制導動能彈最優(yōu)初始參數(shù)計算方法研究*

馮必鳴，聶萬勝，李 柯

（裝備學院，北京 101416）

0 引言

國外曾經提出名為“上帝之仗”的動能對地打擊方案，假想動能彈頭離軌再入大氣層，對地面目標實施精確垂直動能打擊［1］。然而，尋找一組最優(yōu)的初始參數(shù)既能保證動能彈在攻角和過載限制下高速精確垂直命中目標，又能使離軌制動燃料消耗量最小是實現(xiàn)該方案的關鍵。

目前，對彈藥最佳初始參數(shù)的研究主要采用兩種方法:搜索法和計算法。國內學者大多根據制導彈藥不同的初始參數(shù)組合方案，采用搜索法尋找最佳初始條件或者是彈藥投放區(qū)域［2－6］，但是采用該類方法計算時，如果沒有較好的搜索方式，搜索策略近乎于窮舉;而計算法是將尋優(yōu)過程描述成最優(yōu)控制模型［7］，利用最優(yōu)控制理論的相關算法計算出滿足某項指標最優(yōu)的控制量變化情況，主要有間接法和直接法?；赑ontryagin極大值原理的間接法是根據某項性能指標最優(yōu)，推導出制導律的解析解;直接法［10－12］是將連續(xù)的最優(yōu)控制問題離散并參數(shù)化，針對某項指標最優(yōu)得到離散的最優(yōu)控制律，而在制導控制規(guī)律已經確定的條件下，計算滿足各項條件的最優(yōu)初始參數(shù)研究還較少。

文中采用直接法的離散思想，根據制導律和動能彈飛行狀態(tài)參數(shù)之間的代數(shù)關系，將原來帶控制量的微分方程組轉化成為由動能彈狀態(tài)參數(shù)表示的微分方程組，并通過離散過程將該方程組轉化成為由一系列狀態(tài)參數(shù)表示的代數(shù)方程組，通過序列二次規(guī)劃法求解非線性規(guī)劃問題進而得到最優(yōu)初始參數(shù)。

1 參數(shù)優(yōu)化計算方法

1.1 縱平面終端傾角約束制導方程

根據圖1所示位置關系和文獻［13］可知，動能彈縱向平面內的運動方程可以表示為:

圖1 彈目坐標系

在簡化模型中:gxh= －ghsinθ，gyh= －ghcosθ;x為彈目距離;y為動能彈飛行高度;θ為彈道傾角（θ＜0）;V為彈體飛行速度。而縱向平面內的傾角約束制導律為:

1.2 狀態(tài)參數(shù)表示的制導方程

文中在進行初始參數(shù)優(yōu)化時，考慮將帶有控制量并滿足導引律的運動方程組轉化成為用狀態(tài)參數(shù)表示的運動方程，并將微分方程組離散，轉化成為由狀態(tài)參數(shù)表示的一系列代數(shù)方程組，通過求解非線性規(guī)劃問題得到最優(yōu)初始參數(shù)。

根據視線坐標系和目標坐標系之間的轉換關系，可得:

因此可以將縱向平面內的導引方程轉變?yōu)槿缦滦问?

其中，ρ（）y = ρ0e－（）y/H，海平面大氣密度 ρ0=1.226 kg/m3，參考高度 H=7254.24 m，重力加速度 gh=9.81 m/s2，動能彈氣動參考面積 S=0.102 m2。

又由Cx（）α=C0x+Cαxα2，可以得到:

至此，可以將原來帶控制量α的微分方程組變?yōu)橛?個狀態(tài)參數(shù)［x，y，V，θ］表示的微分方程組:

優(yōu)化指標:

滿足微分方程組約束.:

滿足不等式約束:

邊界條件:

1.3 微分方程組離散

現(xiàn)將連續(xù)的微分方程組按照Radau偽譜法的思想進行離散化處理，參考文獻［15］所描述的離散過程，可以得到以下轉換關系:

將上面帶微分方程組約束的最優(yōu)化問題轉變成為用以下形式代數(shù)方程組表示的參數(shù)優(yōu)化問題。

指標函數(shù):

等式約束:

微分方程組轉化的代數(shù)方程組:

其中 i=1，……，Nk。

邊界條件轉化的代數(shù)方程組:

不等式約束:

攻角和過載限制轉化的不等式約束:

邊界條件轉化的不等式約束:

上述過程將滿足制導控制律的微分方程組最優(yōu)初始參數(shù)問題轉化為由非線性代數(shù)方程組表示的參數(shù)優(yōu)化問題，利用序列二次規(guī)劃法（SQP）可求解出最優(yōu)初始參數(shù)。

