高中數(shù)學辯證思維賞析

李莉莉

(四川師范大學附屬中學 610066)

數(shù)學與哲學是兩門獨立的學科,同時又是兩門聯(lián)系緊密的學科.正如數(shù)學家Demollins所指出的那樣：“沒有數(shù)學，我們無法看透哲學的深度；沒有哲學，人們也無法看透數(shù)學的深度；若沒有二者，人們就什么也看不透.”恩格斯也指出：“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，……”.在《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》修訂的基本原則中也要求：“堅持正確的政治方向……充分體現(xiàn)馬克思主義的指導地位和基本立場……”.課程標準全書的表述中也滲透了辯證法的很多觀點，本文將結合高中數(shù)學代數(shù)課程教學現(xiàn)狀中的相關教學內(nèi)容，對基于辯證思維的高中數(shù)學題型講解策略展開具體的分析和探究.

一、辯證思維中對立統(tǒng)一的規(guī)律

高中代數(shù)中蘊含了豐富的對立統(tǒng)一思想，從不同的角度看問題，有不同的解法，會讓我們對問題的研究更深入.

例1(2014年全國新課標Ⅱ文科21第Ⅱ問)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.

(1)求a；(a=1，解略)

(2)證明：當k<1時,曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

賞析一(2) (虛設零點法)原命題等價于函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4與x軸只有一個交點，問題轉(zhuǎn)為研究函數(shù)g(x)的圖像性質(zhì).由g′(x)=3x2-6x+1-k，

①當Δ=36-12(1-k)=24+12k≤0,即k≤-2時,g(x)在R上單調(diào)遞增,因為g(-1)=k-1<0,g(0)=4>0,所以存在唯一x0∈(-1,0),使得g(x0)=0,得證.

②當Δ>0,即-20,g′(1)=-2-k<0,所以0

由單調(diào)性，易知g(x)的圖象與x軸只有一個交點,只需要證得g(x2)>0即可.

所以,當-2

綜上可知,命題得證.

此方法從整體出發(fā)，直譯條件，思維簡單，在計算中使用了“反代消參”的方法,用零點x2來表示參數(shù)k,降低了計算的難度.

賞析二(2) (放縮法)從局部入手，考慮到1-k>0，可以采用放縮法去掉參數(shù)，變動為靜，簡化問題.

(1)當x≤0時,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)單調(diào)遞增,又因為g(-1)=k-1<0,g(0)=4，所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一實根.

(2)當x>0時,令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+∞)沒有實根，問題得證.

二、辯證思維中否定的否定在解題中的運用

否定之否定規(guī)律表明事物自身發(fā)展的整個過程是由肯定、否定和否定之否定諸環(huán)節(jié)構成的，揭示了事物發(fā)展的全過程和總趨勢.事物都有肯定方面和否定方面，當肯定方面居于主導地位時，事物保持現(xiàn)有的性質(zhì)、特征和傾向，當事物內(nèi)部的否定方面戰(zhàn)勝肯定方面時，舊事物就需要轉(zhuǎn)化為新事物.高中數(shù)學解題思想方法中的補集思想，反證法就是否定之否定規(guī)律的具體運用.

三、辯證思維中已知與未知的相互轉(zhuǎn)化在解題中的運用

我們在高中數(shù)學課堂上解決一類關于函數(shù)、方程、不等式的雙變量(或多變量)的問題時，常常會用到“變更主元”的思想.實時轉(zhuǎn)變觀察和思考問題的角度，合理選擇恰當?shù)摹爸髟眮斫鉀Q問題可能更迅速.

例3(2006年四川卷文科21題)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f'(x)-ax-5，其中f'(x)是f(x)的導函數(shù).對滿足-1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，若實數(shù)x的取值范圍是____.

四、辯證思維中特殊與一般的轉(zhuǎn)化

特殊與一般的關系反映了客觀世界普遍聯(lián)系的規(guī)律，因此數(shù)學解題中我們要充分利用二者的關系，將一般問題特殊化或者將特殊問題一般化來解決.

例4 已知(1-x)2(2x+1)5=a0+a1x+…+a7x7,則a0=____，a1+a3+a5+a7=____．

賞析由x∈R及式子結構特點，對x進行賦值.

令x=0，得a0=12×15=1．

五、辯證思維中相等與不等的關系

常量與變量間的相等與不等關系是最常見的兩種數(shù)量關系，它們在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化，既可以由相等關系得到不等結果，又可以由不等關系得到相等的結果.

賞析本題如果用純用三角知識求解，過程較繁，認真觀察式子的結構特點，引入柯西不等式，實現(xiàn)了從不等向相等的轉(zhuǎn)化：