為原型建立的數(shù)學(xué)模型，關(guān)于減隔震控制的Benchmark問題。該建筑總高35．1 m，總重2．031×105kN。1～6層平面為 L型，為82 m×54 m，7～8層為矩形，82 m×35 m。該問題定義了三種可選基礎(chǔ)減隔震基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型和隔振墊的可選位置（92個），以及該結(jié)構(gòu)的質(zhì)量振型等參數(shù)，底層平面圖如圖1所示，每個位置點的坐標(biāo)亦已知。結(jié)構(gòu)的各層質(zhì)量簡化如表1所示。

圖1 底層平面圖及隔振裝置可選位置Fig．1 Base plan and available isolator locations

表1 樓層質(zhì)量Tab．1 Story masses，（kN·s2·m－1）

加上基底底板和扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，每層3個自由度，該建筑共27個自由度。原結(jié)構(gòu)無隔振時x－，y－，r－方向的自振周期分別為 0．78 s，0．89 s，0．66 s。

經(jīng)設(shè)計計算，取隔振墊總的等效剛度和阻尼系數(shù)為：kb＝2 119 kN／m，cb＝241．44 kN·s／m，對應(yīng)平動和轉(zhuǎn)動的隔振周期為2．28 s（x－），2．18 s（y－），及1．86 s（r－），等效阻尼比為 14．7% （x－），14．9%（y－），和17．9%（r－）［13］。設(shè)計要求，隔振剪力不應(yīng)超過總結(jié)構(gòu)總重量的10%。假設(shè)每個隔振墊水平承載力為1 500 kN，那么每個方向總數(shù)應(yīng)不超過15個。

結(jié)構(gòu)振動方程以狀態(tài)空間方程表示：

其中：q＝］為狀態(tài)向量，y為輸出向量，u為控制輸入（這里為隔振控制），為地震動輸入。z＝Φη，Z為上部結(jié)構(gòu)相對于隔震層yb（下標(biāo)b表示base）的位移。對于隔振結(jié)構(gòu)，上部結(jié)構(gòu)基本處于彈性狀態(tài)，可以模態(tài)坐標(biāo)η表示狀態(tài)，與隔振層的常態(tài)坐標(biāo)yb分開。這樣做的好處是方便能控性和能觀性的求解，但矩陣A、B、C包含相對于各層質(zhì)心坐標(biāo)的控制點和測量點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，需要經(jīng)過較復(fù)雜的坐標(biāo)變換求得［10－13］。結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣都為已知?？刂破魑恢玫男畔诰仃嘊中。傳感器位置的信息包含在輸出矩陣Cy中。

這里的控制器視為與隔振墊并列，控制輸入即為隔振支座處的被動或主動力；傳感器則與結(jié)構(gòu)的輸出并列，為反饋信號。

2 基本理論方法

能控性描述輸入和狀態(tài)的關(guān)系，涉及矩陣A和B的關(guān)系；能觀性描述輸出和狀態(tài)的關(guān)系，涉及矩陣A和的Cy關(guān)系。線性時變系統(tǒng)能控和能觀的判據(jù)是在時間區(qū)間［t0tf］內(nèi) Gram矩陣 grammians（Wc和 Wo）非奇異：

線性定常系統(tǒng)的判據(jù)是矩陣Wc和Wo為滿秩，即：

定常系統(tǒng)的Wc和Wo可以在Matlab中利用ctrb（）和obsv（）函數(shù)直接求出，從而判斷系統(tǒng)的能控性和能觀性。對于完全能控的線性定常系統(tǒng)，通過特別選定的坐標(biāo)變換，可以將其狀態(tài)方程化成標(biāo)準(zhǔn)的形式，稱為能控規(guī)范形。當(dāng)系統(tǒng)為不完全能控時，通過引入適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，可將它分解成能控的部分和不能控的部分。穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的A，能控性和能觀性的grammians都是正定的。

