需求依賴銷售努力和銷售價(jià)格的庫(kù)存模型

李 彤， 李清艷， 楊志林

( 合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽合肥230009)

1 引 言

隨著經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，商業(yè)競(jìng)爭(zhēng)的越發(fā)激烈，許多企業(yè)相繼加大銷售努力來(lái)刺激消費(fèi)者的需求.根據(jù)美國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局提供的數(shù)據(jù)顯示，美國(guó)企業(yè)的廣告費(fèi)用投入從1990年的1300億美元增加到2000年的2360億美元.眾多研究者也用數(shù)據(jù)證明了經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)拇黉N手段能增加商業(yè)利潤(rùn).例如文獻(xiàn)[1]和[2]對(duì)供應(yīng)商提供臨時(shí)價(jià)格折扣時(shí)的銷售商的最優(yōu)庫(kù)存決策問(wèn)題進(jìn)行了研究，并且獲得了一些有價(jià)值的成果，但其研究均基于如下假設(shè)：零售商的需求是固定不變的. [3](第6章)簡(jiǎn)述了需求只依賴銷售努力的情況下銷售商的最優(yōu)庫(kù)存決策. [4]探討了考慮努力及價(jià)格因素的易逝品供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問(wèn)題. [5]研究了隨機(jī)需求是關(guān)于價(jià)格和廣告費(fèi)用的一般函數(shù)的前提下，提出了一個(gè)一般的newsboy模型，給出了尋求最優(yōu)廣告費(fèi)用、銷售價(jià)格及訂貨量的分析方法.2007年，何勇、吳清烈和趙林度在需求不確定且與努力水平和零售價(jià)格具有相關(guān)性的前提下, 建立了彈性數(shù)量契約模型, 并重點(diǎn)探討以下兩個(gè)主要內(nèi)容，一是如何確保供應(yīng)鏈協(xié)作，二是如何確定最優(yōu)的努力水平、零售價(jià)格和訂購(gòu)量.2010年，汪峻萍，周永務(wù)，楊劍波[7]提出了同時(shí)考慮了需求依賴銷售價(jià)格和銷售努力的決策模型，給出了尋求最優(yōu)銷售努力投入、銷售價(jià)格及訂貨量的分析方法.這是在假定隨機(jī)需求的前提下建立的決策模型，并分析了需求的不確定性對(duì)最優(yōu)銷售價(jià)格和銷售努力的影響.

雖然現(xiàn)有文獻(xiàn)已建立了需求依賴價(jià)格以及廣告費(fèi)用的模型，但在假設(shè)確定性需求的前提下，很少有文獻(xiàn)涉及銷售價(jià)格和銷售努力投入同時(shí)決策的問(wèn)題，原因是同時(shí)考慮這兩個(gè)因素難以給出分析解.而實(shí)際的市場(chǎng)運(yùn)作當(dāng)中同時(shí)采用這兩種營(yíng)銷手段的商品比比皆是.比如愛(ài)國(guó)者、金士頓等移動(dòng)閃存盤(pán)，各類品牌服裝等.本文則在假定銷售商的需求函數(shù)同時(shí)依賴價(jià)格和銷售努力的前提下，以最優(yōu)的銷售努力來(lái)刺激消費(fèi)，幫助銷售商制定最優(yōu)的最優(yōu)訂購(gòu)量，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化.最后通過(guò)數(shù)值實(shí)例驗(yàn)證了模型的求解過(guò)程并得到相關(guān)啟示：增加銷售努力是非常有必要的.而在增加銷售努力的同時(shí)，銷售量也大大增加了，這對(duì)制造商也是非常有利的.

2 記號(hào)與假定

本文提出的數(shù)學(xué)模型所用的記號(hào)與假設(shè)如下：

記號(hào)

(i)Q表示銷售商在銷售期初的訂購(gòu)量.

(ii)w表示銷售商的單位進(jìn)價(jià)，p表示銷售商的單位產(chǎn)品的銷售價(jià)格.

(iii)A表示銷售商每次固定的訂貨費(fèi)用，h表示銷售商單位時(shí)間單位產(chǎn)品的庫(kù)存費(fèi)用占購(gòu)買的百分比.

(iv)I表示銷售商在每個(gè)銷售周期所作的銷售努力投入.

