一種基于小波包樣本熵和流形學(xué)習(xí)的故障特征提取模型

向 丹，葛 爽

(1.廣東技術(shù)師范學(xué)院 自動(dòng)化學(xué)院，廣州 510635;2.華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院，廣州 510640)

利用振動(dòng)信號(hào)對(duì)機(jī)械狀態(tài)進(jìn)行監(jiān)測(cè)是機(jī)械故障診斷技術(shù)中的一種有效手段，而故障特征的提取是故障診斷的關(guān)鍵，關(guān)系到故障診斷的準(zhǔn)確性和早期預(yù)報(bào)的可能性。因此，人們從各種角度提取振動(dòng)信號(hào)的特征參數(shù)，包括時(shí)域、頻域和時(shí)頻域等，取得了一定的效果［1－2］。但由于機(jī)械故障信號(hào)的非線性、非平穩(wěn)特性，使得傳統(tǒng)的基于線性系統(tǒng)的特征提取方法不能有效提取故障的非線性特征。因此，人們開(kāi)始探索非線性動(dòng)力學(xué)參數(shù)的特征提取方法。

近年來(lái)，人們將熵的概念，包括樣本熵、能量熵、奇異熵和近似熵等，作為特征參數(shù)提取的方法引入到故障診斷領(lǐng)域。YAN等［3］將近似熵概念引入到軸承狀態(tài)監(jiān)測(cè)上，并取得了很好的效果。Pincus［4］提出了近似熵的改進(jìn)算法樣本熵，并廣泛用于生理信號(hào)處理上。趙志宏等［5］提出了一種基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解與樣本熵的軸承故障診斷方法。流形學(xué)習(xí)作為一種非線性的數(shù)據(jù)

維數(shù)約簡(jiǎn)方法，能有效地挖掘高維非線性數(shù)據(jù)內(nèi)在幾何分布特征，具有很好的非線性復(fù)雜信息處理能力，已被用于機(jī)械故障診斷的提取領(lǐng)域。粟茂林等［6］運(yùn)用局部切空間排列算法對(duì)最優(yōu)小波系統(tǒng)矩陣進(jìn)行優(yōu)化，有效地提取了引發(fā)故障的沖擊成分。葛爽等［7］提出一種基于擴(kuò)散映射與支持向量機(jī)的能量耗損信號(hào)分析，對(duì)于能量耗損信號(hào)分析非常有效。

雖然故障診斷理論和方法的研究取得了很大的進(jìn)步，但對(duì)于不確定、非線性的復(fù)雜故障診斷問(wèn)題，采用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)和信號(hào)處理的特征提取方法的效果十分有限?；诖耍疚奶岢隽嘶谛〔ò鼧颖眷睾土餍螌W(xué)習(xí)的故障特征提取模型，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證該模型的有效性。

1 小波包變換與樣本熵

1.1 小波包變換

根據(jù)多分辨率分析理論，定義小波包變換兩個(gè)函數(shù)［8］。

其中φ(t)與φ(t)分別為尺度函數(shù)與小波函數(shù)。

在正交的情況下，函數(shù)wm(t)(m=0，1，2)分別為

式中，j為尺度參數(shù)，wj，m，n為小波包原子。與小波變換不同，小波包變換將信號(hào)的高頻部分與低頻部分分別進(jìn)行分解。小波包分解的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 3層小波包分解結(jié)構(gòu)圖Fig.1 3 layer wavelet packet decomposition structure diagram

圖中S(K)表示原始信號(hào)，a表示低頻，d表示高頻，末尾數(shù)表示小波包分解的層數(shù)，即尺度數(shù)。

1.2 樣本熵

設(shè)N個(gè)數(shù)據(jù)組成的時(shí)間序列為x(n)，樣本熵的計(jì)算方法如下［4］:

(1)將時(shí)間序列按序號(hào)組成一個(gè)維數(shù)為m的向量;

(2)定義向量 Xm(i)與 Xm(j)之間的距離d［Xm(i)，Xm(j)］是兩個(gè)對(duì)應(yīng)元素中最大差值的絕對(duì)值，即

(3)統(tǒng)計(jì)Xm(i)與Xm(j)之間距離小于等于r的j(1≤j≤N －m，j≠i)的數(shù)目，記作 Bi。對(duì)于 1≤i≤N －m，定義