2 仿真研究

2.1 最小再入角研究

根據國外提出的“上帝之仗”動能打擊假想，過大的再入角會造成離軌制動時較大的燃料損耗，因而通過研究滿足終端命中條件的最小再入角，為開展方案可行性論證提供理論支持。文中以某型制導動能彈氣動性能為例［14］，研究不同速度下的最小再入角問題，該優(yōu)化問題可以描述為:

在初始傾角和目標距離不確定的情況下，針對100 kg 載 荷以 8 000 m/s、7 000 m/s、6 000 m/s、5 000 m/s、4 000 m/s 5種不同速度再入，研究不同再入速度下滿足終端打擊條件的最小再入角，計算結果如表1所示。

表1 不同速度對應的最小再入角對比

從表1所示結果可知，再入速度越高，最小再入角越小，目標距離更遠，但是在最小再入角情況下，命中速度均不高，略大于2 000 m/s。為了說明該方法的可行性，文中選擇中等再入速度5 000 m/s，采用蒙特卡洛打靶法尋找滿足命中條件的最小再入角，計算結果如圖2和圖3所示。

從圖2不難發(fā)現(xiàn)，速度5 000 m/s的最小再入角約為 －32.6°，與文中所用方法計算得到的最小再入角差別僅有0.1°，而目標距離之間的差別也小于500m。并且從圖3所示命中速度分布情況可知，打靶法得到的最小再入角和相應目標距離對應的命中速度也接近2 000 m/s。

以再入速度5000 m/s，再入角 －32.7°，目標距離117 km為例，按照式（1）和式（2）描述的制導方程計算得到動能彈參數(shù)變化情況如圖4～圖6所示。從圖中所示的飛行彈道、相對距離、飛行速度、彈道傾角以及攻角和過載變化情況不難發(fā)現(xiàn)，各項參數(shù)均滿足約束要求。通過上述研究結果可以證明，文中設計的參數(shù)優(yōu)化方法是可行的。

圖2 再入角與目標距對應關系

圖3 命中速度分布

圖4 飛行軌跡及相對距離

圖5 速度及傾角

圖6 攻角和過載

文中根據表1中所示再入速度和最小再入角的分布情況，通過擬合關系式（17）得到再入速度和最小再入角邊界的近似分布，如圖7所示。

圖7 擬合最小再入角邊界及可行區(qū)域

圖7中虛線右下方區(qū)域是彈頭再入過程中，滿足過載約束、攻角約束、命中速度、命中傾角和命中精度的可行區(qū)域。為了進一步驗證該曲線和可行區(qū)域的正確性，同時研究再入速度和再入傾角對動能彈終端命中參數(shù)的影響，文中開展了以下研究。

2.2 再入速度與再入角影響

從表1可知，邊界點上的再入參數(shù)能夠保證各種約束下彈體命中目標，但命中速度不高，而動能彈的目的就是要最大限度的提高命中速度。因此，文中以7 000 m/s的再入速度，－23.8°的再入角為基本標準，依次研究再入角一定、再入速度變化和再入速度一定、再入角變化兩種情況下滿足最大命中速度的參數(shù)優(yōu)化問題。

通過計算得到不同情況下再入參數(shù)和命中參數(shù)如表2和表3所示。從表2中不難發(fā)現(xiàn)，當再入速度7 000 m/s，再入角 －22.8°時，彈體獲得最大命中速度為1 940 m/s，而這一點正好位于圖7所示邊界曲線上方的不可行區(qū)。隨著再入角往邊界曲線的下方移動，逐漸轉入可行區(qū)域，而且隨著再入角的下移，目標距離縮短，命中速度逐漸提高。而從表3中所示參數(shù)的變化情況可知，當再入速度6 500 m/s，再入角 －23.8°時，彈體能夠獲得的最大命中速度為1 920 m/s，該點正好位于圖7中邊界曲線左側的不可行區(qū)。隨著命中速度向邊界曲線的右側移動，逐漸進入可行區(qū)域，目標距變化并不大，基本在（165±5）km范圍內，但命中速度卻有明顯提高。

表2 不同再入角對應的最大命中速度對比

表3 不同再入速度對應的最大命中速度對比

3 結論

文中通過制導律與狀態(tài)參數(shù)之間的代數(shù)關系，將包含控制量的動能彈微分方程組轉化為由狀態(tài)參數(shù)表示的代數(shù)方程組，利用序列二次規(guī)劃法求解最優(yōu)參數(shù)問題。全文研究結果證明了兩點:

1）通過文中設計的計算方法獲得的再入速度和最小再入角邊界曲線及可行區(qū)域分布圖是可信的，也證明了文中采用的參數(shù)優(yōu)化方法是可行的;

2）明確了再入角和再入速度對命中速度的影響，與增加再入角來提高命中速度相比，增加再入速度不但能夠增加動能彈的命中速度而且還能夠盡可能減小離軌制動時的燃料消耗。

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