假定

(i) 假設(shè)系統(tǒng)運(yùn)行在無(wú)限周期水平上，不允許缺貨，補(bǔ)貨率是瞬時(shí)的；

(ii)供應(yīng)商與銷售商之間實(shí)行“批對(duì)批”策略，因此在制造商處不考慮庫(kù)存費(fèi)用；

3 模型的建立與分析

根據(jù)以上假設(shè)，本章的決策問(wèn)題變?yōu)椋涸鯓油瑫r(shí)決定銷售商的最優(yōu)銷售投入、最優(yōu)銷售價(jià)格以及最優(yōu)訂購(gòu)批量. 下面本章?lián)私⒁韵履Ｐ?

3.1 增加銷售努力

令A(yù)TP(p,I,Q)表示銷售商在一個(gè)周期內(nèi)的平均總利潤(rùn)函數(shù)， 根據(jù)上面的記號(hào)與假定，平均總利潤(rùn)可表示為

ATP(p,I,Q){銷售收入-購(gòu)買成本-庫(kù)存成本-訂購(gòu)成本-銷售努力投入}

(1)

令

(2)

即

(3)

得

即證明I*為式(2)關(guān)于I的最大值.

同時(shí)令

(4)

即

(5)

得p*. 而

(6)

式(6)說(shuō)明p*為式(4)關(guān)于p的最大值.

下面證明對(duì)于給定的Q,I*和p*可使式(1)取得最大值.

即說(shuō)明I*和p*是Q的最優(yōu)函數(shù)，把I*和p*代入式(1)后，函數(shù)就成為關(guān)于Q的一維函數(shù)ATP(p*(Q),I*(Q),Q).令A(yù)TP1(Q)=ATP(p*(Q),I*(Q),Q)，下面求最有訂購(gòu)批量Q*，以使得ATP1(Q)取得最大值.

首先，由ATP1(Q)的一階最優(yōu)性條件得

(7)

將上式進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得

(8)

預(yù)分析式(8)的根的情況，我們先研究ATP1(Q)的二階導(dǎo)數(shù).

(9)

令式(9)為零，即有

(10)

其中D(I,p)=a-bp+αIβ.

3.2 沒(méi)有增加銷售努力

(11)

對(duì)p求一階偏導(dǎo)并令其等于零，

(12)

令A(yù)TP(p*(Q),Q)=ATP2(Q)，下面求最優(yōu)銷售價(jià)格Q*,以使得ATP2(Q)取得最大值.

由ATP1(Q)關(guān)于Q的一階最優(yōu)性條件得

(13)

令上式等于零，有

(14)

(15)

3.3 兩種情形下利潤(rùn)函數(shù)的比較

增加銷售努力情形下利潤(rùn)函數(shù)為

(16)

沒(méi)有增加銷售努力情形下利潤(rùn)函數(shù)為

(17)

3.4 最優(yōu)解分析

命題1目標(biāo)函數(shù)1中，當(dāng)α,β一定時(shí)，Q值只與I有關(guān).

證已知需求函數(shù)為D(I,p)=a-bp+αIβ,α,b>0,p>a/b, 0<β<1，故有

D′I=αβIβ-1.

由式(3)和式(5)得

b=QD′I=QαβIβ-1，

即Q值只與I有關(guān).

命題2當(dāng)其它參數(shù)已知時(shí)，目標(biāo)函數(shù)1的最優(yōu)值只與α,β有關(guān).

證由命題1得

(18)

由式(5)和式(18)得

(19)

代入式(10)，得

兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)，得

(20)

因此，式(20)中計(jì)算所得的I值只與α,β有關(guān).又由式(5)和式(19)知，p,Q只與I值有關(guān)，故整個(gè)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)1的值只與參數(shù)α,β有關(guān).

3 實(shí)例分析

下面結(jié)合實(shí)例給出最優(yōu)解的數(shù)值分析及關(guān)于參數(shù)α,β的靈敏度分析.

例1假定銷售商所面臨的需求函數(shù)為D(p)=36000-4000p，每次訂購(gòu)貨物所需的固定費(fèi)用為A=150元，購(gòu)買單位產(chǎn)品的成本為c=3元，單位產(chǎn)品在單位時(shí)間內(nèi)平均庫(kù)存持有成本占銷售商單位購(gòu)買成本的百分比為h=0.4.試問(wèn)銷售商如何制定其訂購(gòu)策略以及銷售價(jià)格？

解首先利用迭代算法2可得最優(yōu)訂購(gòu)批量Q*=1719(單位)，然后再利用式(12)得出最優(yōu)銷售價(jià)格p*=6.04(元)，將所得的Q*和p*代入式(11)可得銷售商的最優(yōu)平均利潤(rùn)為ATP*(p,Q)=33929(元).

