基于元胞自動機(jī)帶有隔離干預(yù)的傳染病模型

剛家泰，戴欽武，李淑娟，譚欣欣*

（大連大學(xué) 信息工程學(xué)院，遼寧 大連 116622）

0 引言

傳染病的爆發(fā)和流行一直都是困擾人們的重大問題。近年來發(fā)生的SARS、禽流感、甲型H1N1流感、艾滋?。℉IV/AIDS）等，以及剛剛發(fā)生的H7N9型禽流感，給國民經(jīng)濟(jì)和人民生活帶來了巨大的傷害。因此，對傳染病預(yù)防和控制措施的研究已迫在眉睫。

元胞自動機(jī)模型具有時間上、空間上和狀態(tài)上都離散的特性[1]，以局部規(guī)則同步演化來反映整個系統(tǒng)的復(fù)雜變化，這與傳染病的傳播機(jī)制十分相似，已經(jīng)成為研究傳染病學(xué)的一個重要方法。

文獻(xiàn)[2,3]指出，傳染病傳播期間，縮短病人從發(fā)病到醫(yī)院就醫(yī)的時間，是疫情防疫中最先考慮的關(guān)鍵措施；文獻(xiàn)[4]建立了元胞自動機(jī)模型,從醫(yī)療干預(yù)角度，研究了隔離治療對傳染病傳播的影響；文獻(xiàn)[5,6]利用元胞自動機(jī)模型對 SARS的傳播進(jìn)行了仿真模擬，提出較高的隔離水平對抑制傳染病傳播是十分有效的；文獻(xiàn)[7]擴(kuò)展了元胞自動機(jī)模型，建立了Agent動態(tài)網(wǎng)絡(luò)的疾病傳播模型，結(jié)合個體異質(zhì)性研究了隔離力度對傳染病傳播的影響；文獻(xiàn)[8]根據(jù)實(shí)際情況提出了一個與時間有關(guān)的帶有隔離機(jī)制的病毒傳播模型。

影響傳染病傳播的基本因素有個體的異質(zhì)性，移動性以及發(fā)現(xiàn)疫情后政府采取的隔離措施，但同時考慮這三個因素對傳染病傳播的影響還少有研究。本文建立含有個體異質(zhì)性、移動性和帶有隔離干預(yù)措施的傳染病數(shù)學(xué)模型，結(jié)合甲型H1N1流感染病人數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對傳染病的傳播進(jìn)行模擬仿真，進(jìn)一步分析染病停留時間和隔離力度對傳染病傳播的影響，揭示傳染病傳播的防治機(jī)理。

1 SIQR傳染病模型

根據(jù)傳染病傳播的特點(diǎn)，采用傳染病動力學(xué)的建模思想，將研究人群劃分為五類：易感者(S)，染病者(I)，隔離者(Q)，康復(fù)者(R)和死亡者(D)。其中S 是不具有免疫力的健康人群；I是已染病但未被隔離的人群，對外具有傳染性；Q是染病后被隔離的人群，對外無傳染性；R是經(jīng)治療痊愈的康復(fù)人群且具有免疫力；D為死亡人群，已退出傳染病傳播過程。整個傳染病傳播的流程圖如圖1所示。其中p為易感者被感染的概率，q為染病者被隔離的概率，μ為隔離者的恢復(fù)率，λ1，λ2為在染病期和隔離期人群的因病死亡率：

圖1中，易感者本身沒有傳染能力，在自由環(huán)境下可以隨機(jī)移動；染病者具有較強(qiáng)傳染能力，當(dāng)其移動到易感者鄰域內(nèi)或者易感者向它移動時，易感者將會以不同的概率被感染成為染病者；染病者會以一定的概率被隔離，隔離者失去了與外界接觸交流的機(jī)會，不再具有傳染能力；染病者無論是否被隔離，最終結(jié)果是治愈成為康復(fù)者或者因病死亡；康復(fù)者具有較長時期的免疫力，短期內(nèi)不會再次被感染。

1.1 隔離干預(yù)

隔離干預(yù)是指對傳染病傳播過程中被感染的患者進(jìn)行隔離治療，使其避免與周圍鄰居接觸交流，防止交叉感染和傳染病的擴(kuò)散。F.B.[9]提出：如果沒有藥物或者疫苗防治，對傳染病傳播的最重要和最有效的防控措施就是隔離干預(yù)；在防治傳染病爆發(fā)或者流行期間，增加隔離的力度是最具成本效益的戰(zhàn)略。Franks G. Ball[10]建立了關(guān)于傳染病傳播的SEIR隨機(jī)模型，結(jié)果表明：有效的隔離干預(yù)對傳染病傳播的遏制效果顯著性比單純地對群體進(jìn)行疫苗接種效果高。因此，研究對傳染病傳播的有效隔離干預(yù)，可以為控制傳染病傳播提供有力的理論支持。

