電活性聚合物薄膜大變形的力學(xué)響應(yīng)分析

崔磊磊 CUI Lei-lei；栗麗 LI Li；肖保輝 XIAO Bao-hui

（黃河科技學(xué)院工學(xué)院，鄭州450000）

0 引言

電活性聚合物是高分子聚合物材料的一種，有著廣闊應(yīng)用前景。把該種材料做成薄膜并附柔順電極，受電的作用后，薄膜將變形收縮，可以實(shí)現(xiàn)用電控制薄膜的變形。該種材料可以實(shí)現(xiàn)電能和機(jī)械能的相互轉(zhuǎn)化，有望取代傳統(tǒng)的材料在機(jī)械電子產(chǎn)品及發(fā)電等領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。世界各國(guó)學(xué)者們?cè)诒∧さ拇笞冃窝芯糠矫孀髁嗽S多工作[1-3]。本文以Artificial Muscle Inc.開(kāi)發(fā)的一款電活性聚合物作動(dòng)器為原本[4]，探討了一個(gè)電聚合物薄膜圓環(huán)模型在受到集中力作用時(shí)的大變形問(wèn)題。通過(guò)建立平衡方程和熱力學(xué)原理結(jié)合的方法得到了薄膜大變形的控制方程，并采用數(shù)值計(jì)算對(duì)控制方程進(jìn)行了求解[5]。

1 模型建立及平衡方程

根據(jù)作動(dòng)器的原理建立如下模型，聚合物圓環(huán)狀薄膜如圖1、圖2所示。圖1所表示的是薄膜沒(méi)有受到豎向力的狀態(tài)，假設(shè)薄膜厚度為H，半徑為B。距離薄膜中心O為A的點(diǎn)固定有一小圓盤，并且圓環(huán)狀薄膜的外周連接在剛性的圓環(huán)上，設(shè)薄膜上任意一點(diǎn)到薄膜中心的距離為R。圖2是薄膜變形之后的示意圖，當(dāng)外力F作用在小圓盤上時(shí)，圓盤就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)豎向的位移u。與此同時(shí)，薄膜發(fā)生面外大變形。

圖1 薄膜變形前的橫截面圖

圖2 薄膜變形后的橫截面圖

在變形后的這種狀態(tài)下，薄膜上任意一點(diǎn)R在變形后的位置可以通過(guò)坐標(biāo)r(R)和z(R)完全確定下來(lái)，并且r(R)和z(R)滿足以下的邊界條件：r(A)=A，r(B)=B和z(B)=0。然后，根據(jù)Tianhu He[6]等人的研究可以得到下列方程：

這里需要引入材料的熱力學(xué)方程求解，為了方便數(shù)值求解這里選用Neo-Hookean模型[7]。

其中，μ 是剪切模量，λ1，λ2和 λ3見(jiàn)方程（5）。

將方程（6）代入到方程（5）中得到

其中 σ1=s1λ1和 σ2=s2λ2，代入方程（7）中可以得：

方程（5）通過(guò)計(jì)算變形，可以得：

結(jié)合方程（1）和（2）得：

結(jié)合方程（1）、方程（4）和方程（7）可得：

按照下列無(wú)量綱化的方式對(duì)方程處理

所以方程（7）可寫為

方程（8）可以寫為

方程（9）-（11）可寫為

2 數(shù)值計(jì)算及結(jié)果探討

把方程(15)、(16)代數(shù)方程(17)后，結(jié)合邊界條件r(A)=A，r(B)=B進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。這里取B/A=2.5，H/A=0.05，并改變F的大小。經(jīng)計(jì)算最后可得到如下結(jié)果，如圖3-4所示。

電活性聚合物薄膜在外力F的作用下發(fā)生變形，當(dāng)外力F不變時(shí)，電活性聚合物薄膜的厚度呈單調(diào)遞增趨勢(shì)。并且，外力F越大，電活性聚合物薄膜的厚度越薄。

圖3 變形后薄膜的厚度分布圖

圖4 變形薄膜上各點(diǎn)的傾角分布圖

從圖4中可以看出，對(duì)于薄膜上的一定點(diǎn)，當(dāng)外力越大時(shí)傾角越大。當(dāng)外力不變時(shí)，在薄膜的內(nèi)邊界處的傾角最大，在薄膜的外邊界處傾角最小，中間區(qū)域呈單調(diào)遞減趨勢(shì)。

結(jié)果表明，電活性聚合物薄膜的變形是非常不均勻的，這說(shuō)明作為該種模型的作動(dòng)器，電活性聚合物薄膜變形時(shí)材料的利用率并不高。

[1]Ruo K R,Wineman A S.New exact solutions in non-linear elasticity[J].Int.J.Engng.Sci.1985,23(2):217-234.

[2]Stark K.H.,Garton C.G..Electric strength of irradiated polythene.Nature 1955,176：1225-1226.

[3]Zhao X.H.and Suo Z.G..Method to analyze electromechanical stability of dielectric elastomers.Applied Physics letters,2007,91：061921.

[4]Suo Z.G.,Zhao X.H.,Greene W.H.,A nonlinear field theory of deformable dielectrics,Journal of the Mechanics and Physics of Solids 2008,56：467-486.

[5]鈕鵬,李世榮.熱和機(jī)械載荷共同作用下Timoshenko夾層梁的非線性分析[J].甘肅科學(xué)學(xué)報(bào),2007，19(4):135-140.

[6]Tianhu He,Xuanhe Zhao and Zhigang Suo.Equilibrium and stability of dielectric elastomer membranes undergoing inhomogeneousdeformation.JournalofApplied Physics,106,083522(2009).

[7]Zhao X H,Hong W,Suo Z G.Electromechanical coexistent states and hysteresis in dielectric elastomers[J].Physical Review B,2007,76:134-143.