(4)增加維數(shù)到m+1，計(jì)算Xm+1(i)與Xm+1(j)小于等于r的距離的個(gè)數(shù)，記為Ai

定義:

(5)樣本熵定義為

從樣本熵定義可以看出，所求樣本熵與m，r的取值有關(guān)，因此，確定m，r兩個(gè)參數(shù)的選取對(duì)于樣本熵的計(jì)算很重要。根據(jù)文獻(xiàn)［9］的研究成果，當(dāng)m=1或2，r=0.1－0.25 std(std為原始數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差)時(shí)所得到的樣本熵的統(tǒng)計(jì)特征比較合理，因此本研究取m=2，r=0.15 std。

2 流形學(xué)習(xí)與局部切空間排列

2.1 流形學(xué)習(xí)

流形學(xué)習(xí)法是一種基于微分幾何與拓?fù)鋵W(xué)的非線性高維數(shù)據(jù)處理方法，采用該方法能將高位數(shù)據(jù)在保持其主特征的基礎(chǔ)上降低數(shù)據(jù)維數(shù)。假定給定數(shù)據(jù)集X={Xi，i=1，…，n}，Xi∈RD為獨(dú)立同分布的，M 為嵌入在D維歐氏空間中的d維流形，定義嵌入映射f∶M?Rd→RD，其中D?d，流形學(xué)習(xí)的任務(wù)就是在給定的觀測(cè)數(shù)據(jù)X的前提下，獲取其低維流形表達(dá)式Y(jié)={Yi，i=1，…，n}∈RD，構(gòu)造出從高維空間到低維空間的非線性映射 f(·)［10］。

2.2 局部切空間排列

局部切空間排列(LTSA)算法通過(guò)逼近每一樣本點(diǎn)的切空間來(lái)構(gòu)建低維流形的局部幾何結(jié)構(gòu)，觀測(cè)數(shù)據(jù)點(diǎn)在局部切空間的投影獲取局部低維坐標(biāo)，然后通過(guò)仿射變換得到全局坐標(biāo)。給定一個(gè)樣本點(diǎn)集{x1，x2，…，xn}，xi∈Rm，LTSA 的具體算法如下［11－13］:

第一步，尋找每個(gè)樣本點(diǎn)的領(lǐng)域，不妨設(shè)xi={xi1，xi2，…，xik］為樣本點(diǎn)xi包括自身在內(nèi)的最近的K個(gè)鄰域點(diǎn)所構(gòu)成的矩陣。

第二步，局部線性投影。LTSA計(jì)算一個(gè)d維的仿射子空間來(lái)逼近Xi中的點(diǎn)，即:

其中 Θ =［θ1，…，θk］且 Q 的列數(shù)為 d，記=xilk為鄰域矩陣 xi的中心點(diǎn)，Qi∑vi為中心化鄰域矩陣Xi－=的奇異值分解，即 Qi，Vi分別為對(duì)應(yīng)于最大的d個(gè)奇異值的左右奇異向量所構(gòu)成的矩陣。這樣很容易求出式(12)的最優(yōu)解為:

從而可以得到局部坐標(biāo)系統(tǒng)為:

第三步，將所有這些有交疊的局部坐標(biāo)Θi=［θ(i)1，…)］排列起來(lái)以得到一個(gè)全局坐標(biāo)系統(tǒng)T=［τ1，…，τN］。

LTSA能較好的恢復(fù)出流形等距的低維空間子集，而且LTSA并不要求這個(gè)低維空間子集是凸的，也就是說(shuō)，LTSA方法對(duì)于帶有空洞的流形，也具有很好的適用性。

3 基于小波包樣本熵與流形學(xué)習(xí)的特征提取模型

由于利用原始信號(hào)的樣本熵只能在一個(gè)尺度域進(jìn)行分析，無(wú)法準(zhǔn)確區(qū)分機(jī)械運(yùn)行狀況，利用小波包分析的多分辨率特性，將小波包分解與樣本熵結(jié)合起來(lái)在多個(gè)尺度對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行特征的提取，然后利用流形學(xué)習(xí)的非線性復(fù)雜信息處理能力進(jìn)一步提取高維數(shù)據(jù)的低維特征，該模型不僅增大了故障診斷率，而且降低了特征數(shù)據(jù)的復(fù)雜度，從而增強(qiáng)了故障模式別的分類(lèi)性能。該特征提取模型如圖2所示，具體步驟如下:

(1)信號(hào)分解:利用DB2小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行3層小波包多分辨率分解。

(2)信號(hào)重構(gòu):對(duì)經(jīng)過(guò)分解得到的8個(gè)頻帶的序列進(jìn)行重構(gòu)，得到8個(gè)小波包重構(gòu)信號(hào)，每個(gè)重構(gòu)信號(hào)分別包含了原始信號(hào)各個(gè)不同頻段的信息。

(3)計(jì)算小波包樣本熵特征向量:由式(9)分別計(jì)算8個(gè)小波包樣本熵，構(gòu)成一個(gè)8維的特征向量:

(4)特征值的歸一化處理。

(5)流形學(xué)習(xí)進(jìn)一步特征提取:利用局部切空間排列對(duì)初提取的小波包樣本熵特征向量進(jìn)行低維流形特征的提取。

4 試驗(yàn)與結(jié)果分析

4.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集

本文的試驗(yàn)研究是在軸承振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行完成的，試驗(yàn)對(duì)象為JZQ－250型變速箱的滾動(dòng)軸承，通過(guò)人為制造一些滾動(dòng)軸承微小故障(故障直徑都約為0.2 mm)來(lái)模擬真實(shí)故障進(jìn)行試驗(yàn)和數(shù)據(jù)的采集。圖3為滾動(dòng)軸承故障診斷試驗(yàn)臺(tái)。

圖2 故障特征提取模型Fig.2 Fault feature extraction model

圖3 軸承振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)Fig.3 Bearing vibration test bench

在齒輪箱滾動(dòng)軸承的試驗(yàn)中，電機(jī)的轉(zhuǎn)速為1 750 r/min，采用了正常滾動(dòng)軸承和具有內(nèi)圈故障、外圈故障和滾動(dòng)體故障的滾動(dòng)軸承，分別進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)的采集。數(shù)據(jù)采集卡選用的是研華PCI－1711數(shù)據(jù)采集卡，5通道振動(dòng)數(shù)據(jù)同步采集，采樣頻率為12 kHz。

4.2 特征提取分析

小波包特征熵特征提取方法基本思路是在某一分解尺度上將信號(hào)在不同的頻帶內(nèi)分解，分別提取不同頻帶內(nèi)的分解系數(shù)作為相應(yīng)的特征向量。圖4為試驗(yàn)軸承內(nèi)圈故障信號(hào)的第3層小波包分解結(jié)果。每個(gè)頻帶的頻率范圍為750 Hz。

由圖4可知，出現(xiàn)故障的齒輪箱在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生周期性沖擊的激振力，同時(shí)激發(fā)不同的頻率成分，其振動(dòng)信號(hào)為非平穩(wěn)的復(fù)雜調(diào)制信號(hào)，細(xì)節(jié)信號(hào)中基本都出現(xiàn)了明顯的有規(guī)律的沖擊信號(hào)。對(duì)小波包分解重構(gòu)的8個(gè)細(xì)節(jié)信號(hào)分別求出m=2時(shí)的樣本值，圖5是滾動(dòng)軸承四種不同狀態(tài)信號(hào)的小波包樣本熵值的分布圖。

由圖5可以看出，滾動(dòng)軸承不同狀態(tài)下小波包樣本熵值是不同的，不同頻段樣本熵值的大小反映了該頻段信號(hào)分布的確定性。表1為不同頻段小波包樣本熵的平均值，可以看出，正常滾動(dòng)軸承的小波包熵值大于其他3種工作狀態(tài)的熵值，這是因?yàn)樵谡顟B(tài)下，振動(dòng)信號(hào)的樣本分布相對(duì)平均和不確定。當(dāng)出現(xiàn)內(nèi)圈或外圈或滾動(dòng)體故障時(shí)，在相應(yīng)的頻帶內(nèi)會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的共振頻率，此時(shí)，在這個(gè)頻帶內(nèi)的樣本值將會(huì)增大，樣本分布的不確定性減少，從而使得小波包熵值減少。由于滾動(dòng)體故障樣本集中更為嚴(yán)重，所以其小波包樣本值最小。

圖4 內(nèi)圈故障信號(hào)及其小波包分析Fig.4 Fault signal of inner race and its wavelet packet analysis