假設(shè)傳染病的傳染方式是人與人的近距離接觸和交流，一旦對染病者進(jìn)行隔離干預(yù)，就可以達(dá)到控制疾病傳播的目的。本文選取染病停留時間T和隔離力度q這兩個參數(shù)，綜合考察隔離干預(yù)這一機(jī)制對傳染病傳播的影響。

染病停留時間T，表示易感者通過與外界帶菌個體接觸后，從被感染上疾病到被隔離治療這段時間間隔。T值越小，說明染病者被隔離的越早。

隔離力度q，表示染病者被隔離的概率，反映采取隔離措施的強(qiáng)度。q值越大，說明易感者和帶菌個體相互間交流機(jī)會就越少，被傳染的概率也就越小。

1.2 異質(zhì)性

現(xiàn)實(shí)生活中，個體之間是有很大的差異性的[5,11]，易感者對疾病具有不同的抵抗能力Ri.j，染病者具有不同的傳染能力fi,j，并且不同傳染性的染病者具有不同的傳染范圍，即個體間存在異質(zhì)性。為在模型中體現(xiàn)個體的異質(zhì)性這一特點(diǎn)，引入有效接觸傳染概率

傳染性疾病的傳播與接觸者之間的距離有關(guān)，接觸者之間的距離越遠(yuǎn)，彼此被傳染的概率越低，為進(jìn)一步說明接觸傳染概率，本文引入距離影響因子[4]

Ci,j為中心元胞，為其摩爾鄰域內(nèi)的任一鄰居，是中心元胞Ci,j摩爾鄰域內(nèi)所有鄰居集合。

綜合這些因素，定義中心元胞Ci,j的有效接觸傳染概率Pi,j為：

Pi,j值越大說明越容易被傳染得病。

1.3 移動性

正是個體具有移動性，使得傳染病得以傳播。移動的比例足夠大或者移動距離較遠(yuǎn)，會導(dǎo)致當(dāng)?shù)氐膫魅静∮蔁o病狀態(tài)轉(zhuǎn)為地方性的流行狀態(tài)，或者單一性的流行，嚴(yán)重時會導(dǎo)致當(dāng)?shù)卣w的消失[12]。

個體的移動性反映了實(shí)際中個體的活躍程度，個體活躍程度越高，傳染病的傳播速度越快，越容易造成大規(guī)模的疫情爆發(fā)。

2 帶有隔離干預(yù)的元胞自動機(jī)原理

元胞自動機(jī)是一個時間、空間和狀態(tài)都離散的，通過局部元胞的相互作用而引起全局變化的動力系統(tǒng)模型[1,5]?？梢杂靡韵滦问奖磉_(dá)：

其中，CA 是指一個元胞自動機(jī)系統(tǒng)，Ld 表示d維的元胞空間，本文取d=2，L×L表示元胞空間網(wǎng)格的規(guī)模；S 表示所有元胞狀態(tài)的有限離散集合；N 表示以某一元胞為中心的所有鄰居狀態(tài)的集合；f表示元胞狀態(tài)局部轉(zhuǎn)換函數(shù)。在每一離散的時間步，其轉(zhuǎn)換規(guī)則為f:St+1=f(St,Nt)，即某一元胞下一時刻的狀態(tài)由它當(dāng)前時刻的狀態(tài)和周圍鄰居的狀態(tài)共同決定。

2.1 擴(kuò)展的Moore鄰域

本文將傳統(tǒng)的 Moore鄰域形式做一擴(kuò)展，不僅考慮鄰域內(nèi)人群局部范圍的交流，如家人，舍友、鄰居等，同時還考慮個體隨機(jī)與 Moore鄰域外區(qū)域的人群交流，如工作需要的出差，遠(yuǎn)方朋友拜訪等原因可能偶爾會接觸到的鄰居，這樣更符合實(shí)際個體運(yùn)動的特征。擴(kuò)展的Moore鄰域如圖2所示。

在此基礎(chǔ)上，借鑒隨機(jī)行走元胞自動機(jī)的思想來描述個體的移動性，在每一時刻，都有一定比例(Percentage)的個體，以一定步長(Step)在網(wǎng)格空間中隨機(jī)移動，即對網(wǎng)格中所有的元胞進(jìn)行隨機(jī)掃描，對掃面到的元胞，標(biāo)記其坐標(biāo)為(i , j)，同時生成兩個獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)di和dj(∣di∣≤Step,∣dj∣≤Step)，然后將(i , j)處的元胞與( i+di, j+ dj)處的元胞進(jìn)行交換[13,14]，視為該元胞完成一次移動。

