正交各向異性復合材料板Ⅱ型三裂紋尖端應力場分析*

王麗娟,張雪霞

(太原科技大學 應用科學學院,山西 太原 030024)

近年來,學者對多裂紋尖端場問題作了大量研究[1],而對于三裂紋問題的研究相對較少。王敏中等[2]采用復變函數方法把無限寬板共線裂紋處理成Rieman-Hilbert連接問題,得到了裂紋尖端的應力強度因子;楊麗星等[3]采用復變函數法研究了具有3條不對稱裂紋的圓形孔口的平面彈性問題,得到了裂紋尖端應力強度因子的解析解;Collins等[4]采用復變函數法分析了共線多裂紋遠端受均勻拉伸載荷下的應力強度因子,進而估算疲勞裂紋擴展壽命。上述的研究都是以裂紋尖端附近區(qū)域的應力場和位移場的基本方程為出發(fā)點,基于復變函數理論、積分變換、彈性力學守恒定律以及復變—變分方法經過一系列推導獲得的。目前,應力強度因子的解析法仍停留在理想模型和簡單的邊界條件上,對于實際工程中復雜載荷作用下的表面裂紋有限平板模型都難以適用。因此,尋求更好地反應實際裂紋分布的多裂紋尖端場的解析解，對于斷裂理論研究和工程應用都有重要的意義。

本文利用復變函數方法,研究了裂紋在遠場均勻分布載荷作用下，正交各向異性復合材料板三裂紋尖端應力場問題,得到了Ⅱ型三裂紋尖端附近的應力強度因子和應力場的解析表達式。所得結果便于計算,對于復合材料斷裂理論研究具有重要意義。

1 力學模型

如圖1所示,設無限大線彈性正交各向異性纖維增強復合材料板,2個坐標軸平行于正交各向異性體的材料彈性主方向,復合材料板含裂紋長為l,裂紋尖點距離坐標原點分別為h和h+l的均勻分布三裂紋,在遠場受均勻分布剪切力τ作用。

圖1 三裂紋

正交各向異性板裂紋尖端應力場問題歸結為求解式(1)偏微分方程的邊值問題[4]。

(1)

其中U為應力函數,τ為剪切力,σ為應力。

2 Westergaard應力函數

由文獻可知,利用復變函數法求三裂紋問題的關鍵在于能夠構造一個保角映射函數,將數學平面上的簡單邊界保角映射到物理平面上包含三裂紋的無限大平面。為此,構造(2)式保角映射函數

(2)

此映射將z(=x+iy)平面(物理平面)上帶均勻分布三裂紋的無限大平面保角映射(見圖1)到w(=ξ+iη)平面(數學平面)上的周期平行裂紋(見圖2)。

圖2 周期平行裂紋

選取westergaard應力函數

(3)

j=1,2; n=-1,0,1。

當|x|→∞,|y|→∞時，Uj=τ(對固定的n)；

當-a

(4)

情形1:Δ>0。

將式(4)代入式(1)的邊界條件,得

a1=0, a2=0,

(5)

情形2:Δ<0。

將式(4)代入式(1)的邊界條件,得

b1=0, b2=0。

(6)

將式(5),(6)代入式(1)，得到滿足控制方程和邊界條件的實值解析解U,偏微分方程邊值問題(1)有解。

3 應力強度因子

考慮到裂紋是周期裂紋,在每個裂紋的尖端附近,定義應力強度因子

(7)

j=1,2；n=-1,0,1。

將式(3)代入式(7),得到

(8)

其中，

為形狀因子,若記

4 應力場和位移場

由式(7),在裂紋尖端附近,有

當zj→a+nωi時,

Uj(zj)=

(9)

利用特征根關系式(5)～(8),得到位移場公式可以統(tǒng)一利用極坐標表示。

(10)

5 小結

本文主要研究正交各向異性復合材料板在遠場受均勻分布拉應力作用的Ⅱ型三裂紋尖端場問題。利用保角映射,引入westergaard 應力函數,利用復變函數方法和待定系數法,把力學問題轉化為偏微分方程邊值問題。借助于不同的邊界條件,解含有未知參數的方程組,并確定應力函數。定義了三裂紋尖端處的應力強度因子,推導出正交各向異性復合材料板Ⅱ型三裂紋尖端附近由應力強度因子表示的應力場和位移場的解析表達式。

參考文獻:

[1] WANG Gengsun. The interaction of multiple rows of periodical cracks[J]. International Journal of Fracture, 2001, 11(2): 93-100.

[2] 王敏中,王煒,武際.可彈性力學教程[M].北京:北京大學出版社,2002.

[3] 楊麗星,劉官廳.帶三條不對稱裂紋的圓形孔口問題的應力分析[J].內蒙古師范大學學報:自然科學漢文版,2009,38(6):616-622.

[4] COLLINS R A, CARTWRIGHT D J. On the development of strip yield model for assessment of multiple site damage[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics, 1996, 25: 167-178.

[5] 楊維陽,李俊林,張雪霞.復合材料斷裂復變方法[M].北京:科學出版社,2005.