裂紋對弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)振動特性影響研究

馮 剛，高虹霓，李彥彬，張 琳

（空軍工程大學 防空反導(dǎo)學院，西安 710051）

弧齒錐齒輪傳動是航空動力推進系統(tǒng)中一重要部件，其動態(tài)特性直接影響發(fā)動機的可靠性。因此，弧齒錐齒輪的動態(tài)特性研究一直受到國內(nèi)外學者的重視，在其結(jié)構(gòu)模態(tài)分析、線性振動分析以及動態(tài)試驗等方面取得了許多研究成果［1－6］，而目前對弧齒錐齒輪發(fā)生裂紋故障時傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性研究很少。事實上，航空高速弧齒錐齒輪傳動曾發(fā)生過數(shù)起輪齒斷裂事故［7］，給國家造成不同程度的損失。本文應(yīng)用有限元分析軟件ANSYS對裂紋故障齒輪進行了數(shù)值模擬，將置于轉(zhuǎn)子上的弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)等效處理為8自由度動力學模型，在此基礎(chǔ)上研究了無裂紋和有裂紋弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)振動特性的變化，為從動力學方面對弧齒錐齒輪裂紋故障診斷的準確識別，給出一種有效的方法，從而可以避免災(zāi)難性事故的發(fā)生。

1 含裂紋弧齒錐齒輪三維有限元接觸模型

利用嚙合原理的方法建立齒面方程，根據(jù)弧齒錐齒輪已知的參數(shù)，通過Matlab計算軟件求解齒面方程，獲得大量齒面數(shù)據(jù)點的坐標，再將這些數(shù)據(jù)點導(dǎo)入到Pro／E中建立齒輪的實體模型。通過Pro／E掃描工具中的切口命令，在齒根處切割出裂口寬度為0．156 mm，深度為4 mm的裂紋，該裂紋通透齒輪大小端面。設(shè)置齒輪的材料屬性為：彈性模量 E＝1．95×1011N／m2，泊松比 ε＝0．3。采用 SOLID95單元劃分網(wǎng)格，劃分網(wǎng)格后生成的齒根處含4mm裂紋三維接觸有限元模型如圖1所示。

圖1 兩齒輪嚙合有限元模型Fig．1 The engaging gears finite element model

基于ANSYS有限元分析軟件對弧齒錐齒輪在一個嚙合周期內(nèi)的加載接觸特性進行分析［6］。得到無裂紋和含裂紋兩種狀態(tài)下單齒嚙合剛度擬合曲線如圖2所示。

圖2 無裂紋和含裂紋弧齒錐齒輪嚙合剛度變化曲線Fig．2 The mesh stiffness change curves of the cracked and uncracked spiral bevel gears

設(shè)主動齒輪的轉(zhuǎn)速為ω，則任意時刻無裂紋齒輪嚙合剛度的表達式為：

無裂紋齒輪嚙合剛度的平均值為：

含裂紋齒輪嚙合剛度的表達式為：

含裂紋齒輪嚙合剛度的平均值為：

從圖2可以看出：在一個嚙合周期內(nèi)，含裂紋弧齒錐齒輪比無裂紋齒輪嚙合剛度變化的幅度更加劇烈。

2 非線性振動模型與方程

弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)的動力學模型如圖3所示。

圖3 弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)動力學模型Fig．3 Dynamic model for spiral bevel gear transmission system

該弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)可等效處理為八自由度且考慮齒輪時變嚙合剛度和齒側(cè)間隙共存的非線性動力學模型，則弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)的廣義位移列陣表示為列向量：

式中，Xi、Yi、Zi（i＝p，g）分別為齒輪軸心沿 x軸、y軸移動和z軸橫向振動位移；θp、θg分別為主動齒輪繞x軸、從動齒輪繞y軸的扭轉(zhuǎn)振動位移。

兩齒輪嚙合點間因振動和誤差產(chǎn)生的沿嚙合點法線方向的相對位移λn為：

式中：C1＝cosδp·sinαn；C2＝cosδp·sinβm·cosαn；C3＝cosαn·cosβm；rp，rg為兩齒輪在嚙合點處的半徑；αn為法面壓力角；βm為齒中點螺旋角；δp為主動輪節(jié)錐角；en（t）為法向靜態(tài)（制造）傳動誤差。

式中：Ael為法向靜態(tài)傳動誤差的第l項諧波的幅值；為嚙合頻率；Φel為第l項諧波的相位；N為諧波階數(shù)。

齒輪副在嚙合時的法向動載荷及其沿坐標軸方向的分力分別為：

式中：kh（t）為嚙合剛度的平均值；ch為嚙合阻尼；其中kh（t）的表達式為：

式中：km為時變嚙合剛度的平均值；Akl為第l階的幅值；Φkl為第l階諧波的初相位。

間隙函數(shù) f（λn）的表達式為：

式中：bm為平均法向齒側(cè)間隙之半。

依據(jù)d'Alembert原理，可得弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學方程為：

式中，mp、mg、Jp、Jg為兩齒輪的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量。

為了消除系統(tǒng)的剛體位移，引入齒面嚙合點間的法向相對位移λn作為新的自由度，并對方程組（5）進行量綱一化處理后，得到系統(tǒng)的無量綱方程組（6）：