例2假定銷售商在投入銷售努力以后所面臨的需求函數(shù)為

D(I,p)=a-bp+αIβ,α,b>0,p>a/b,0<β<1，

圖1 表示目標(biāo)函數(shù)ATP*(p,I,Q)和ATP*(p,Q) 的圖像

其他參數(shù)與例1相同，即

a=36000,b=4000,c=3,A=150,

h=0.4,α=1000,β=0.2，

試問(wèn)該銷售商又該如何制定其訂購(gòu)策略以及銷售價(jià)格？

解用上述同樣方法得出I*=1040(元),Q*=5183(單位),p*=6.62(元), 代入式(19)可得銷售商的最優(yōu)平均利潤(rùn)為ATP*(p,I,Q)=42770 (元).與例1比較可參照?qǐng)D1 .

由上圖很明顯可以看出

ATP*(p,I,Q)>ATP*(p,Q).

經(jīng)過(guò)對(duì)比即可看出，加入銷售努力會(huì)給銷售商帶來(lái)較為客觀的收益.

例3假定其他條件不變，討論參數(shù)α,β的變化對(duì)最優(yōu)解的影響.

表 1

由表1可以看出，當(dāng)α=1000，β=0.2時(shí)，銷售價(jià)格，訂購(gòu)量最接近實(shí)際.而由圖2和圖3可以看出，函數(shù)ATP*(p,I,Q)隨著α的增大而增大，隨著β的增加而減小.故綜合比較來(lái)看，取α=1000，β=0.2比較合適.

圖2 表示目標(biāo)函數(shù)ATP*(p,I,Q)關(guān)于α的圖像 圖3 表示目標(biāo)函數(shù)ATP*(p,I,Q)關(guān)于β的圖像

圖 4 表示兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)利潤(rùn)的差值

4 結(jié) 論

企業(yè)在市場(chǎng)運(yùn)作過(guò)程中通常會(huì)使用價(jià)格和廣告這兩個(gè)重要手段，本文也證明了在適當(dāng)增加了銷售努力以后企業(yè)的平均利潤(rùn)有所增大， 但是由圖1和圖4可以看出其收益的差距不是太大.

這是因?yàn)橛捎趯?shí)際運(yùn)行中，增加銷售努力會(huì)同時(shí)給供應(yīng)商與銷售商帶來(lái)收益，一般情況下供應(yīng)商會(huì)通過(guò)對(duì)銷售商進(jìn)行銷售補(bǔ)貼來(lái)共同分擔(dān)銷售努力投入.本文的進(jìn)一步的研究方向是，通過(guò)制定完善的銷售契約來(lái)促使供應(yīng)商與單個(gè)甚至多個(gè)銷售商協(xié)調(diào)分擔(dān)銷售努力的投入，以此來(lái)達(dá)到供應(yīng)鏈整體的最優(yōu)利潤(rùn).

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] Arcelus F S, Srinivasan G . Price discounts for extraordinary purchases[J]. Opsearch, 1992. 29(3): 203-215.

[2] Goyal S K, Srinivasan G, Arcelus F J. One time only incentives and inventory poliaies [J]. European Joural of Operational Research, 1991. 54(1):1-6.

[3] 吳廣謀，呂周洋. 博弈論基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].南京：東南大學(xué)出版社, 2009.

[4] 何勇,吳清烈,趙林度. Quantity flexibility contract with effort and price-dependent demand[J]. Systems Engineering and Electronics，2007, 29(12): 2056-2059.

[5] 周永務(wù)，等. 庫(kù)存控制理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[6] 閔杰，周永務(wù). 庫(kù)存水平影響需求變化的供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)[J]. Journal of Fudan University，2007. 0427-7104 (2007) 04-0523-09.

[7] 汪峻萍,周永務(wù),楊劍波.需求依賴廣告費(fèi)用和銷售價(jià)格的newsboy型產(chǎn)品庫(kù)存模型[J].控制與決策,2010,25(1):89-92.

附錄Ⅰ：

算法1

步驟1：輸入?yún)?shù)值，并令k=0和Q0=∞.

步驟2：利用式(3)得出I*(Qk)=∞.

步驟3：利用式(5)得出p*(Qk)=∞.

附錄Ⅱ：

算法2

步驟1：輸入?yún)?shù)值，并令k=0和Q0=∞.

步驟2：利用式(14)得出p*(Qk)=∞.

步驟4：如果|Qk+1-Qk|<ε停止；否則，令k=k+1，轉(zhuǎn)入步驟2.