線性系統(tǒng)的解耦，要通過坐標(biāo)變換x＝進(jìn)行振型分解。土木工程領(lǐng)域較為熟知的第i振型的轉(zhuǎn)換矩陣為：

而控制領(lǐng)域較方便的是另一種解耦方式，即在上述轉(zhuǎn)換矩陣的基礎(chǔ)上乘以一個T′i，把矩陣A轉(zhuǎn)換成實部和虛部分開的形式，其中

如此解耦的模態(tài)坐標(biāo)系（AmBmCm）中（下標(biāo)m表示模態(tài)坐標(biāo)），grammians有下列性質(zhì)［8－9］：

（1）近似對角陣，即

這里 wc，i和 Wo，i是模態(tài)能控性和能觀性系數(shù)。

在對角陣中的對角項可表達(dá)為近似解析的解如下：

其示2－范數(shù)。

這個性質(zhì)表明，在某種解耦的模態(tài)坐標(biāo)系，不用計算行列式Am，grammian計算被大大簡化了；同時也說明，第i個振型能控性近似與第i個輸入的系數(shù)（矩陣）的平方成正比，第i個振型能觀性近似與第i個輸出的系數(shù)（矩陣）的平方成正比，它們都與第i個振型的阻尼和頻率成反比。Hankel norm的值是兩者的幾何平均值，即

（2）令 G（ω）＝Cm（jωI－Am）－1Bm為模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)（AmBmCm）的傳遞函數(shù)（此式中的 j為虛部符號），則第i個模態(tài)的 Hankel norm恰為傳遞函數(shù)的模，即

上述性質(zhì)表明，把上部結(jié)構(gòu)按 （7）、（8）解耦成（AmBmCm）的形式，不但可以使問題具有解析解的可能，還使與位置相關(guān)的能控性和能觀性有了較清晰的物理意義：Hankel norm相當(dāng)于傳遞函數(shù)峰值的二分之一。

只安裝一個控制器或傳感器的Hankel norm與安裝s個控制器或r個傳感器在第i模態(tài)（振型）的Han-kel norm的關(guān)系，是平方和均值（rms）關(guān)系，可以用下式表達(dá)［8］：

位置指數(shù)σij可以正則化評估第j個控制器在第i個模態(tài)（振型）的值，如式（14）所示：

上述位置指數(shù)可以很方便地排列成矩陣形式，如下所示：

位置指數(shù)矩陣可看出有兩個著眼點：第一，可考察某個位置的控制器（傳感器）對所有振型的重要程度，即從矩陣的列來看，其中第j項表示第j個控制器（傳感器）對所有振型的位置指數(shù)：

這個方法強(qiáng)調(diào)的是一個位置的整體重要性，而不強(qiáng)調(diào)其對某特定振型的作用，所以可能出現(xiàn)高振型導(dǎo)致的大的指數(shù)值。它不符合基礎(chǔ)減隔震系統(tǒng)低頻主導(dǎo)的設(shè)計目標(biāo)，所以本文不考慮。

第二個角度，考察所有位置對一個振型的重要性，即從矩陣的行來看，是本文所關(guān)注的。其中第i項表示所有位置對第i個振型的位置指數(shù)：

本文的位置指數(shù)以每個位置對低階隔振振型（尤其第一振型）的貢獻(xiàn)為關(guān)注重點，對應(yīng)較小指數(shù)的位置將不設(shè)隔振墊。

當(dāng)控制器或傳感器有太多的位置可選時，重要性按指數(shù)值大小排序可能不夠［8］。假設(shè)有一個位置有較大的指數(shù)值，那么與它很近的位置應(yīng)該也會有較大的控制影響力，即較大的指數(shù)。最好是通過相關(guān)系數(shù)排除相關(guān)度高的位置［8］。首先定義一個基于第i個位置的、非正則化的Hankel范數(shù)的向量gi：

第i個位置和第k個位置的相關(guān)系數(shù)ρik定義為：

任給一個小的正數(shù)ε，例如ε＝0．001，定義一個選擇指數(shù) I（k）＝1，k＝1，…，s，其中 s是控制器（傳感器）的個數(shù)，為：

如果I（k）＝1，那么第k個控制器（隔振墊）位置即被接受；如果I（k）＝0，那么第k個控制器（隔振墊）位置即被排除。對I（k）＝0，兩個位置i和k或者高度相關(guān)（ρik＞1－ε），或者第 i個位置具有更高的 σi。

