基于解析模態(tài)分解的時變與弱非線性結(jié)構(gòu)密集模態(tài)參數(shù)識別

王佐才，任偉新，邢云斐

（合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009）

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測和安全評估已成為國內(nèi)外眾多學(xué)者致力研究的一個重要課題。而其中關(guān)鍵問題之一是對結(jié)構(gòu)的參數(shù)，特別是時變與非線性系統(tǒng)的時變參數(shù)進行有效的識別。因此，近10年來，基于希爾伯特變換在時變和非線性系統(tǒng)識別和損傷檢測領(lǐng)域中得到了廣泛的關(guān)注［1－8］。如：Feldman［5］提出的 Hilbert Vibration Decomposition（HVD）方法，并利用該方法對非線性結(jié)構(gòu)的時變參數(shù)進行了較為深入的研究。然而，HVD分解對噪聲非常敏感，微小的噪聲對分解的結(jié)果也會產(chǎn)生較大的影響，另一方面，如果一個信號具有多個同樣能量量級或者密集頻率的信號分量，HVD也很難將其分解。

為了實現(xiàn)對信號瞬時頻率的識別，黃鍔等［6－8］提出了經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解（EmpiricalModeDecomposition，EMD）和希爾伯特 －黃變換（Hilbert-HuangTransform，HHT）。EMD能夠?qū)?fù)雜信號分解為有限個本征模函數(shù)（IntrinsicModeFunction，IMF），對每一個IMF進行希爾伯特變換和譜分析，可以實現(xiàn)復(fù)雜信號的瞬時特征提取，是一種有效的非平穩(wěn)信號分析工具［9－11］。

雖然HHT在非平穩(wěn)和非線性信號的特征提取方面取得了廣泛的應(yīng)用，但在許多實際應(yīng)用中也遇到了各種困難［12］。例如：HHT無法分離密集的模態(tài)響應(yīng)，特別是具有模態(tài)頻率疊混（overlapping）的信號；對于時變的具有模態(tài)疊混的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)也往往存在于多個鄰近的分解信號中，需要進行進一步的重組。為了解決這些難題，國內(nèi)外的學(xué)者也做了相關(guān)的研究工作。例如，Chen［13］研究了HHT方法在密集模態(tài)結(jié)構(gòu)中模態(tài)參數(shù)的識別方法，在EMD分解過程中采用間歇檢查（Intermittencycheck）來分離密集模態(tài)。Yang［14－15］在進行 EMD分解前，利用帶通濾波器對信號進行濾波預(yù)處理，從而把結(jié)構(gòu)的密集模態(tài)分離出來。Wang等［16］提出了波組分解的方法，通過把信號的頻率從高頻轉(zhuǎn)化到低頻，增大相鄰頻率的比值，從而使得EMD有可能把低頻的信號分解出來。程遠勝等［17］提出將HHT與數(shù)學(xué)規(guī)劃方法相結(jié)合的方法，用于時變多自由度系統(tǒng)的參數(shù)識別。黃天立等［18］提出采用波組信號前處理和正交化經(jīng)驗?zāi)Ｊ椒纸獾姆椒ㄓ枰愿倪M，并將此方法稱為改進的HHT。然而，對于具有密集模態(tài)和時變頻率的信號分解，到目前為止，幾乎還沒有一種有效的方法能夠很好的解決這些問題。另一方面，目前的方法往往簡單地把識別出的響應(yīng)信號的瞬時頻率等同于結(jié)構(gòu)本身的瞬時頻率，但是，對于時變或者非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在環(huán)境激勵或者地震荷載作用下的響應(yīng)信號的瞬時頻率并不等同于結(jié)構(gòu)本身的瞬時頻率，如何利用信號的瞬時頻率來推導(dǎo)時變與非線性結(jié)構(gòu)本身的瞬時頻率也并沒有很好的解決。

Chen等［12］進一步結(jié)合希爾伯特變換提出了解析模態(tài)分解方法（AnalyticalModeDecompositionAMD）。其本質(zhì)是利用Hilbert變換把每一具有特定頻率成分的信號解析地分解出來。對于具有多個密集時不變頻率信號分量的復(fù)雜信號，AMD通過構(gòu)造一對具有相同特定頻率的正交函數(shù)，并利用這對正交函數(shù)與原復(fù)雜信號的乘積的Hilbert變換，把任意在頻率小于正交函數(shù)頻率的信號解析地分解出來，并最終實現(xiàn)密集模態(tài)的參數(shù)識別。Chen等［19－20］進一步提到，通過選取一個時變的二分截止頻率代替時不變的截止頻率，AMD可以進一步應(yīng)用于非平穩(wěn)信號的分解。