式中：me為齒輪副的等效質(zhì)量，F(xiàn)pm，F(xiàn)pv為主動齒輪所受圓周力的不變部分和可變部分，它們的表達式為：

式（8）中：AFl為外載荷第 l階諧波幅值；ω～F為外載荷Tpv的激勵頻率；Fl為第l階諧波的初相位。

以上各式中 i＝x，y，z；j＝p，g。

3 求解結(jié)果與分析

對間隙型非線性方程組（6），采用五階變步長自適應(yīng)Runge-Kutta數(shù)值積分方法對其進行求解，可引入狀態(tài)變量：

將式（6）中的7個二階微分方程寫成14個一階微分方程，再利用MATLAB軟件的ode45（ ）函數(shù)數(shù)值求解，保持其他參數(shù)的值不變，分別將無裂紋和含裂紋齒輪嚙合剛度的平均值帶入方程，得到兩種不同狀態(tài)下弧齒錐齒輪齒面嚙合點間沿嚙合點法線方向的量綱一化相對振動位移λ和振動速度λ·的變化規(guī)律。

3.1 無裂紋弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)振動響應(yīng)

無裂紋條件下，當無量綱嚙合頻率ωh＝2．398，弧齒錐齒輪系統(tǒng)的位移響應(yīng)歷程圖、相圖、Poincaré截面圖及Fourier頻譜圖如圖4所示，由圖可見，系統(tǒng)此時為1周期響應(yīng)。當ωh＝1．64時，系統(tǒng)又變?yōu)?周期響應(yīng)如圖5所示。當ωh＝2．87時，系統(tǒng)變?yōu)閿M周期響應(yīng)如圖6所示。

3.2 含裂紋弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)振動響應(yīng)

含裂紋條件下，當無量綱嚙合頻率ωh＝2．398，含裂紋弧齒錐齒輪系統(tǒng)的位移響應(yīng)歷程圖、相圖、Poincaré截面圖及Fourier頻譜圖如圖7所示，由圖可見，系統(tǒng)此時為擬周期響應(yīng)。當ωh＝1．17時，系統(tǒng)為倍周期響應(yīng)如圖8所示。當ωh＝2．87時，系統(tǒng)變?yōu)榛煦珥憫?yīng)如圖9所示，F(xiàn)ourier頻譜近乎于連續(xù)譜。

圖4 無裂紋 ωh＝2．398（1周期響應(yīng)）Fig．4 Uncrackedωh＝2．398（Single-Period Response）

圖5 無裂紋ωh＝1．17（3周期響應(yīng)）Fig．5 Uncrackedωh＝1．17（Three-Period Response）

圖6 無裂紋 ωh＝2．87（擬周期響應(yīng)）Fig．6 Uncrackedωh＝2．87（Quasi-Period Response）

圖7 含裂紋ωh＝2．398（擬周期破裂）Fig．7 Crackedωh＝2．398（Quasi-Period Rupture）

圖8 含裂紋 ωh＝1．17（倍周期響應(yīng)）Fig．8 Crackedωh＝1．17（Period-Doubling Response）

圖9 含裂紋 ωh＝2．87（混沌響應(yīng)）Fig．9 Crackedωh＝2．87（Chaotic Response）

通過比較無裂紋和含裂紋Poincaré截面圖可以看出，含裂紋系統(tǒng)的運動路徑出現(xiàn)了偏差，使周期運動軌跡不重合，使周期運動變?yōu)楸吨芷诤蛿M周期甚至混沌，破壞了振動原有的周期性。通過比較無裂紋和含裂紋FFT頻譜圖可以看出，含裂紋系統(tǒng)的振動響應(yīng)幅值增大，諧波含量明顯增多，響應(yīng)的波動增大。

4 結(jié) 論

（1）含裂紋的輪齒在單齒嚙合時，嚙合剛度減少，在參與多齒嚙合時嚙合剛度增加，在一個嚙合周期內(nèi)，含裂紋弧齒錐齒輪比無裂紋的嚙合剛度變化的幅度更加劇烈。

（2）裂紋對弧齒錐齒輪系統(tǒng)的振動響應(yīng)特性影響很大，不僅對振動大小有影響，而且對系統(tǒng)運動的形式也有影響，甚至會導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生擬周期運動和混沌運動，使系統(tǒng)的有序性降低，工作性能變差。

（3）裂紋使系統(tǒng)振動響應(yīng)幅值增大，使響應(yīng)中的諧波含量增多，使系統(tǒng)振動強度增大，動載荷增大，所以振動噪聲變大，傳動質(zhì)量變差，可靠性降低。

