坐標(biāo)軸平移在多元函數(shù)積分計(jì)算中的應(yīng)用

蘇燦榮， 禹春福

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 合肥230009)

多元函數(shù)積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.對(duì)于某些特殊的多元函數(shù)積分，通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)軸平移(本質(zhì)上是變量替換)可將積分區(qū)域或被積函數(shù)化為便于計(jì)算的形式，從而使得積分計(jì)算簡便可行.下面我們以數(shù)學(xué)考研試題或數(shù)學(xué)競賽試題為例進(jìn)行說明.

令x=x′,y-1=y′，則x=x′,y=y′+1,dx=dx′,dy=dy′，于是

I=(y′+1)dx′dy′，

例2[1]計(jì)算二重積分

其中D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}.(2009年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題)

解令x-1=x′,y-1=y′，則x=x′+1,y=y′+1,dx=dx′,dy=dy′，于是

其中D′={(x′,y′)|x′2+y′2≤2,y′≥x′}.所以

注 與[1]中教育部考試中心提供的參考答案相比，顯然本文的方法較為簡便.

例3[2]求拋物面z=x2+y2+1上任意一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的切平面與拋物面z=x2+y2所圍成的立體的體積.(第十七屆北京市大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題，2006年)

解拋物面z=x2+y2+1上任意一點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處的切平面方程為

(1)

(1)式與z=x2+y2聯(lián)立消去z，得切平面與拋物面z=x2+y2所圍立體在xOy平面的投影區(qū)域?yàn)镈={(x,y)|(x-x0)2+(y-y0)2≤1}.故所求立體的體積為

令x-x0=x′,y-y0=y′，則x=x′+x0,y=y′+y0,dx=dx′,dy=dy′，于是

其中D′={(x′,y′)|x′2+y′2≤1}.所以

例4[3]設(shè)L為(x-1)2+y2=1，取逆時(shí)針方向，求∮L(2x+2y+y2)dx+(x-1)2dy.(2004年陜西省高等數(shù)學(xué)競賽試題)

解設(shè)曲線L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈，由Green公式知

令x-1=x′,y=y′，則dx=dx′,dy=dy′，于是

∮L(2x+2y+y2)dx+(x-1)2dy=-2π.

由Green公式知

令x-a=x′,y-b=y′,z-c=z′，則dx=dx′,dy=dy′,dz=dz′，于是

其中Ω′由x′2+y′2+z′2=R2與z′=0圍城.由對(duì)稱性

而

故

以下問題均可利用坐標(biāo)軸平移進(jìn)行求解，解題過程留給讀者.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 《大學(xué)數(shù)學(xué)》編輯部. 碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題精解[M].合肥：合肥工業(yè)大學(xué)出版社，2013.

[2] 李心燦，孫洪祥，邵鴻飛，等.大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題解析選編[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[3] 陜西省第五次大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競賽[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004,7(6):57-59.

[4] 宋國柱.分析中的基本定理和典型方法[M].北京：科學(xué)出版社，2004.