因此，本文為了解決具有密集模態(tài)的時變與非線性多自由度體系的時變參數(shù)識別問題，首先推導(dǎo)了單自由度與多自由度體系在自由振動和受迫振動下模態(tài)響應(yīng)信號的瞬時頻率與結(jié)構(gòu)本身瞬時頻率之間的關(guān)系。本文提出了把解析模式分解方法擴展到時變與非線性結(jié)構(gòu)的模態(tài)分解。該方法通過小波變換選取時變的二分截止頻率，對結(jié)構(gòu)的時變模態(tài)響應(yīng)進行分離，從而實現(xiàn)多自由結(jié)構(gòu)時變參數(shù)識別。

1 時變與非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)瞬時頻率識別

1.1 單自由度系統(tǒng)（SDOF）

時變或非線性單自由度系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的自由振動運動方程［21］可以簡單的表述為：

對于非線性結(jié)構(gòu)，非線性恢復(fù)力隨時間變化的函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成（t）x（t）的形式［21］，（t）是結(jié)構(gòu)瞬時頻率，x（t）是結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)。同樣，非線性阻尼力也可以轉(zhuǎn)換成2h0（t）x·（t）的形式，h0（t）為快時變瞬時阻尼，x·（t）為速度。

對式（1）進行希爾伯特變換，可得

式中：h0L和h0H分別為時變非線性阻尼h0（t）的低通（慢變部分）和高通（快變部分）濾波值；和分別為時變固有頻率（t）的低通（慢變部分）和高通（快變部分）濾波值。

對于單自由度系統(tǒng)的自由振動，位移響應(yīng)x（t）可以測得，位移的解析信號Z（t）可以表述為

Z（t）＝x（t）＋jH［x（t）］＝A（t）ej∫ω（t）dt（3）式中，A（t）和ω（t）分別是解析信號的瞬時振幅和瞬時頻率。對解析信號求一次和二次導(dǎo)數(shù)，可以得到

因此，速度和加速度以及它們的希爾伯特變換均可以表述為關(guān)于位移的函數(shù)

將等式（5）和式（6）代入式（1）和式（2）中，可得

由于任何信號x和它的希爾伯特變換H［x］的相位差為90°，所以它們不可能同時為零。因此，式（7）和式（8）中系數(shù)矩陣的行列式必須等于零，從而導(dǎo)出：

對于單自由度時變或非線性系統(tǒng)的受迫振動，其運動方程可以表述為：

與自由振動類似，如果瞬時阻尼h0（t）和瞬時固有頻率（t）是關(guān)于時間的慢時變函數(shù)，那么類似的可以推導(dǎo)出瞬時阻尼 h0（t）和固有頻率（t）：

工程實際中，由于響應(yīng)信號包絡(luò)線的導(dǎo)數(shù)值都比固有頻率小得多，其影響可以忽略不計，即0。因此，響應(yīng)信號的瞬時頻率可以寫成：

環(huán)境激勵或者地震作用f可以假設(shè)為具有零均值的時程函數(shù)，所以式（13）中的后一部分也是零均值快變的時變函數(shù)。如果（t）是弱非線性系統(tǒng)的慢變時變函數(shù)，通過AMD方法［12］過濾掉信號瞬時頻率 ω2（t）快變時變的部分，就可以獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率（t）。

1.2 多自由度系統(tǒng)（MDOF）

對于有n個自由度的時變或弱非線性系統(tǒng)，其運動方程可以表述為

式中：M（t），C（t）和 K（t）分別是時變質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣：f（t）是外荷載。在模態(tài)坐標中，式（14）可以轉(zhuǎn)換為

式中：是第i階模態(tài)質(zhì)量；i是第i階振型向量；（t）是第i階模態(tài)響應(yīng)的固有頻率。模態(tài)響應(yīng)的信號瞬時頻率（t）可以寫成

此外，環(huán)境激勵或者地震作用f可假設(shè)為具有零均值的時程函數(shù)，同樣的，式（16）的后一部分是零均值快變的時變函數(shù)。通過AMD方法［12］過濾掉模態(tài)響應(yīng)qi（t）的瞬時頻率（t）快變時變的部分，就可以獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第i階固有頻率（t）。