基于上述理論，求解最優(yōu)位置的步驟如圖2。

圖2 最優(yōu)隔振裝置解題流程圖Fig．2 Flow chart of optimal isolator location solution

3 計算與驗證

計算表明，指數(shù)σij比較大的位置基本位于基礎(chǔ)外圍的角落附近和南部邊緣，尤其靠近西南角（＃3）和東北角（＃19），這兩點距質(zhì)心最遠(yuǎn)，r－方向振型影響最大。圖3為基于Hankel norm的位置指數(shù)計算圖。橫坐標(biāo)為隔振墊位置編號，縱坐標(biāo)為σij值。

圖3（a）為1、2、3模態(tài)（x－，y－和 r－方向的第一振型）在 92個位置的數(shù)值，圖 3（b）為 4、5、6模態(tài)（x－，y－和r－方向的第二振型）的?？梢?，指數(shù)較大的位置對上述6個振型基本一致，在x－，y－和r－方向有所不同。這些位置影響x－振型的位置是（＃1－3，31，60～65，90等）南面邊緣處。影響y－方向的位置則不明顯。原因是結(jié)構(gòu)不規(guī)則，兩個方向互相影響，但x－方向偏心更多。綜合考慮各種可能情況和相關(guān)因素，下列位置（共22個）為初選結(jié)果：

圖3 隔振裝置布置之Hankel norm指數(shù)Fig．3 Isolation device placement Hankel norm indices

假設(shè)ε＝0．001，對這22個選項進(jìn)行相關(guān)性排除，排除I（k）＝0的7個左右就剩設(shè)計需要的15個。

根據(jù)表 2，位置 12，13，43，73，74，75，87，它們的I（k）＝1，是留下來的。表3總結(jié)了其余位置（第1列）及與其高度相關(guān)的位置（第2列，I（k）＝0）。兩欄選一，即為彼此不相關(guān)度，或相關(guān)度較小，這些位置也將被保留。

從表3看出，3號、92號、63號、64號，91號出現(xiàn)頻率高，說明與其它位置相關(guān)度高。刪去它們，剩下17位置。但30號與40、49號相關(guān)度高，19號與80、81號相關(guān)度高，排除4個，剩13個，它們?yōu)椋?/p>

1，2，12，13，19，30，31，43，62，73，74，75，87。這13個的布置圖標(biāo)注在圖1中，以圓圈表示。

表3 隔振相關(guān)位置Tab．3 Correlated locations of isolators

剩下的13個比15個的目標(biāo)少兩個，由于初選的22個是按照σij的絕對值大小選的，樣本少了點，也沒有考慮凹角的兩條邊。根據(jù)觀察，考慮平面布置，選取24號與88號附近的點，并把12號和13號換成長邊的中部和下部的點，應(yīng)該比較好，且能符合設(shè)計要求。但此次計算在初選范圍和平面布置方面只做了上述選擇，作為方法的實例應(yīng)用。

另外，如圖2流程圖的最后一步，所得最優(yōu)位置組合，需應(yīng)用時程分析或其它方法，經(jīng)過與其它組合進(jìn)行比較，比較其對上部結(jié)構(gòu)的抗震性能控制效果，來驗證其為最優(yōu)。但本研究尚未進(jìn)行這方面的工作，將待日后逐步完善。

4 結(jié) 論

本文提出了一種可對基礎(chǔ)減隔震裝置位置選優(yōu)的，基于能控性和能觀性的方法，在控制理論應(yīng)用于土木工程的最優(yōu)化研究方面做了嘗試和探索。該法通過模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，計算結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣，以及Hankel奇異范數(shù)，來構(gòu)造位置指數(shù)矩陣，并用相關(guān)性計算排除相關(guān)度高的位置，避免控制力重復(fù)施力而實現(xiàn)最優(yōu)化。所提方法通過一個平面不規(guī)則的多層RC工程實例進(jìn)行了示范計算，所得結(jié)果符合工程經(jīng)驗判斷，其可靠性需進(jìn)一步研究。

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