一元函數(shù)不定式極限常用方法淺析

伍祥昕

[摘要]不定式極限的計算是極限運算中較為重要又不易掌握的。本文是對 型的不定式結(jié)合具體例子分析了不定式的各種求法，以便掌握解題技巧。

[關(guān)鍵詞]不定式 極限 計算方法

極限是高等數(shù)學中最基本的概念，是學習微積分學基礎(chǔ)，是整個微積分思想的核心所在。在微積分學中占有極其重要的地位。而極限概念及其運算則是初學高等數(shù)學的學生難于理解又不易掌握的，對不定式極限的計算尤為困難。不定式極限的計算又是較為重要的一種類型， 其計算的方法靈活多變，初學者在求不定式的極限時，往往只會套用洛必達法則，不可否認洛必達法則是計算不定式極限非常有效的方法之一。但在實際運用過程中學生沒有注意到洛必達法則的“局限性”和使用范圍。不定式的類型有： 等，其中

是最基本的不定式型。本文就不同類型的不定式的極限求法輔以實例作一點淺析。

一、不定式的相關(guān)概念及其類型：

二、不定式類型的轉(zhuǎn)換

當 的基本不定式滿足洛必達法則的條件時直接用洛必達法則求極限，對 型的不定式可通過變形轉(zhuǎn)換為 型的不定式，再用洛必達法則求極限或?qū)Σ欢ㄊ竭M行變形，消去產(chǎn)生不定式的因素，或應用兩個重要極限： 求得極限值，現(xiàn)將轉(zhuǎn)換方法歸納于下：

三、求不定式的極限實例剖析

（一）. 型的不定式：

1.利用重要極限 求極限

一般地，是 不定式且含有三角函數(shù)或反三角函數(shù)，常利用三角恒等變形成 的形式求極限：

列1.求極限

例2.求極限

2.等價無窮小法求極限

當 的不定式分子、分母存在等價無窮小時，可用等價無窮小代換再求極限，會給解題帶來極大方便；常見的等價無窮小有：當x→0時：sinx→x

例3.求根限

此題運用了當x→0時ex-1～x，sinx～x，（1+x）a-1～ax

3.無窮小量相約法

當 型的不定式：

（1） 是有理式分式，可將分子、分母同時進行因式分解，約去同時趨于0的公因式，再用商的極限法則求極限.

（2） 是無理式分式，先把根式有理化，再約去分子，分母中同時趨于0的公因式， 再用商的極限法則求極限.

4.洛必達法則求極限

當 的不定式滿足洛必達法則的條件時，可用洛必達法則求極限，

說明： 如果 仍屬于 型，且f`（x）和F`（x）滿足洛必達法則的條件，可繼續(xù)使用洛必達法則， 即

例7.

解： 原式為 型，且滿足洛必達法則的條件，可用洛必達法則

5.變量換元與重要極限結(jié)合運用

例8.求極限

解：令t=arcsin（x-2），則x-2=sint，當x→2時，t→0

（二） 型不定式

1.無窮小量分出法

當有理式分式函數(shù)的分子，分母都是多項式，且當x→∞時，分子和分母都是無窮大，這時有理式分式是 ，可用無窮量分出法，即：用分子，分母中自變量的最高次冪去除分子、分母，分離出無窮小，再求極限。

例9.求極限

2.洛必達法則

當 型不定式滿足洛必達法則的條件時，可用洛必達法則求極限

例10.求極限

解：原式為 型，且滿足洛必達法則的條件，可用洛必達法則

（三）可化為 的不定式

1.變量代換與洛必達法則結(jié)合

（0﹒∞）型不定式可通過變形或變量代換成 再用洛必達法則

2.重要極限法

1∞、∞0、00型的不定式以及含有對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)不定式可通過變形再利用重要極限。

例13.求極限 （1∞型）

3.利用函數(shù)的連續(xù)性和洛必達法則聯(lián)合求極限

例14.求極限 （00型）

將所求的00型的不定式轉(zhuǎn)換為 型，再求極限

例15.求極限 （∞0型）

將所求的∞0型的不定式轉(zhuǎn)換為 型，再求極限

說明：對 不定式滿足洛必達法則的條件時單獨使用洛必達法則會更簡捷，在使用洛必達法則求 型不定式極限時應注意：

（1） 洛必達法無凝是求 不定式的重要工具，但并非萬能，有些 型不定式的極限用洛必達法則相反較繁瑣。如：

例16.求極限 （ 型）

如果使用洛必達法則就較為繁瑣：

而用變量代換就比較簡單

（2） 是否滿足洛必達法則的條件，若不滿足不能用。

例17.求極限 （ 型）

分析：這是 型不定式，但因 不

存在，所以不能用洛必達法則，可用一般方法：

綜上所述：求不定式的極限，要注意分析不定式的特點，再采取相應的方法，沒有任何一種方法是萬能和通用的，解題過程中要多種方法靈活運用，優(yōu)勢互補，

掌握解題技巧，提高解題效率。

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[4]趙樹源.《微積分》中國人民大學出版社.1988.5

（作者單位：六盤水職業(yè)技術(shù)學院 貴州六盤水）