對于多自由度體系，所測得的第I個自由度的位移xl（t）為模態(tài)響應(yīng) qi（t）函數(shù)

式中：li為第I個自由度的第i階振型向量。因此，從xl（t）中分解而得的第i階模態(tài)響應(yīng)x（i）l（t）可以寫成：

對于有n個自由度的時變或弱非線性系統(tǒng)，li為慢變時變函數(shù)且未知，因此，無法獲得第i階模態(tài)響應(yīng)qi（t），而第 i階響應(yīng)（t）＝liqi則可以通過下文將要介紹的AMD分解方法獲得，其相應(yīng)的解析信號可表示為

從式（19）可以看出，分離出來的模態(tài)響應(yīng)信號（t）的瞬時頻率等于模態(tài)響應(yīng)qi（t）的瞬時頻率。因此，過濾掉AMD分解得到模態(tài)響應(yīng)（t）的瞬時頻率的快變時變的部分，就可以獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第i階固有頻率（t）。

2 基于AMD方法的時變非線性結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號分解

Chen等［12］首先提出了具有密集模態(tài)的時不變信號的解析模式分解定理，并給出了相應(yīng)的證明。解析模式分解可以描述如下：

對于任意由n個信號分量（t）（i＝1，2，…，n）組成的原信號x（t），如果它的每一分量的頻率 ω1，ω2，…，ωn（ωi＞0；i＝1，2，…，n）滿足：（｜ω1｜＜ωb1），（ωb1＜｜ω2｜＜ωb2），…，（ωb（n－2）＜｜ωn－1｜＜ωb（n－1）和（ωb（n－1）＜｜ωn｜），其中，ωbi∈（ωi，ωi＋1）（i＝1，2，…，n－1）為n－1個二分截止頻率，那么它的每一信號分量可以解析地給出：

式中，H［·］表示希爾伯特變換運算。

對于具有時變頻率的非平穩(wěn)信號，本文將解析模式分解定理拓展成如下：

對于任意由n個信號分量（t）（i＝1，2，…，n）組成的原信號x（t），如果它的每一分量的時變頻率ω1（t），ω2（t），…，ωn（t）滿足：｜ω1（t）｜＜ωb1（t），ωb1（t）＜｜ω2（t）｜＜ωb2（t），…，ωb（n－2）（t）＜｜ωn－1（t）｜＜ωb（n－1）（t），和 ωb（n－1）（t）＜｜ωn（t）｜。其中，ωbi（t）∈（ωi（t），ωi＋1（t））（i＝1，2，…，n－1）是選取的時變截止頻率。那么它的每一信號分量可以解析地給出：

式中：dτ為時變截止頻率的積分，即相位角。

根據(jù)上述AMD分解的表述，可以設(shè)計如圖1所示的自適應(yīng)低通濾波器。AMD的本質(zhì)是利用Hilbert變換把每一具有特定頻率成分的信號解析的分解出來。對于多個時變密集頻率信號疊加的復(fù)雜信號，AMD定理通過構(gòu)造一對具有相同特定時變頻率的正交函數(shù)，并利用這對時變正交函數(shù)與原復(fù)雜信號的乘積的Hilbert變換，把任意在頻率時間平面內(nèi)低于正交函數(shù)時變頻率的信號解析地分解出來。

圖1 基于AMD分解的時頻低通濾波器框圖Fig．1 Block diagram of a time-frequency lowpass filter with AMD method

3 自由振動下時變與非線性系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識別

3.1 自由振動下杜芬系統(tǒng)的瞬時頻率識別

本文首先用硬化彈簧和線性阻尼組成的杜芬系統(tǒng)進行數(shù)值模擬，其杜芬方程［21］為

系統(tǒng)初始位移為10 cm，初始速度為0的自由振動信號可由四階龍格庫塔法計算獲得。本算例取時間間隔為0．1 s，其計算得到的自由振動響應(yīng)和傅里葉譜如圖2所示。

圖2 非線性杜芬系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)和傅里葉譜Fig．2 Free response and its Fourier spectrum of nonlinear Duffing system