2.2 元胞狀態(tài)演化規(guī)則

本文建立二維的L×L網(wǎng)格空間，將t時刻網(wǎng)格空間的元胞狀態(tài)數(shù)值化，分別以{0,1,2,3,4}代表元胞Ci,j在t時刻{S,I,Q,R,D}五種狀態(tài)。

設(shè)定所有元胞的初始狀態(tài)=0，即所有的元胞都視為易感者，隨機(jī)在該網(wǎng)格空間中取比例為0.0018的元胞作為初始染病者人數(shù)，設(shè)定其狀態(tài)=1，稱為網(wǎng)格空間中的傳染病源。自t=0時刻開始，在每一個離散的時間步對網(wǎng)格空間的所有元胞進(jìn)行掃描，并按以下規(guī)則進(jìn)行元胞狀態(tài)更新。

當(dāng)=1時，元胞Ci,j為染病者，設(shè)T1為染病周期，當(dāng)t＜T1時，患者仍然處于染病期，在傳染病傳播過程中將以概率q被隔離，此時=2；當(dāng)t＞T1時，染病者將被強(qiáng)制隔離，為=2。設(shè)病死率為λ1，染病期間部分染病者因病死亡，狀態(tài)變?yōu)樗劳稣?，?4；

當(dāng)=2時，元胞C為隔離者，代表隔離者， i, j設(shè)T2為隔離周期，在該周期內(nèi)，被隔離的染病者經(jīng)過治療，以一定的概率μ痊愈成為康復(fù)者，即更新狀態(tài)為=3，康復(fù)者在免疫周期T3內(nèi)保持很高的免疫力。隔離治療期間會有部分染病者死亡，設(shè)病死率為λ2，狀態(tài)轉(zhuǎn)為死亡者，即=4。

當(dāng)=3時，元胞C為康復(fù)者，代表康復(fù)者，i, j在免疫周期T3內(nèi)具有較高免疫力，不會再次被感染；

在每一個仿真步，對所有的元胞都先進(jìn)行一次隨機(jī)掃描，對掃描到的元胞給予記錄，然后按照所定義的最大步長和移動比例進(jìn)行隨機(jī)行走或者移動。

基于以上的演化規(guī)則，網(wǎng)格空間中所有元胞在每一仿真步將同步更新，局部元胞之間的相互作用結(jié)果，就是下一仿真步整個群體的狀態(tài)。

3 模型的仿真與結(jié)果分析

3.1 模型的仿真

根據(jù)SIQR模型的傳染病傳播流程，將以上元胞狀態(tài)演化規(guī)則應(yīng)用于擴(kuò)展的摩爾鄰域，對傳染病傳播過程進(jìn)行仿真模擬。設(shè)定網(wǎng)格空間由L×L=100×100的單元格構(gòu)成；初始感染概率為0.0018；每一步演化過程都會有Percentage=0.1比例的元胞，以最大的移動步長Step=10進(jìn)行移動。本文選取2009年6月16日至7月15日期間發(fā)生于中國境內(nèi)的甲型H1N1流感數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真模擬，根據(jù)中華人民共和國衛(wèi)生部數(shù)據(jù)[15]統(tǒng)計(jì)，假設(shè)易感者感染流感病毒后病發(fā)時間為7天，病死率為4%。由于甲型H1N1流感沒有相關(guān)的復(fù)發(fā)情況報(bào)道，認(rèn)為康復(fù)者的免疫周期為365天。圖3顯示 40天內(nèi)的模擬仿真數(shù)據(jù), 結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)較為吻合。

圖3 甲型H1N1實(shí)際數(shù)據(jù)和模擬仿真數(shù)據(jù)對比

由圖3可以看出，甲型流感在傳播初期，沒有受到任何的干預(yù)影響，流感病毒傳播速度較快，染病累計(jì)人數(shù)很快達(dá)到高峰，隨后開始緩慢下降。染病人數(shù)下降的原因，一是染病人數(shù)死亡，退出了傳播周期，導(dǎo)致被感染的人數(shù)減少；二是流感病毒傳播后期受到控制，染病個體被隔離進(jìn)行治療痊愈后成為康復(fù)者，使得群體中被感染的人數(shù)減少。

為進(jìn)一步說明流感病毒傳播期間，隔離干預(yù)對傳染病傳播的影響，在設(shè)定的參數(shù)條件下，對上述仿真模型中的染病停留時間T和隔離力度q分別進(jìn)行變量調(diào)控，具體地分析隔離干預(yù)對傳染病傳播的影響。

3.2 結(jié)果分析

3.2.1 染病停留時間T對傳染病傳播的影響

保持初始參數(shù)數(shù)值不變，通過改變仿真過程中的染病停留時間T的數(shù)值，研究染病停留時間的長短對傳染病傳播過程的影響。圖4表示分別取不同的染病停留時間T=5天、T=9天時累計(jì)染病人數(shù)和實(shí)際情況的累計(jì)染病人數(shù)對比。