圖5 各頻帶小波包樣本熵值分布圖Fig.5 Wavelet packet sample entropy distribution map of each band

表1 各頻帶小波包樣本熵平均值Tab.1 Average value of each band wavelet packet sample entropy

因此，可以通過(guò)小波包對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行不同頻段的分解和重構(gòu)，得到包含不同的頻段信息的樣本熵，將之作為故障特征向量(此為特征提取第一階段)，再用流形學(xué)習(xí)進(jìn)一步提取低維的故障特征(此為特征提取第二階段)。由于不同的流形學(xué)習(xí)法對(duì)不同數(shù)據(jù)的特征提取效果不同，作為比較，本文將用一種典型的非線性流形學(xué)習(xí)(LTSA)和一種典型的線性流形學(xué)習(xí)(PCA)對(duì)提取的小波包樣本熵進(jìn)行降維。針對(duì)滾動(dòng)軸承四種不同工作狀態(tài)信號(hào)，每個(gè)狀態(tài)信號(hào)取1 024個(gè)點(diǎn)作為一個(gè)樣本，采用db2小波包對(duì)信號(hào)進(jìn)行3層次分解，分別提取第3層各節(jié)點(diǎn)的樣本熵作為特征向量，得到8維的列向量，再將8維的特征向量用流形學(xué)習(xí)法降到3維。圖6為L(zhǎng)TSA和PCA降維的效果圖，鄰域參數(shù)K=7，目標(biāo)維數(shù)為3。

圖6 該模型的特征提取效果圖Fig.6 Features extraction effect map of this model

由圖6可以看出，對(duì)于提取的小波包樣本熵特征數(shù)據(jù)，LTSA比PCA的特征提取效果更好，從圖6(a)可以看出，滾動(dòng)軸承故障的四種狀態(tài)特征已經(jīng)基本完全分開(kāi)，證明了該模型具有很好的特征提取效果。為了量化分類(lèi)效果，將兩個(gè)階段提取的特征用SVM進(jìn)行分類(lèi)。四種狀態(tài)信號(hào)先各提取10個(gè)樣本作為訓(xùn)練樣本，然后再各提取10個(gè)樣本作為測(cè)試樣本。將訓(xùn)練樣本輸入到SVM進(jìn)行訓(xùn)練，SVM算法分類(lèi)設(shè)置為多分類(lèi)，核函數(shù)選擇徑向基核函數(shù)，表2給出了特征提取兩個(gè)階段基于SVM的故障狀態(tài)識(shí)別結(jié)果。

表2 支持向量機(jī)識(shí)別結(jié)果Tab.2 Support vector machine recognition results

第一階段特征SVM訓(xùn)練所花時(shí)間為6.3 s，第二階段中用LTSA提取的特征SVM訓(xùn)練所花時(shí)間為2.02 s，而用PCA提取的特征SVM訓(xùn)練所花時(shí)間為3.3 s。在第一階段，由于小波包分解頻帶中含有大量信息在特征空間中產(chǎn)生各種重疊，使得后面分類(lèi)器(SVM)訓(xùn)練時(shí)間加長(zhǎng)，并且降低了特征的分辨率，所以其故障識(shí)別率不是很好。而第二階段提取的特征的故障識(shí)別率達(dá)到100%，訓(xùn)練時(shí)間比第一階段短，對(duì)于相似故障，文獻(xiàn)［5］提出的特征提取方法其故障識(shí)別率只有95.33%，本文提出的特征提取方法識(shí)別效果明顯好于文獻(xiàn)［5］提出的方法。從而證明了該特征提取模型具有很好的故障模式分類(lèi)性能。

5 結(jié)論

基于小波包、樣本熵和流形學(xué)習(xí)理論，提出了一種新的故障特征提取模型，首先選擇容錯(cuò)性好的樣本熵作為特征參數(shù)，通過(guò)對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行基于db2小波的小波包分解，提取信號(hào)的小波包樣本熵作為特征向量，然后利用流形學(xué)習(xí)進(jìn)一步提取低維特征。試驗(yàn)結(jié)果表明，基于小波包樣本熵和流形學(xué)習(xí)的故障特征提取模型不僅提高了特征分辨率，而且簡(jiǎn)化了特征數(shù)據(jù)，增強(qiáng)了故障模式識(shí)別的分類(lèi)性。

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