對于單自由的體系，通過AMD方法過濾掉信號瞬時頻率的快變時變的部分，就可以獲得結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率。響應(yīng)信號的瞬時頻率，阻尼系數(shù)以及利用本文方法識別出來的結(jié)構(gòu)瞬時頻率、阻尼如圖3所示。從圖3中可以看出，在振幅較大的時間范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)非線性硬化程度比較大，結(jié)構(gòu)的瞬時頻率也比較大。自由振動開始時，瞬時頻率迅速下降，最后逐漸趨于相應(yīng)的線性系統(tǒng)的頻率值（0．16 Hz）。因此，響應(yīng)信號的瞬時頻率的慢變部分可以準確地反映弱非線性系統(tǒng)的頻率變化。響應(yīng)信號的瞬時阻尼系數(shù)的慢變部分為水平直線（0．025），說明識別出來的阻尼系數(shù)為常數(shù)0．025，這與杜芬系統(tǒng)的阻尼系數(shù)也是一致的。

圖3 識別出的瞬時頻率和阻尼系數(shù)Fig．3 Identified instantaneous frequency and damping coefficient

3.2 自由振動下索的時變頻率識別試驗

為了驗證本文方法在時變參數(shù)識別上的有效性，本文利用文獻［22］的一時變拉索試驗數(shù)據(jù)進行了驗證。試驗索為一根75的鋼絞線，一端用反力架錨固，另一端固定在MTS加載系統(tǒng)上。兩錨固點間的索長為4．55 m。將加速度傳感器豎向安裝在索的中部，其采樣頻率600 Hz，試驗裝置如圖4所示。拉索由錘子敲擊產(chǎn)生自由振動，本文分別對拉力線性變化和正弦變化兩種情況的時變頻率進行了識別。

圖4 拉索試驗裝置Fig．4 Cable test setup

拉索拉力與索的頻率關(guān)系可以通過固定索的拉力，測得索的自由振動響應(yīng)，并利用峰值法識別出結(jié)構(gòu)在固定拉力下的固有頻率，并把固定拉力下測得的索的固有頻率作為準確值。索的拉力與固有頻率的關(guān)系如圖5所示。

圖5 同定值拉力作用下識別出的一階固有頻率Fig．5 Identified first natural frequency with fixed tension forces

3．2．1 拉力線性變化時索的瞬時頻率識別

試驗時索的拉力從20 kN開始以1．67kN／s的速率線性增加，索力變化過程中同時采集索的沖擊加速度響應(yīng)，共采集6 s，響應(yīng)信號如圖6所示。由于用錘子產(chǎn)生自由振動的方式無避免噪聲效應(yīng)的產(chǎn)生，如果這個噪聲激勵是零均值的，那么所測模態(tài)響應(yīng)中慢變時變部分的瞬時頻率可以看作是索的時變頻率。因此，本文選用二分截止頻率為20 Hz，利用AMD把第一階模態(tài)響應(yīng)分解出來，識別出的響應(yīng)信號的瞬時頻率和結(jié)構(gòu)的瞬時頻率如圖7所示。從圖中可以看出，測試獲得模態(tài)響應(yīng)信號中的瞬時頻率等于系統(tǒng)的慢變時變頻率加上環(huán)境振動的零均值快變的時變頻率。因而模態(tài)響應(yīng)信號中的瞬時頻率的慢變時變頻率部分可以有效地識別出索的時變頻率。

圖6 拉力線性變化時測得索中點處的自由響應(yīng)Fig．6 Measured free response at middle of cable with linear varying tension force

圖7 拉力線性變化時識別出的瞬時頻率Fig．7 Identified instantaneous frequency with linear varying tension force

圖8 拉力正弦變化時測得索中點處的自由響應(yīng)Fig．8 Measured free response at middle of cable with sinusoidal tension force

3．2．2 拉力正弦變化時索的瞬時頻率識別

此試驗中，拉力按的方式隨時間正弦變化。同樣，索力變化過程中同時采集索的沖擊加速度響應(yīng)，共采集6 s。響應(yīng)信號如圖8所示。通過本文方法識別出的瞬時頻率如圖9所示，從圖中可以看出，模態(tài)響應(yīng)瞬時頻率慢時變的部分與系統(tǒng)瞬時頻率是較為吻合的，可以有效的識別出索的時變頻率。

圖9 拉力正弦變化時識別出的瞬時頻率Fig．9 Identified instantaneous frequency with sinusoidal tension force

4 受迫振動下具有密集模態(tài)的時變系統(tǒng)參數(shù)識別

對一具有密集模態(tài)的時變兩層框架系統(tǒng)（圖10）進行數(shù)值模擬。下層和上層的集中質(zhì)量分別為m1＝2．63×105kg和 m2＝1．75×103kg，結(jié)構(gòu)的第一和第二階阻尼比為2%。結(jié)構(gòu)的第一階和第二階固有時變頻率為。對應(yīng)的結(jié)構(gòu)下層和上層剛度系數(shù)為：