從圖4可以看出，在病人被感染后，提前兩天將其隔離，即染病停留時間為T=5天時，累計(jì)染病人數(shù)增加速度將會大大地減緩，染病人數(shù)達(dá)到峰值遠(yuǎn)低于實(shí)際數(shù)據(jù)下的峰值；而如果推后兩天隔離，染病停留時間為T=9天時，累計(jì)染病人數(shù)增加速度則會迅速加大，短時間就可以達(dá)到較高的數(shù)值，不僅高于實(shí)際情況，而且處于高峰期的時間也較長。

病人所處的染病停留時間越長，病人在自由環(huán)境下活動的時間越久，接觸的易感者就越多，最終病人累計(jì)的人數(shù)就越多。所以，當(dāng)傳染病疫情爆發(fā)初期，及時減少病人處于自由環(huán)境下的滯留時間，縮短病人自被感染到隔離治療的染病停留時間，能夠?qū)魅静∫咔槠鸬矫黠@的抑制作用。因此，減少病人的染病停留時間是控制傳染病傳播的一個關(guān)鍵因素。

圖4 不同的染病停留時間對甲型流感H1N1傳播的影響

3.2.2 隔離力度q對傳染病傳播的影響

隔離干預(yù)的實(shí)施，不僅與染病停留時間有關(guān)，同時也和對染病者采取的隔離力度有關(guān)。對上述模型進(jìn)行修正，保持染病停留時間不變，改變隔離力度大小，分析隔離力度對傳染病傳播的影響，分別取q=0.15、q=0.35和q=0.55，圖5顯示了不同隔離力度對傳染病傳播的影響。

圖5 不同隔離力度對甲型流感H1N1傳播的影響

從圖5可以看出，在傳染病傳播過程中，隔離力度越大，累計(jì)染病人數(shù)越少，控制傳染病疫情的效果越顯著。當(dāng)q=0.15時，部分染病者由于被隔離治療，減少了他們與外界的接觸交流機(jī)會，被感染的人數(shù)減少，累計(jì)染病人數(shù)增加趨勢較為緩慢；當(dāng)q=0.35時，進(jìn)一步增大對染病者的隔離力度，累計(jì)染病人數(shù)相對實(shí)際情況有了大幅度的下降；當(dāng)q=0.55時，傳播初期，累計(jì)染病人數(shù)增加的趨勢較緩慢，短時間達(dá)到峰值后逐漸減少，疫情得以控制。因此，隔離力度對傳染病傳播具有重要影響，隔離力度越大，傳染病傳播越容易得到控制，當(dāng)隔離力度足夠大時候，傳染病來不及傳播就得以控制。

4 總結(jié)

本文建立了基于元胞自動機(jī)的SIQR模型，并以甲型H1N1流感為例進(jìn)行了模擬仿真。該模型說明了人們對已知或未知的傳染病傳播采取積極嚴(yán)格的隔離干預(yù)是十分必要和有效的。仿真結(jié)果表明：傳染病傳播初期，由于人們及相關(guān)部門對其不了解或者防范意識不深，未及時采取相應(yīng)的防控措施，短時期內(nèi)造成疾病的迅速擴(kuò)散，發(fā)展為大范圍內(nèi)的疫情爆發(fā)；及早采取隔離措施，加大對染病者的隔離力度，減少患者的染病停留時間，可避免染病者在自由環(huán)境下滯留時間過長而產(chǎn)生更廣范圍的傳染。染病停留時間越短，隔離力度越大，被感染的病人就越少，傳染病傳播持續(xù)的時間越短，對傳染病傳播疫情的控制效果越顯著。

同時，本文不僅考慮家人，舍友、鄰居等近距離人群之間交流的局部范圍，還考慮工作需要的出差、遠(yuǎn)方朋友拜訪等原因可能偶爾會接觸到的個體間交流，使個體的移動性更貼近實(shí)際。因此, 在元胞自動機(jī)原有的鄰域的基礎(chǔ)上，提出了擴(kuò)展的Moore鄰域,并對傳染病的傳播過程進(jìn)行模擬仿真。

隨著研究的深入，將進(jìn)一步改進(jìn)完善模型，并結(jié)合中華人民共和國衛(wèi)生部網(wǎng)提供的真實(shí)數(shù)據(jù)，考慮接種疫苗、初始感染率和傳染病病毒變異頻數(shù)等因素，從微觀角度分析探究傳染病的傳播機(jī)理，預(yù)測傳染病疫情的發(fā)展趨勢，為政府部門制定傳染病的防控措施提供最有力的理論支持。

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