［1］唐增寶，鐘毅芳．齒輪傳動的振動分析與動態(tài)優(yōu)化設(shè)計［M］．武漢：華中理工大學出版社，1994．

［2］李潤方，王建軍．齒輪系統(tǒng)動力學［M］．北京：科學出版社，1997．

［3］王三民，沈允文，董海軍．含間隙和時變嚙合剛度的弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)非線性振動特性研究［J］．機械工程學報，2003，39（2）：28－32．WANG San-min，SHEN Yun-wen，DONG Hai-jun．Nonlinear dynamical characteristics of a spiral bevel gear system with backlash and time-varying stiffness［J］．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2003，39（2）：28－32．

［4］王立華，黃亞宇，李潤方，等．弧齒錐齒輪傳動系統(tǒng)的非線性振動特性研究［J］．中國機械工程，2007，18（3）：260－264．WANG Li-hua，HUANG Ya-yu，LI Run-fang，et al．Study on nonlinear vibration characteristics of spiral bevel transmission system［J］．China Mechanical Engineering，2007，18（3）：260－264．

［5］馮剛，王三民，李彥彬．一種分析裂紋對弧齒錐齒輪扭轉(zhuǎn)嚙合剛度影響的方法［J］．機械傳動，2011，35（7）：16－19．FENG Gang，WANG San-min，LI Yan-bin．A analysis method of the effect of crack on torsional mesh stiffness for spiral bevel gears［J］．Journal of Mechanical Transmission，2011，35（7）：16－19．

［6］馮剛，李彥彬，高虹霓，等．裂紋對弧齒錐齒輪扭轉(zhuǎn)嚙合剛度影響分析［J］．振動與沖擊，2012，31（8）：67－69．FENG Gang，LI Yan-bin，GAO Hong-ni，et al．Effect of crack on torsional mesh stiffness of a pair of spiral bevel gears［J］．Journal of Vibration and Shock，2012，31（8）：67－69．

［7］宋兆亂．航空發(fā)動機典型故障分析［M］．北京：北京航空航天大學出版社，1993．

［8］Amarnath M，Sujatha C，Swarnamani S．Experimental studies on the effects of reduction in gear tooth stiffness and lubricant film thickness in a spur geared system［J］．Tribology International，2009，42：340－352．

［9］Sirichai S．A finite element model of spur gears in mesh with a single tooth crack［C］．Third International Symposium on Advanced＆Aero space Science and Technology，Indonesia，Jakarta：ISASTI，1998：233－241．

［10］Chaari F，F(xiàn)akhfakh T，Analytical modelling of spur gear tooth crack and influence on gearmesh stiffness［J］．European Journal of Mechanics A／Solids，2008，7：1－8．

［11］馮剛，王三民，袁茹，等．裂紋對弧齒錐齒輪固有特性影響分析［J］．機械科學與技術(shù)，2010，29（6）：709－713．FENG Gang，WANG San-min，YUAN Ru，et al．Analysis of the effect of cracks on the natural characteristic of a spiral bevel gear［J］．Mechanical Science and Technology，2010，29（6）：709－713．

［12］李盛鵬，方宗德，張金良，等．弧齒錐齒輪齒根彎曲應(yīng)力分析［J］．航空動力學報，2007，22（5）：843－848．LI Sheng-peng，F(xiàn)ANG Zong-de，ZHANG Jin-liang，et al．A-nalysis of tooth root bending stress for spiral bevel gears［J］．Journal of Aerospace Power，2007，22（5）：843－848．

［13］王延忠，周元子，李國權(quán)，等．螺旋錐齒輪嚙合剛度及參數(shù)振動穩(wěn)定性研究［J］．航空動力學報，2010，25（7）：1664－1669．WANG Yan-zhong，ZHOU Yuan-zi，LI Guo-quan，et al．Mesh stiffness function and stability analysis for parametric vibration of spiral bevel gears［J］．Journal of Aerospace Power，2010，25（7）：1664－1669．

［14］邵忍平，張延超，黃欣娜．彈性支撐條件下裂紋齒輪體有限元模擬與仿真［J］．航空動力學報，2007，22（6）：1018－1024．SHAO Ren-ping，ZHANG Yan-chao，HUANG Xin-na．FEM simulation of cracked gear body under elastic supporting condition［J］．Journal of Aerospace Power，2007，22（6）：1018－1024．

［15］邵忍平，徐志鋒，薛騰，等．裂紋對齒輪三維彈性體振動聲輻射特性影響的研究［J］．振動與沖擊，2010，29（9）：175－180．SHAO Ren-ping，XU Zhi-feng，XUE Teng，et，al．Influence of crack on vibration and acoustic radiation characteristics of three-dimensional elastic body of gear structure［J］．Journal of Vibration and Shock，2010，29（9）：175－180．