分別對結(jié)構(gòu)在1940 El Centro地震激勵下和具有零均值和0．1 g（g為重力加速度）方差的高斯白噪聲激勵下的響應(yīng)進行數(shù)值模擬，并把第一層模擬的位移響應(yīng)x1作為實測的時程響應(yīng)。為了利用AMD對模態(tài)響應(yīng)進行分離，首先選用中心頻率為5 Hz，帶寬為8的復(fù)Morlet小波函數(shù)，對模擬的信號進行小波變換，獲得小波量圖，并粗略利用模最大的方法提取瞬時頻率脊線（如圖11），從而通過取小波脊線的平均值作為AMD分解的時變截止頻率。利用AMD分解獲得每一階的模態(tài)響應(yīng)如圖12所示。利用本文方法識別的模態(tài)響應(yīng)信號的瞬時頻率和結(jié)構(gòu)瞬時頻率如圖13所示。

該方法首先利用小波變換近似將密集模態(tài)的時變頻率脊線提取出來，再根據(jù)近似的時變脊線選擇每一信號分量的時變截止頻率，利用AMD分解實現(xiàn)每一信號的分離，而不再需要對信號進行重建。這樣的優(yōu)點是，根據(jù)Heisenberg-Gabor不確定性定理，小波分析不能同時在時域與頻域內(nèi)達到較高的精度［23］，那么對具有密集模態(tài)的時變響應(yīng)，不僅需要較高的頻率精度，實現(xiàn)模態(tài)的分離，同時也需要較高的時間精度，從而可以準確地得到信號的瞬時特征。結(jié)合AMD分解的優(yōu)勢，先通過選擇合適的具有較高頻率精度的小波參數(shù)，先選擇失去時間精度的瞬時頻率，利用AMD實現(xiàn)每一信號的分離和本文提取的時變參數(shù)識別方法，就可以較精確地得到同時具有較高時間與頻率精度的瞬時頻率。

從圖11中也可以看出，簡單的通過模擬最大提取的小波脊線并不能有效的識別出結(jié)構(gòu)的瞬時頻率。而如圖13所示，結(jié)合AMD與本文提出的方法識別出來的結(jié)構(gòu)瞬時頻率與理論值十分吻合，從而有效地識別出了具有密集模態(tài)的多自由的瞬時頻率。

圖10 兩層框架結(jié)構(gòu)Fig．10 Two-story shear building

圖11 基于小波變換的結(jié)構(gòu)瞬時頻率參數(shù)識別Fig．11 Instantaneous frequencies by wavelet transform method

圖12 AMD分解的模態(tài)響應(yīng)Fig．12 Decomposed modal responses by AMD

圖13 基于AMD分解方法的瞬時頻率識別Fig．13 Identified instantaneous frequencies by AMD

5 結(jié) 論

本文推導(dǎo)了單自由度與多自由度體系在自由振動和受迫振動下模態(tài)響應(yīng)信號的瞬時頻率與結(jié)構(gòu)本身的瞬時頻率的關(guān)系。對于具有密集模態(tài)的時變與非線性的多自由度體系，通過小波變換選取二分時變截止頻率，并利用本文提出的擴展解析模式分解方法對時變與非線性結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)進行分解，從而實現(xiàn)對多自由度結(jié)構(gòu)時變參數(shù)的識別。通過數(shù)值模擬和試驗驗證，可以得到如下結(jié)論：

（1）對于時變的線性結(jié)構(gòu)和弱非線性結(jié)構(gòu)，模態(tài)響應(yīng)信號的瞬時頻率緩慢變化的部分與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的瞬時頻率近似相等。因此可以利用模態(tài)響應(yīng)信號中的瞬時頻率的慢變部分有效地識別出結(jié)構(gòu)瞬時頻率。

（2）對于具有密集模態(tài)的多自由度結(jié)構(gòu)體系，利用小波變換近似選擇二分時變截止頻率，并利用擴展的解析模式分解方法可以有效地對結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)信號進行分離，從而實現(xiàn)對具有密集模態(tài)的多自由度體系瞬時頻率的識別。

（3）數(shù)值模擬和試驗結(jié)果表明，本文方法對時變線性和非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的瞬時模態(tài)參數(shù)識別具有較高的時間和頻率精度。

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